自然数列立方和公式
平方和的推导利用立方公式：
(n+1)³-n³=3n²+3n+1 ①
记Sn=1²+2²+....+n²， Tn=1+2+..+n=n(n+1)/2
对①式从1~n求和，得：
∑(n+1)³-n³=3∑n²+3∑n+∑1
(n+1)³-1=3Sn+3Tn+n
这就得到了Sn=n(n+1)(2n+1)/6
类似地，求立方和利用4次方公式：
(n+1)^4-n^4=4n³+6n²+4n+1
例如：
2^3= (1+1)^3 =1^3+3*1^2+3*1+1
3^3= (2+1)^3 =2^3+3*2^2+3*2+1
4^3= (3+1)^3 =3^3+3*3^2+3*3+1
. . . . . .
(n+1)^3=(n+1)^3=n^3+3*n^2+3n+1
去掉中间步，将右边第一项移到左边得：
2^3 - 1^3=3*1^2+3*1+1
3^3 - 2^3=3*2^2+3*2+1
4^3 - 3^3=3*3^2+3*3+1
. . . . . .
(n+1)^3-n^3=+3*n^2+3n+1
两边分别相加
(n+1)^3-1^3=3（1^2+2^2+3^2+4^2+...... +n^2)+3(1+2+3+4+...+n)+n
1^2+2^2+3^2+4^2+...... +n^2=[(n+1)^3-1^3-3(1+2+3+4+...+n)-n]/3
整理即得
1^2+2^2+3^2+4^2+...... +n^2=n*(n+1)(2n+1)/6
扩展资料：
常见数列求和的方法：
1、公式法：
等差数列求和公式:
Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2
等比数列求和公式：
Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)
2、错位相减法
适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式 { an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.
Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn
例如：an=a1+(n-1)d bn=a1·q^(n-1) Cn=anbn Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4.+anbn
qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)
Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)
Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn) =a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q) Tn=上述式子/(1-q)
3、裂项法
适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式,即an=f(n+1)－f(n),然后累加时抵消中间的许多项。
参考资料来源：百度百科-数列求和
幸好被我看见设N=1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 M=1^3+2^3+3^3+...+n^3 X=1+2+3+...+nn^4-(n-1)^4=n^3+n^2(n-1)+n(n-1)^2+(n-1)^3 =4n^3-6n^2+4n-1(n-1)^4-(n-2)^4=4(n-1)^3-n(n-1)^2+4(n-1)-1...2^4-1^4=4*2^3-6*2^2+4*2-1累加得n^4-1^4=4*(M-1)-6(N-1)+4(X-1)-n+1因为N，X已知 所以可以通过移项求得1^3+2^3+3^3+...+n^3=(n(n+1)/2)^2Ps:满意答案给我 ，又用排列组合比较简单
对于连续自然数的一次和,平方和,立方和,四次和,……，答案就是关于n的二次式，三次式，四次式，……，可以考虑用运用待定系数法,比如本题,平方和就是三次式,那么假设An^3+Bn^2+Cn+D,四个未知 系数,取n=1,2,3,4就得到四个一次方程,解出就可以啦前n个自然数的立方和公式
[n(n+1)/2]的平方
首n个自然数平方和的公式
n(n+1)(2n+1)/6
首n个自然数之和的公式
n(n+1)/2
[n(n-1)/2]的平方
[n(n+1)]^2/4
^2表示平方
n^2×(n+1)^2/4
自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导?
1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)\/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]=n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ...n^3-(n-1)^3=2...
立方和求和公式
立方和求和公式的推导过程可以通过数学归纳法来进行证明。证明的关键在于发现一个递推公式，即下一个数等于前一个数加上它自己的立方再减去前一个数的立方。通过这个递推公式，我们可以逐步推导出任何长度的数列的立方和公式。此外，立方和求和公式还有一些变种，例如可以计算形如a^3+b^3的和等。这些...
请问数列的立方和公式怎么证明的???请详细说明
设1^3+2^3+...n^3=[n(n+1)\/2]^2 成立 则1^3+2^3+...n^3+(n+1)^3=[n(n+1)\/2]^2+ (n+1)^3 (化间)=(n^4+6n^3+13n^2+12n+4)\/4 又因为[(n+1)(n+1+1)\/2]^2=(n^4+6n^3+13n^2+12n+4)\/4 (化间)所以 1^3+2^3+...n^3+(n+1)^3=[n...
数列求和n三次方
如下：1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)\/2]^2 证明：利用立方差公式：(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]=(2n^2+2n+1)(2n+1)=4n^3+6n^2+4n+1 2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1 3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1 4^4-3^4=4*3^3+6*3^...
求1方+2方+3方+4方……n方 的公式 及 推导过程
数列公式1立方+2立方+...n立方=1\/4n方*（n+1）方的推导过程，不要数学归纳法，用找规律法 (1+1)^3+(2+1)^3+...+(n+1)^3=1^3+2^3+...n^3+3(1^2+2^2+...+n^2)+3(1+2+...+n)+n 命S=1^3+2^3+...n^3 S+(n+1)^3-1=S+n(n+1)(2n+1)\/2+3n...
n立方倒数的求和公式
n立方数列求和公式是(n+1)³-n³=3n²+3n+1，立方和公式是有时在数学运算中需要运用的一个公式。该公式的文字表达为：两数和，乘它们的平方和与它们的积的差，等于这两个数的立方和。数列（sequence of number），是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，是一列有序...
n项立方和公式
二式做差： an^3=Sn^2-Sn-1^2=（Sn-Sn-1）（Sn+Sn-1）=an（Sn+Sn-1）俩边除以an，an^2=Sn+Sn-1 =an+Sn-1+Sn-1=+2*Sn-1 （an+1 中n+1是下脚标） an+1^2=an+1+2*Sn 再做差： an+1^2-an^2=an+1-an+2an=an+1+an；an+1-an=1 是等差数列 a1^3...
数列{N~2}求和公式?就是1的平方+2的平方+3的平方+…+N的平方=N(N+...
同理利用4次方公式可以得到立方和公式 三是利用物理学原理：这个需要画图,比较麻烦.我就简单说明一下大概意思：画一条射线,在坐标中顶点为原点,然后再横坐标为1的位置放一个质量为1的质点,在横坐标为2的位置放2个质量为1的质点,这样继续下去,构成一个正三角形的质点分布图.然后这些质点的对于原点的...
立方和公式与立方差公式的推导过程
这个题目其实可以从反方向去理解，就是计算下面两个乘法公式：（a+b）（a²-ab+b²）=a³+b³（a-b）（a²+ab+b²）=a³-b³之后反过来记忆结果就可以 如果非要从正面推导的话，可以选用添加项的方法，如 a³+b³=a³+a&#...
数列求和:1方+2方+3方+4方+5方+6方+…+n方
再将第二个三角形顺时针旋转60度，得到第三个三角形 然后，将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加，我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了2n+1 而总共有几个圈呢，这是一个简单的等差数列求和 1+2+……+n=n(n+1)\/2 于是3r=[n(n+1)\/2]*(2n+1)r=n(n+1)(2n+1)\/6谢谢采纳 ...
唱品感冒：[答案] 1^3+2^3+3^3+…+n^3=[n(n+1)/2]^2
信阳市15861122229： 自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导 - ？
唱品感冒：[答案] 平方和的推导利用立方公式: (n+1)³-n³=3n²+3n+1 ① 记Sn=1²+2²+....+n², Tn=1+2+..+n=n(n+1)/2 对①式从1~n求和,得: ∑(n+1)³-n³=3∑n²+3∑n+∑1 (n+1)³-1=3Sn+3Tn+n 这就得到了Sn=n(n+1)(2n+1)/6 类似地,求立方和利用4次...
信阳市15861122229： 自然数立方数列的求和公式? - ？
唱品感冒： 1^3+2^3+3^3+…+n^3=[n(n+1)/2]^2
信阳市15861122229： 自然数立方和公式? - ？
唱品感冒： 1^3+2^3+3^3+...+3^n=[n(n+1)/2]^2
信阳市15861122229： 怎样求连续的自然数的立方和?给我一个公式! - ？
唱品感冒：[答案] 1^3+2^3+3^3+4^3+……+N^3=[N*(N+1)/2]^2 ^3表示三次方.^2表示二次方
信阳市15861122229： 自然数列立方和公式 - ？
唱品感冒： 前n个自然数的立方和公式 [n(n+1)/2]的平方 首n个自然数平方和的公式 n(n+1)(2n+1)/6 首n个自然数之和的公式 n(n+1)/2
信阳市15861122229： n个自然数的立方和是多少有个公式,3Q! - ？
唱品感冒：[答案] 1^3+2^3+.+n^3=n^2(n+1)^2/4=[n(n+1)/2]^2推导过程:(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2] =(2n^2+2n+1)(2n+1) =4n^3+6n^2+4n+1 2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1 3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1 4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1...
信阳市15861122229： 自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导?即:1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6还有1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2这两个公式怎么推导! - ？
唱品感冒：[答案] 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 . n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1...
信阳市15861122229： 自然数立方和公式? - ？
唱品感冒：[答案] 1^3+2^3+3^3+...+3^n=[n(n+1)/2]^2
信阳市15861122229： 求,N个数的平方和公式,及其立方和公式.谢谢啦. - ？
唱品感冒：[答案] S=1^2+2^2+3^2+…+n^2= n(n+1)(2n+1)/6 S=1^3+2^3+3^3+…+n^3= n^2(n+1)^2/4 结论:自然数的立方和公式为n^2(n+1)^2/4,其中n为自然数.
