四个连续正整数的积与1的和是不是一定是一个完全平方数
解：是
设这四个正整数为a,a+1,a+2,a+3
a(a+1)(a+2)(a+3)+1
=a(a+3)[(a+1)(a+2)]+1
=(a^2+3a)(a^2+3a+2)+1
=(a^2+3a)^2+2(a^2+3a)+1
=(a^2+3a+1)^2
所以是完全平方数。
四个连续正整数的积与1的和一定是一个完全平方数。
证：
设4个连续正整数分别为n，n+1，n+2，n+3 (其中n为正整数)
n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1
=(n²+3n)(n²+3n+2)+1
=(n²+3n)²+2(n²+3n)+1
=(n²+3n+1)²
四个连续正整数的积与1的和一定是一个完全平方数。 举例就算了，可以任意举，一定满足的。
4个连续正整数的积与1的和是完全平方数，证明如下：
证：
设4个连续正整数从小到大依次为n、n+1、n+2、n+3，其中，n∈N*
n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1
=(n²+3n)(n²+3n+2)+1
=(n²+3n)²+2(n²+3n)+1
=(n²+3n+1)²
n为正整数，n²、3n为正整数，又1为正整数，因此n²+3n+1为正整数
n(n+1)(n+2)(n+3)+1可以表示为正整数n²+3n+1的平方，因此，
n(n+1)(n+2)(n+3)+1是完全平方数。
解题思路：
1、依据题意设出4个正整数，列出代数式，若代数式通过恒等变形，能化为某正整数的平方，则代数式的值是完全平方数，反之，则不是完全平方数。
2、本题通过恒等变形，得到代数式可以表示为正整数n²+3n+1的平方，因此是完全平方数。
是
（x）*（x+1）*（x+2）*（x+3）+1
=x^4+6x^3+11x^2+6x+1
=(x^2+3x+1)*(x^2+3x+1)
因此：
（x）*（x+1）*（x+2）*（x+3）+1=（x^2+3x+1）^2
x>0开始；x=0时，平方根为1。
是对的
n(n+1)(n+2)(n+3)=n^4+6n^3+11n^2+6n+1=(n^2+3n+1)^2
命题是正确的
为什么连续n个正整数相乘,积能被n,整除
可以借助组合数公式说明.从m个不同元素中取n个元素组合,记C(m,n)中不同方法,其中m≥n,且都为正整数.C(m,n)为正整数.C(m,n)=P(m,n)\/n!其中P(m,n)表示从m个不同元素中取n个元素进行排列的不同种数,展开就是n个连续正数的积,即n个正整数相乘,积能被n!整除.
6个连续的正整数不是7的倍数,为什么他们的积除以7会余6?
就因为6个连续的正整数不是7的倍数，所以他们的积除以7才会除不尽的呀，所以才会有余数。会余6，或者是与别的都是有可能的呀，你这个问题问得真是太奇怪了，如果他们是7的倍数的话，那不就是刚好除的尽吗？
为什么连续n个正整数相乘,积能被n!整除?
可以借助组合数公式说明。从m个不同元素中取n个元素组合，记C(m,n)中不同方法，其中m≥n，且都为正整数。C(m,n)为正整数。C(m,n)=P(m,n)\/n!其中P(m,n)表示从m个不同元素中取n个元素进行排列的不同种数，展开就是n个连续正数的积，即n个正整数相乘，积能被n!整除。
为什么连续n个正整数相乘,积能被n!整除?求答案
可以借助组合数公式说明。从m个不同元素中取n个元素组合，记C(m,n)中不同方法，其中m≥n，且都为正整数。C(m,n)为正整数。C(m,n)=P(m,n)\/n!其中P(m,n)表示从m个不同元素中取n个元素进行排列的不同种数，展开就是n个连续正数的积，即n个正整数相乘，积能被n!整除。
连续100个正整数的积是否为完全平方数为什么?
连续100个正整数的积不是完全平方数。假定这个积是完全平方数，那么，它一定可以分解为若干个质因子的平方的积。而在连续100个正整数的后50个当中存在的质数，其倍数不会在这100个正整数中出现，这些质数必然为乘积中的单个质因子，不会成双出现。这与假设相矛盾。因此，连续100个正整数的积不是完全...
不定方程:证明连续四个正整数之积不能是一个完全平方数。
那么 n(n+1)(n+2)(n+3)=[n(n+3)][(n+1)(n+2)]（交换次序）=(n^2+3n)(n^2+3n+2)（各自展开）=(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)（将 n^2+3n 看作整体，展开）=(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)+1-1 =(n^2+3n+1)^2-1 （完全平方公式）连续四个正整数之积是一个完全平方数...
用数学归纳法证明:连续二个正整数的积能被2整除?
,5,数学归纳法也是一个很有用的方法。里面的道道多着呢，不懂不要乱讲。,3,其实很死板，根本不用数学归纳法，数学就是要活。连续两个正整数，不就是肯定有一个偶数吗？有偶数不就是可以被2整除吗？我坚决不用归纳。很侮辱数学,2,用数学归纳法证明:连续二个正整数的积能被2整除 如题：
试证明:连续k个正整数之积,必然被k!整除。(别抄网上的许多错误证法,运...
n+1个鸽子放进n个鸽笼，如果没有鸽笼空着，至少有一个笼子中装有2只鸽子。同理，n个连续的自然数中必有1个是n的倍数。k个正整数里，至少有1个是k的倍数，有1个是k-1的倍数（因为也是k-1个连续整数），有1个是k-2的倍数...至少有1个2的倍数。所以，连续k个正整数之积，必然被k！=k...
不定方程:证明连续四个正整数之积不能是一个完全平方数.
那么 n(n+1)(n+2)(n+3)=[n(n+3)][(n+1)(n+2)]（交换次序）=(n^2+3n)(n^2+3n+2)（各自展开）=(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)（将 n^2+3n 看作整体,展开）=(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)+1-1 =(n^2+3n+1)^2-1 （完全平方公式）连续四个正整数之积是一个完全平方数...
用数学归纳法证明:连续二个正整数的积能被2整除 如题:
n=1 1*2=2显然成立 假设n=k时 k*(k+1）能被2整除即k*(k+1）=2t(t为正整数）n=(k+1)时,（k+1)(k+2)=k^2+3k+2=k(k+1)+2(k+1)=2(t+k+1) t+k+1为正整数 （k+1)(k+2)可以被2整除.
将莲天香：[答案] 证明:设这个连续整数为:n,n+1,n+2,n+3, 这四个连续的整数的积与1的和 n(n+1)(n+2)(n+3)+1 =n(n+3)(n+1)(n+2)+1 =(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1 =(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)+1 =(n^2+3n+1)^2 所以说4个连续整数的积与1的和是一个完全平方数.
武清区13235396036： 四个连续正整数的积与1的和是不是一定是一个完全平方数 - ？
将莲天香： 假设4个连续的正整数是n n+1 n+2 n+3 n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n(n+3))((n+1)(n+2))+1=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1=(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)+1=(n^2+3n+1)^2 所以原命题成立 四个连续正整数乘积与1之和是一个完全平方数
武清区13235396036： 四个连续正整数的积与1的和是不是一定是一个完全平方数?证明+举例, - ？
将莲天香：[答案] 四个连续正整数的积与1的和一定是一个完全平方数.证:设4个连续正整数分别为n,n+1,n+2,n+3 (其中n为正整数)n(n+1)(n+2)(n+3)+1=[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1=(n²+3n)(n²+3n+2)+1=(n²+3n)²+2(n²+...
武清区13235396036： 求证四个连续整数的乘积与1的和必是一个完全平方式 - ？
将莲天香： 证明:可设这4个连续整数依次为n、n+1、n+2、n+3,则有 n(n+1)(n+2)(n+3)+1 =n(n+3)(n+1)(n+2)+1 =(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1 =(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)+1 =(n^2+3n+1)^2 所以说4个连续整数的积与1的和是一个完全平方数.
武清区13235396036： 请用分解因式的方法说明:四个连续正整数的积与1的和,一定是一个完全平方数. - ？
将莲天香：[答案] 设四个连续的正整数为n、(n+1)、(n+2)、(n+3)则 n(n+1)(n+2)(n+3)+1 =(n2+3n)(n2+3n+2)+1 =(n2+3n)2+2(n2+3n)+1 =(n2+3n+1)2.(其中n为正整数,且n>1).
武清区13235396036： 试说明:四个连续整数的乘积与1的和必定是一个完全平方数 - ？
将莲天香： 假设这4个数是: (x-1),x,(x+1),(x+2) 那么: (x-1)x(x+1)(x+2)+1 =(x^2-1)(x^2+2x)+1 =x^4+2*x^3-x^2-2x+1 (x^2+x-1)^2. 所以四个连续整数的积加1,一定是完全平方数.
武清区13235396036： 试说明连续4个正整数的积与1的和是一个正整数的平方 - ？
将莲天香： 证: 设4个连续正整数从小到大依次为n、n+1、n+2、n+3,其中,n∈N* n(n+1)(n+2)(n+3)+1 =[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1 =(n²+3n)(n²+3n+2)+1 =(n²+3n)²+2(n²+3n)+1 =(n²+3n+1)² 是正整数n²+3n+1的平方. 即:4个连续正整数的积与1的和是一个正整数的平方.解题思路:按已知条件要求列出代数式,通过恒等变形,推导为一个正项整数多项式平方的形式,即证明了命题成立.
武清区13235396036： 请用分解因式的方法说明:四个连续正整数的积与1的和,一定是一个完全平方数 - ？
将莲天香： 解:设最小的数为x,,则 x(x+1)(x+2)(x+3)+1=[x(x+3)][(x+1)(x+2)]+1=(x²+3x)(x²+3x+2)+1=(x²+3x)²+2(x²+3x)+1=(x²+3x+1)² ∴四个连续正整数的积与1的和,一定是一个完全平方数
武清区13235396036： 四个连续正整数的乘积加上1,所得的和,一定是一个质数的平方吗? - ？
将莲天香： 解:如果第一个正整数是x,则连续四个正整数就是 x、x+1、x+2、x+3, 现在我们试著因式分解 x(x+1)(x+2)(x+3)+1, x(x+1)(x+2)(x+3)+1=[x(x+3)][(x+1)(x+2)]+1= [x2+3x][(x2+3x)+2]+1=(x2+3x)2+2(x2+3x)+1= (x2+3x+1)2 , ∴这四个数的乘积加1一定可以是正整数的平方,但是不一定是质数平方.比如x=6时,6^2+3x6+1=55 55是个合数.
武清区13235396036： 证明:4个连续正整数的积加上1一定是完全平方数. - ？
将莲天香：[答案] 证明:可设这4个连续整数依次为n、n+1、n+2、n+3,则有 n(n+1)(n+2)(n+3)+1 =n(n+3)(n+1)(n+2)+1 =(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1 =(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)+1 =(n^2+3n+1)^2 所以说4个连续整数的积与1的和是一个完全平方数.
