试证明：连续k个正整数之积，必然被k！整除。（别抄网上的许多错误证法，运用高中竞赛及以下内容）

如何用"k个连续正整数中必有一个能被k整除"证明任意k个连续整数能被k，整除~

把这k个连续正整数，写成ks+i, ks+i+1,ks+i+2,...,ks+i+（k-1）的形式
其中整数i满足 0<i<k
假设这些数都不能被k整除，则

0<i<k且0<i+（k-1）<k
则有
0<i<k且 i-1<0
即0<i<1
而这是不可能成立的，因此假设错误，则必有1个能被k整除

确实对于任意n>1，都存在满足这一条件的n个整数的序列。

a1=2，a2=3，a3=a1*a2+1，a4=a1*a2*a3+1，。。。a(n)=a1*a2*...*a(n-1)+1。

都能满足你的要求，简单验算下：

n=2，（2，3），满足。
n=3，（2，3，7），满足。
n=4，（2，3，7，43），满足。
n=5，（2，3，7，43，1807），满足。
n=6，（2，3，7，43，1807，3263443），满足。
。。。。。。

用数学归纳法就可以证明了，每次把最后一项分裂成两项，真心不难。


唯一性是否成立，这部分可能会很有难度，让我再想想。现在能想到的结论是：a1，。。。，an必须两两互素。后面可能本叼就无能为力了，我的存在性部分就算是抛砖引玉吧。

首先要说说鸽笼原则
n+1个鸽子放进n个鸽笼，如果没有鸽笼空着，至少有一个笼子中装有2只鸽子。
同理，n个连续的自然数中必有1个是n的倍数。
k个正整数里，至少有1个是k的倍数，有1个是k-1的倍数（因为也是k-1个连续整数），有1个是k-2的倍数...至少有1个2的倍数。
所以，连续k个正整数之积，必然被k！=k（k-1）（k-2）···2·1 整除。

n+1到n+k这k个数里面，任意质数p的因子重数为

[(n+k)/p]-[n/p]+[(n+k)/p^2]-[n/p^2]+[(n+k)/p^3]-[n/p^3]+....... (把p的次数无限提高，求和)

函数[x]代表不超过x的最大整数，即向下取整函数。

1到k这k个数里面，任意质数p的个数为

[k/p]+[k/p^2]+[k/p^3]+......

因为向下取整函数的性质：对任意实数x，y，都有[x]+[y]<=[x+y]，所以

[(n+k)/p]-[n/p]>=[k/p]
[(n+k)/p^2]-f(n/p^2)>=[k/p^2]
[(n+k)/p^3]-[n/p^2]>=[k/p^3]
....

因此一求和，(n+1)*...*(n+k)里面的p因子重数总是不比k!里的少。

因为这个关系对任意质数p都成立，分析下质因数分解可知，所以就能整除了。

郭敦顒回答：
连续k个正整数之积，设最小的正整数是a+1，则
连续k个正整数之积是从（a+k）个元素中取k个元素的选排列数
=A下标（a+k）上标k=P下标（a+k）/P下标a=（a+k）！/a！
但组合数C下标（a+k）上标k= A下标（a+k）上标k/ k！=（a+k）！/（a！• k！）
∴连续k个正整数之积，必然被k！整除。

设这连续k个正整数里最大的数为n，则n(n-1)(n-2)...(n-k+1)/k!是组合数C(n,k)，必然是正整数。

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象山县19443979275： 如何用＂k个连续正整数中必有一个能被k整除＂证明任意k个连续整数能被k,整除 - ？
淡魏仟德： 把这k个连续正整数,写成ks+i, ks+i+1,ks+i+2,...,ks+i+(k-1)的形式 其中整数i满足 0假设这些数都不能被k整除,则0则有0即0而这是不可能成立的,因此假设错误,则必有1个能被k整除

象山县19443979275： n个连续正整数之积一定能被n!整除(不用组合数公式) - ？
淡魏仟德： 根据抽屉原理,连续N个数中,必有且仅有1个数能被N整除,即 连续2个数中,必有1个数能被2整除、 连续3个数中,必有1个数能被3整除、 …… 因连续的N个数,对被N除的余数,有且必有从0到N-1这N种.按此推论,连续N个数中,必存在数字能被2、3、……、N-1、N整除.即 连续3个数中,必有一些数能被2、3整除、 连续4个数中,必有一些数能被2、3、4整除、 ……综上,连续N个数,必含有因数1、2、3、……、N,即 n个连续正整数之积一定能被n!整除

象山县19443979275： 证明:n个连续整数之积一定能被n!整除 - ？
淡魏仟德： 给一个算是说明吧: 首先排除n个连续整数中有正有负的情况,因为这时这n个整数中含0,整除是显然的; 那么以下就可以假设这n个整数都是正的,因为负的情况可以完全类似得出. 设m是任给一个正整数,那么题目就是m(m+1)...(m+n-1)/n!是一个整数,而这个数是以下问题的答案:从m+n-1个互不相同的东东中任取n个有多少种取法,显然是个整数.

象山县19443979275： 证明连续k个正整数之积不是完全平方数 - ？
淡魏仟德：[答案] 有点多,你确认要要? 我一点一点的给你打 . k=101的证明吧 假设存在连续101个正整数之积为完全平方数,则这101个正整数中,至多2个97的倍数,2个89的倍数,2个83的倍数,2个79的倍数,2个73的倍数,2个71的倍数,2个67的倍数,2个61...

象山县19443979275： 用数学归纳法证明两个连续正整数的积能被2整除. - ？
淡魏仟德：[答案] 1)当连续正整数是1和2时,1*2=2能被2整除 2)假设k和k+1的积k(k+1)能被2整除, 那么k+1和k+2的积 (k+1)(k+2)=k(k+1)+2(k+1)中 ∵k(k+1)和2(k+1)都能被2整除 ∴k(k+1)+2(k+1)即(k+1)(k+2)也能被2整除. 由1)和2)知,两个连续...

象山县19443979275： n个连续整数的乘积一定能被n!整除如题,可以证明一下么?....不是你们理解的那样比如说K为整数,从K起以后的连续n个整数的乘积能被n!整除k=1时就... - ？
淡魏仟德：[答案] 设a为任一整数,则式: (a+1)(a+2)...(a+n) =(a+n)!/a! =n!*[(a+n)!/(a!n!)] 而式中[(a+n)!/(a!n!)]恰为C(a+n,a),也即是从a+n中取出a的组合数,当然为整数. 所以(a+1)(a+2)...(a+n)一定能被n!整除

象山县19443979275： 证明连续k个正整数之积不是完全平方数 - ？
淡魏仟德： K是个确定的数时好证明 不确定的话俺不会

象山县19443979275： 用数学归纳法证明:连续二个正整数的积能被2整除 - ？
淡魏仟德： n=1 1*2=2显然成立 假设n=k时 k*(k+1)能被2整除即k*(k+1)=2t(t为正整数) n=(k+1)时,(k+1)(k+2)=k^2+3k+2=k(k+1)+2(k+1)=2(t+k+1) t+k+1为正整数 (k+1)(k+2)可以被2整除.

象山县19443979275： 证明:对任给的正整数K,必有K个连续正整数都是合数 谢谢大家啦 - ？
淡魏仟德： 令a=(n+1)! 则从a+2到a+(n+1)一共n个数都是合数 因为a能被从2到n+1中的所有数整除 所以a+2能被2整除,a+3能被3整除,……,a+(n+1)能被n+1整除 所以这n个数都是合数

象山县19443979275： 五个连续整数的积能被358整除 - ？
淡魏仟德： 大概是要证明:五个连续整数的积一定都能被3,5,8整除.设五个连续整数为:n-2, n-1, n, n+1, n+2因为(n-1),n,(n+1)一定有一个是3的倍数,所以(n-1)n(n+1)一定能被3整除,从而五个连续整数之积一定能被3整除因为是5个连续整数...