自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导？

自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导？~

我们知道：1+2+3+......+n=n(n+1)/2。还知道1³=





12³=(1+1)³=1³+3*1²+3*1+13³=(2+1)³=2³+3*2²+3*2+14³=(3+1)³=3³+3*3²+3*3+1......n³=(n-1+1)³=(n-1)³+3*(n-1)²+3*(n-1)+1



(n+1)³=n³+3*n²+3*n+1
全部相加。如果我们注意到每一行的第一项都与下一行第二个等号后的第一项抵消了的话，就得到以下结果：(n+1)³=1+3(1²+2²+3²+......+n²)+3(1+2+3+......+n)+(1+1+1+......+1)令1²+2²+3²+......+n²=S


则(n+1)³=1+3S+3(n(n+1)/2)+n


整理得3S=(n+1)³-1-3(n(n+1)/2)-n6S=2(n+1)³-2-3(n(n+1)-2n=2(n³+3n²+3n+1)-2-3(n²+n)-2n=2n³+6n²+6n+2-2-3n²-3n-2n=2n³+6n²-3n²+6n-3n-2n+2-2=2n³+3n²+n=n(2n²+3n+1)=n(n+1)(2n+1)S=n(n+1)(2n+1)6第二个可以用和的四次方公式参照以上方法推导。
补充：
但是用以下方法更简单一点：1³=11³+2³=1+8=9=3²=(1+2)²1³+2³+3³=1+8+27=36=6²=(1+2+3)²......1³+2³+3³+......+n³=(1+2+3+......+n)²

我们知道：1+2+3+......+n=n(n+1)/2。还知道
1³=





1
2³=(1+1)³=1³+3*1²+3*1+1
3³=(2+1)³=2³+3*2²+3*2+1
4³=(3+1)³=3³+3*3²+3*3+1
......
n³=(n-1+1)³=(n-1)³+3*(n-1)²+3*(n-1)+1




(n+1)³=n³+3*n²+3*n+1
全部相加。
如果我们注意到每一行的第一项都与下一行第二个等号后的第一项抵消了的话，就得到以下结果：
(n+1)³=1+3(1²+2²+3²+......+n²)+3(1+2+3+......+n)+(1+1+1+......+1)
令1²+2²+3²+......+n²=s


则
(n+1)³=1+3s+3(n(n+1)/2)+n


整理得
3s=(n+1)³-1-3(n(n+1)/2)-n
6s=2(n+1)³-2-3(n(n+1)-2n
=2(n³+3n²+3n+1)-2-3(n²+n)-2n
=2n³+6n²+6n+2-2-3n²-3n-2n
=2n³+6n²-3n²+6n-3n-2n+2-2
=2n³+3n²+n
=n(2n²+3n+1)
=n(n+1)(2n+1)
s=n(n+1)(2n+1)6
第二个可以用和的四次方公式参照以上方法推导。

1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n

2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n

各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)

n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)

n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1

n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2

3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)

1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2

(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1

2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
......
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1

各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n

4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2

1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

这两个公式应该用数学归纳法来证明!
1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
当n=1时,显然成立.
设n=k时也成立,即:
1^2+2^2+3^2+……+k^2=k(k+1)(2k+1)/6
那么当n=k+1时,等式的左边等于:
1^2+2^2+3^2+……+k^2+(k+1)^2
=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2
=(k+1)[k(2k+1)/6+(k+1)]
=(k+1)[2k^2+k+6k+6]/6
=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
而等式的右边等于:(当n=k+1时)
(k+1)(k+1+1)(2k+2+1)/6
=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
即当n=k+1时,等式左边等于等式的右边
所以对于一切n,等式都成立
至于第二问,你自己可以参照这种方法来证明,我相信你一定能行!

若n＝2m
首尾两项凑平方
[(1+n)^2-2*1*n]+[(2+(n-1))^2-2*2*(n-1))]+...+[(m+m+1)^2-2*m*(m+1)]=
n*(n+1)^2-2[1*2m+2*(2m-1)+...+m*(m+1)]
又
1*2m+2*(2m-1)+...+m*(m+1)=
1*2m+2*(2m-1)+...+m*[2m-(m-1)]=
2m*(1+2+...+m)-[2*1+3*2+...+m*(m-1)]=
m^2(m+1)-[1*(1-1)+2*(2-1)+m*(m-1)]=
m^2(m+1)-[1^2+2^2+...+m^2-(m*(m+1)/2)]
又1^2+2^2+3^2+……+n^2＝1^2+2^2+3^2+……+m^2＋（m+1）^2+...+(m+m)^2
1^2+2^2+3^2+……+m^2＝A
1^2+2^2+3^2+……+n^2=2A+m^3+2m(m*(m+1)/2)
两边有2A+m^3+m^2*(m+1)=n*(n+1)^2-2{m^2*(m+1)-[A-(m*(m+1)/2)]}
结果A没了
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荔湾区17877095472： 自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导 - ？
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荔湾区17877095472： 自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导?即:1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6还有1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2这两个公式怎么推导! - ？
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言哑三七： 我们知道:1+2+3+......+n=n(n+1)/2.还知道 1³= 1 2³=(1+1)³=1³+3*1²+3*1+1 3³=(2+1)³=2³+3*2²+3*2+1 4³=(3+1)³=3³+3*3²+3*3+1 ...... n³=(n-1+1)³=(n-1)³+3*(n-1)²+3*(n-1)+1 (n+1)³=n³+3*n²+3*n+1 全部相加. 如果我...

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