自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导？

自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导~

我们知道：1+2+3+......+n=n(n+1)/2。还知道
1³=





1
2³=(1+1)³=1³+3*1²+3*1+1
3³=(2+1)³=2³+3*2²+3*2+1
4³=(3+1)³=3³+3*3²+3*3+1
......
n³=(n-1+1)³=(n-1)³+3*(n-1)²+3*(n-1)+1




(n+1)³=n³+3*n²+3*n+1
全部相加。
如果我们注意到每一行的第一项都与下一行第二个等号后的第一项抵消了的话，就得到以下结果：
(n+1)³=1+3(1²+2²+3²+......+n²)+3(1+2+3+......+n)+(1+1+1+......+1)
令1²+2²+3²+......+n²=s


则
(n+1)³=1+3s+3(n(n+1)/2)+n


整理得
3s=(n+1)³-1-3(n(n+1)/2)-n
6s=2(n+1)³-2-3(n(n+1)-2n
=2(n³+3n²+3n+1)-2-3(n²+n)-2n
=2n³+6n²+6n+2-2-3n²-3n-2n
=2n³+6n²-3n²+6n-3n-2n+2-2
=2n³+3n²+n
=n(2n²+3n+1)
=n(n+1)(2n+1)
s=n(n+1)(2n+1)6
第二个可以用和的四次方公式参照以上方法推导。

猜想：1^2+2^2+3^2+...+n^2=An^3+Bn^2+Cn+D令n分别取1,2,3,4可得：1=A+B+C+D5=8A+4B+2C+D14=27A+9B+3C+D30=64A+16B+4C+D联立解得：A=1/3,B=1/2,C=1/6,D=0即1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

我们知道：1+2+3+......+n=n(n+1)/2。还知道1³=

12³=(1+1)³=1³+3*1²+3*1+13³=(2+1)³=2³+3*2²+3*2+14³=(3+1)³=3³+3*3²+3*3+1......n³=(n-1+1)³=(n-1)³+3*(n-1)²+3*(n-1)+1

(n+1)³=n³+3*n²+3*n+1
全部相加。如果我们注意到每一行的第一项都与下一行第二个等号后的第一项抵消了的话，就得到以下结果：(n+1)³=1+3(1²+2²+3²+......+n²)+3(1+2+3+......+n)+(1+1+1+......+1)令1²+2²+3²+......+n²=S

则(n+1)³=1+3S+3(n(n+1)/2)+n

整理得3S=(n+1)³-1-3(n(n+1)/2)-n6S=2(n+1)³-2-3(n(n+1)-2n=2(n³+3n²+3n+1)-2-3(n²+n)-2n=2n³+6n²+6n+2-2-3n²-3n-2n=2n³+6n²-3n²+6n-3n-2n+2-2=2n³+3n²+n=n(2n²+3n+1)=n(n+1)(2n+1)S=n(n+1)(2n+1)6第二个可以用和的四次方公式参照以上方法推导。
补充：
但是用以下方法更简单一点：1³=11³+2³=1+8=9=3²=(1+2)²1³+2³+3³=1+8+27=36=6²=(1+2+3)²......1³+2³+3³+......+n³=(1+2+3+......+n)²

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巴中市19897878313： 自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导 - ？
麻敬欣顺：[答案] 平方和的推导利用立方公式: (n+1)³-n³=3n²+3n+1 ① 记Sn=1²+2²+....+n², Tn=1+2+..+n=n(n+1)/2 对①式从1~n求和,得: ∑(n+1)³-n³=3∑n²+3∑n+∑1 (n+1)³-1=3Sn+3Tn+n 这就得到了Sn=n(n+1)(2n+1)/6 类似地,求立方和利用4次...

巴中市19897878313： 自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导?即:1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6还有1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2这两个公式怎么推导! - ？
麻敬欣顺：[答案] 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 . n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1...

巴中市19897878313： 自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导? - ？
麻敬欣顺： 我们知道:1+2+3+......+n=n(n+1)/2.还知道 1³= 1 2³=(1+1)³=1³+3*1²+3*1+1 3³=(2+1)³=2³+3*2²+3*2+1 4³=(3+1)³=3³+3*3²+3*3+1 ...... n³=(n-1+1)³=(n-1)³+3*(n-1)²+3*(n-1)+1 (n+1)³=n³+3*n²+3*n+1 全部相加. 如果我...

巴中市19897878313： 自然数立方数列的求和公式?如题 - ？
麻敬欣顺：[答案] 1^3+2^3+3^3+…+n^3=[n(n+1)/2]^2

巴中市19897878313： 数列求和问题1平方,2平方,3平方~n平方,怎么求和啊,请详述 - ？
麻敬欣顺：[答案] 平方和公式n(n+1)(2n+1)/6 即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (注:N^2=N的平方) 证明1+4+9+…+n^2=N(N+1)(2N+1)/6 证法一(归纳猜想法): 1、N=1时,1=1(1+1)(2*1+1)/6=1 2、N=2时,1+4=2(2+1)(2*2+1)/6=5 3、设N=x时,公式成立...

巴中市19897878313： 自然数立方数列的求和公式? - ？
麻敬欣顺： 1^3+2^3+3^3+…+n^3=[n(n+1)/2]^2

巴中市19897878313： 自然数列平方求和公式的推导过程1的平方加上2的平方加上3的平方一直加到n的平方上面这个数列的前n项和是多少写出推导过程方法越简单越好 - ？
麻敬欣顺：[答案] 2^3= (1+1)^3 =1^3+3*1^2+3*1+1 3^3= (2+1)^3 =2^3+3*2^2+3*2+1 4^3= (3+1)^3 =3^3+3*3^2+3*3+1 . . . . . . (n+1)^3=(n+1)^3=n^3+3*n^2+3n+1 去掉中间步,将右边第一项移到左边得: 2^3 - 1^3=3*1^2+3*1+1 3^3 - 2^3=3*2^2+3*2+1 4^3 - 3^3=3*3^2+...

巴中市19897878313： 数学问题请问n个数平方和、立方和公式是什么 - ？
麻敬欣顺： S=1^2+2^2+3^2+…+n^2= n(n+1)(2n+1)/6 S=1^3+2^3+3^3+…+n^3= n^2(n+1)^2/4 结论:自然数的立方和公式为n^2(n+1)^2/4,其中n为自然数.

巴中市19897878313： 立方和公式的推导 - ？
麻敬欣顺：[答案] a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) 红梅回答那个是和立方公式... 这个公式很简单的,一般是作为结论来使用,没有谁最早证明一说.你可以从和立方公式中反向推导. 此外,如果你是求自然数前N项的立方和,那么下面这个是推导过程. (n+1)^4=n^4+4n^3...

巴中市19897878313： 几种常见数列求和的形式是什么 - ？
麻敬欣顺： 公式:等差,等比,自然数平方、立方和,二项式定理等 倒序相加减:二项式系数 裂项求和:分母为等差数列相邻两项,可分成指数形式,可分母有理化,阶乘 错位相加减:等差与等比相乘的,两边乘以公比后再错位相减