多边形内角和和外角和

~ 我们可以先来看内角和，我先猜想内角和是有规律的，但这个规律要我慢慢去探索发现的。

那三边形的内角和是多少呢？我们根据常识可以知道是180度°，但它是如何证出来的呢?

请看我的第一个猜想，三角形内角和为180°。

三角形内角和是180°

三角形的证明有很多种，因为比较都简单，我选了其中最好理解的一种。那四边形的内角和又是多少呢？话不多说，请看。

原来四边形内角和是360°啊！

这是四边形内角和的证明，不过证明四边形一共有三种办法，这其中的第一种，这种就是把一个四边形分成了两个三角形，在利用（已证）三角形内角和来证明的，是三种中最简单的一种。

请看第二种方法。

这是四边形内角和证明的第二种方法，它也利用了三角形内角和的定理，不过又加了一个周角的性质。

请看第三种方法。

这是最后一种证明方法了，它也是利用了三角形的内角和定理，不过加了一个平角的性质。

这三种证明四边形内角和的定理各有千秋，而且都能利用到我们以证过的三角形定理，我觉得还是相当OK的。

三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，这中间有没有什么联系呢？是两倍关系吗？还是只是碰巧?还是一个角增加180°呢？

带着疑惑，我们看一下五边形内角和证明。

五边形的内角和竟然是540°！

就印证了我上面的猜想，一个角增加180度的猜想。那么也说明多边形内角和是有规律的，这个规律就是（n—2）×180°

我们正出来了内角和的规律，那么外角和是否也存在着同样的规律呢？我们可以猜测，但是在这之前我们首先要搞清楚，什么是外角？

首先，外角的含义是多角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做多角形的外角。

那么就说明三角形有三个外角，四边形有四个外角......n变形就有n个外角。

那么内角和外角是否是相等的呢？

那就用三角形来举个例子☞

从以上可以得知:三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角

很显然内角并不等于外角，那它们之间还有什么其他的特殊关系吗？

经过证明我发现是有的，请看下面。

上面的证明是由三角形内角和定理和平角的性质得成结论的，也是很简单的。

从上面可以得知，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

那么这里我想请大家注意，并不是任意一个多边形的一个外角，都等于与它不相邻的两个内角和，或许每个多边形内角与外角的关系，都有它独自的特点。

不信?那我就举一个四边形的例子吧。

上面呢，是用了四边形的内角和，和平角的性质，再加一点等量代换证出来的。

上面的结论是:四边形两个外角和等于与它不相邻的两个内角和。

可见我们不要随随便便的去，默认一些定理，如果并没有证明，那.......很大概率是错的了。

咱们回归主线。

在思考了三角形有三个外角后，也证明出了三角形的外角关系，那么......一个外角弄清楚了，那么两个外角?三个外角?外角和又是多少呢？所有图形的外角和又有什么特殊的关系吗？

我们还是先从三角形来开始研究起☞

上面我用两种方法分别证明了三有形的外角和是360°。

第一种方法用了平角的性质和三角形内角和的定理，之后再根据等量代换，求出结论。

第二种方法呢，是利用我们刚刚证明过的。外角的定理。和三角和的定理结合起来，之后得到了结论。

我个人呢，一般是比较喜欢第二种方法的，因为他既让你求了新定理，又让你实战了刚刚证明过的定理，所以我有的定理就用了好几种不同的方法来证，感受同一个定理，不同方法证明的乐趣。

已经证明了三角形的外角和是360°，那四边形呢？

这个证明呢，我是用了外角与内角的关系证出的，和上面三角形外角和证明定理二，大体是一样的思路,这时我又发现四边形外角和也是360°，这是巧合吗？还是说多边形内角和都是360°？所以我带着疑惑去证明五边形外角和是多少。

这个证明和四边形外角和是同样的道理。

我们发现五边形内角和也是360°，那么也就是说多边形内角和都是360°

到这里我们就可以证明内角和外角和的规律

多边形内角和，外角和的规律我们也是可以证明的，但我只能用文字来证明。

内角和:

在n边形内任取一点O，连结O与各个顶点，把n边形分成n个三角形，因为这n个三角形的内角的和等于n·180°，以O为公共顶点的n个角的和是360°，所以n边形的内角和是n·180°-2×180°=（n-2）·180°.（n为边数）

外角和:

n边形内角之和为(n-2)*180，设n边形的内角为∠1、∠2、∠3、...、∠n,对应的外角度数为：180-∠1、180°-∠2、180°-∠3、...、180°-∠n，外角之和为：

(180-∠1)+(180°-∠2)+(180°-∠3)+...+(180°-∠n)

=n*180°-(∠1+∠2+∠3+...+∠n)

=n*180°-(n-2)*180°

=360°

所以我们可以总结一下我们发现的两个规律

第一个:n边形的内角和等于（n-2）×180°（n为边数）

第二个:n边形外角和永远是360°

还有一些小的结论:三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和四边形中两个外角和等于与它不相邻的两个内角和等

Ps:以上我的证明方法。可能还不是全部的大家也可以笑着自己探索哦，还有，自己亲自证明出来的定理才更加有趣哟！

                                                      李佳璇

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穆棱市15527783325： 求多边形外角和和内角和的计算公式. - ？
驹审复方：[答案] 多边形的外角和都为:360 多边形的外角为:360/n(n为n边形的边数) 内角和:180(n-2) 多边形的内角:180(n-2)/n

穆棱市15527783325： 多边形内角和公式,外角和公式分别是什么? - ？
驹审复方：[答案] 多边形内角和公式:(n-2)*180° 外角和为定值:360 ° 多边形对角线条数公式:n(n-3)/2

穆棱市15527783325： 多边形的内角和和外角和的概念 - ？
驹审复方：[答案] 设多边形的边数为N 则其内角和=(N-2)*180° 因为N个顶点的N个外角和N个内角的和 =N*180° (每个顶点的一个外角和相邻的内角互补) 所以N边形的外角和 =N*180°-(N-2)*180° =N*180°-N*180°+360° =360° 即N边形的外角和等于360°

穆棱市15527783325： 多边形内角和,外角和怎么求? - ？
驹审复方： 内角和等于(n-2)*180 . n是指,多边形的边数.多边形的外角和就等于360度每个多边形都一样.

穆棱市15527783325： 多边形的内角和与外角和公式 - ？
驹审复方：[答案] n边形的内角和为(n-2)180 外角和=360

穆棱市15527783325： 一个多边形的内角和加上其一个外角和为 - ？
驹审复方：[答案] 一个凸多边形的内角和等于(n-2)*180º 外角和等于360º ∴一个多边形的内角和加上其外角和为 (n-2)*180º+360º=n*180º

穆棱市15527783325： 多边形内角和公式~ - ？
驹审复方： n边形的内角和公式为(n - 2)*180°(n大于等于3且n为整数). 推论 任意正多边形的外角和=360° 正多边形任意两条相邻边连线所构成的三角形是等腰三角形 多边形内角和定理证明 在n边形内任取一点O,连结O与各个顶点,把n边形分成n个三...

穆棱市15527783325： 一个多边形内角和与它的一个外角 - ？
驹审复方： 1.设多边形边数为n,这个外角的度数为x180°(n-2)+x=570°180°(n-2)+x=180°*3+30°n-2=3,n=52.多边形的内角和是 (n-2)*180°是180°的整数倍1675°=180°*10-125°有9*180<1675<180*10所以,n-2=10多边形的边数是12因此未知的内角是1800-1675=125°

穆棱市15527783325： 多边形的内角和的讲解 - ？
驹审复方： 多边形的内角和及外角和 从一个顶点出发可以引出(n-3)条对角线,这样把多边形分割成了(n-2)个三角形,可知这(n-2)个三角形的内角的总和恰好是n边形的内角和,故而可得n边形的内角和为(n-2)*180°(1)多边形的内角和为(n-2)*180°(n表示边数)(2)多边形的外角和为360°

穆棱市15527783325： 多边形内角和与外角和的相关题已知一个多边形的内角和比外角和多180°,求这个多边形的边数. - ？
驹审复方：[答案] 5边形.外角和是360°,所以内角和是540°.540:3+2=3+2=5.