函数f(x)与xf(x)在[a,b]上连续,且f(x)与xf(x)在[a,b]上的定积分都==0,

设函数f(x)在【a，b】上连续且单调增加，求证∫[a , b] xf(x)dx >=a+b/2∫[a , b] f(x)dx~

记：g(x)=S[a,x]tf(t)dt-[(a+x)/2]S[a,x]f(t)dt,a=0,（其中f(x)单增）可得g(x)在x>=a上单调不减，于是g(x)>=g(a)=0，取x=b则原命题得证。

只需考虑f是非零函数的情况即可。首先，f在(a b)上必有变号点，否则f恒大于0或恒小于0，积分为0意味着f恒等于0，矛盾。其次，若f在(a b)上只有一个变号点x0，考虑g(x)=(x-x0)f(x)，则g(x)不变号，且g(x)=xf(x)-x0*f(x)的积分值为0，于是g(x)恒等于0，矛盾。

假设f(x)在（a，b）上恒不等于0，则f(x)在（a，b）内恒正或恒负，根据积分不等式性质有 f（x）在（a，b）上的积分要么大于0，要么小于0.
这与f(x)在[a,b]上的定积分==0矛盾。故存在一点x1在（a，b）上，使f（x1）=0.
假设 f（x）在（a，b）内有一个零点x1，则 f(x)在[a,b]上的定积分 是等于f（x）在（a，x1）上的定积分 加上 f（x）在（x1，b）上的定积分
且f（x）在（a，x1）与（x1，b）每个区间内不变号。故有 f（x）在（a，x1）上的定积分 与 f（x）在（x1，b）上的定积分 互为相反数，而且不等于0.
从而f（x）在x1两边异号，所以 g（x）=（x - x1）×f（x）在两边同号，即g（x）在（a，b）内除一个零点x1外恒正或恒负，由g（x）的连续性可得
g（x）在[a,b]上的定积分 不等于零。 但是 g（x）在[a,b]上的定积分 是等于 xf(x)在[a,b]上的定积分 加上 x1倍的f(x)在[a,b]上的定积分，那么 g在[a,b]的定积分等于0。
矛盾，故在（a，b）内至少存在两点m，n，使得f(x)=0

打得密密麻麻，可能比较难看，抱歉！

假设f(x)在（a，b）上恒不等于0，则f(x)在（a，b）内恒正或恒负，根据积分不等式性质有 f（x）在（a，b）上的积分要么大于0，要么小于0.
这与f(x)在[a,b]上的定积分==0矛盾。故存在一点x1在（a，b）上，使f（x1）=0.
假设 f（x）在（a，b）内有一个零点x1，则 f(x)在[a,b]上的定积分 是等于f（x）在（a，x1）上的定积分 加上 f（x）在（x1，b）上的定积分
且f（x）在（a，x1）与（x1，b）每个区间内不变号。故有 f（x）在（a，x1）上的定积分 与 f（x）在（x1，b）上的定积分 互为相反数，而且不等于0.
从而f（x）在x1两边异号，所以 g（x）=（x - x1）×f（x）在两边同号，即g（x）在（a，b）内除一个零点x1外恒正或恒负，由g（x）的连续性可得
g（x）在[a,b]上的定积分 不等于零。 但是 g（x）在[a,b]上的定积分 是等于 xf(x)在[a,b]上的定积分 加上 x1倍的f(x)在[a,b]上的定积分，那么 g在[a,b]的定积分等于0。
矛盾，故在（a，b）内至少存在两点m，n，使得f(x)=0

利用定积分的中值定理知道 f(x)在区间[a,b]的定积分值满足关系式 ∫f（x）dx = f（ε）（b-a） ，ε为位于[a,b]上的数，如果∫f（x）dx = f（ε）（b-a）= 0 ，那么必然就有 f（ε）= 0 。
xf(x)在[a,b]上的定积分为零，那么必然有 ∫xf（x）dx = ηf（η）（b-a）=0，η为位于区间 [a,b]上的数 ，于是 ηf（η）=0 ，于是有 η=0 或 f（η）=0 以后再补充
算了，不追加别的了，我剩下的思路和一楼的相同了。

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柳州市13638666519： 函数f(x)与xf(x)在[a,b]上连续,且f(x)与xf(x)在[a,b]上的定积分都==0,证明:f(x)在[a,b]上至少存在两个不同点m,n使得f(x)=0 - ？
赞炊固泰：[答案] 假设f(x)在(a,b)上恒不等于0,则f(x)在(a,b)内恒正或恒负,根据积分不等式性质有 f(x)在(a,b)上的积分要么大于0,要么小于0.这与f(x)在[a,b]上的定积分==0矛盾.故存在一点x1在(a,b)上,使f(x1)=0.假设 f(x...

柳州市13638666519： 已知f(x)在【a,b】上连续,且f(x)与xf(x)在此区间积分值都为0,求证f(x)=0在【a,b】上至少有两不等实根. - ？
赞炊固泰： 郭敦顒回答:计算所予定积分:∫【a,b】f(x)dx=F(x)|【a,b】=F(b)-F(a)=0 ∴a=-b;又∫【a,b】xf(x)dx=G(x)|【a,b】=G(b)-G(a)=0 ∴a=-b.∴在【a,b】上至少有x=a,和x=b的两个x的值.

柳州市13638666519： 函数f(x)与xf(x)在[a,b]上连续,且f(x)与xf(x)在[a,b]上的定积分都==0, - ？
赞炊固泰： 假设f(x)在(a,b)上恒不等于0,则f(x)在(a,b)内恒正或恒负,根据积分不等式性质有 f(x)在(a,b)上的积分要么大于0,要么小于0.这与f(x)在[a,b]上的定积分==0矛盾.故存在一点x1在(a,b)上,使f(x1)=0.假设 f(x)在(a,b)内有一个零点x1,则 f(x)在[a,...

柳州市13638666519： 已知二次函数f(x)图像的对称轴为x=x0,它在[a,b]上的值域为[f(b),f(a)],则 - ？
赞炊固泰： f((x)在[a,b]上的值域为[f(b),f(a)], 即:f(x)在[a,b]上单调递减 所以x0一定不在[a,b]范围内 选D

柳州市13638666519： 设函数f(x)在【a,b】上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0 试证明(a,b)内设函数f(x)在【a,b】上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0试证明(a,b)内... - ？
赞炊固泰：[答案] g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,g(a)=g(b)=0,所以满足罗尔定理. 故(a,b)内至少存在一点c,使得g′(c)=0,而g′(x)=[e^xf′(x)-e^xf(x)]/(e^x)^2=f′(x)-f(x)]/e^x g′(c)=[f′(c)-f(c)]/e^c,g′(c)=0,f′(c)-f(c)=0,f′(c)=f(c)

柳州市13638666519： 函数f(x)在[a,b]上有定义且|f(x)|在[a,b]上可积,此时f(x)在[a,b]上的积分存不存在?？
赞炊固泰： 若函数f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a.b]上可积.对于你的问题我举个反例你就知道了,设f(x)=1(x≥0),-1(x此时f(x)不是连续函数,但是|f(x)|=1是连续函数所以f(x)不一定可积.

柳州市13638666519： 3、函数f(x)在区间[a,b]上有定义,则函数f(x)在区间[a,b]一定有界 - 上学...？
赞炊固泰： 证明:很简单啊,用罗尔定理证明设F(x)=xf(x),显然函数F(x)在区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导, 且F(a)=af(a)=0,F(b)=bf(b)=0,即F(a)=F(b) 所以根据罗尔定理,在(a,b)内至少存在一点ξ,使得F′(ξ)=f(ξ)+ξf′(ξ)=0. 故得证.

柳州市13638666519： 设函数f(x)在【a,b】上连续且单调增加,求证∫[a ,b] xf(x)dx >=a+b/2∫[a ,b] f(x)dx - ？
赞炊固泰：[答案] 记:g(x)=S[a,x]tf(t)dt-[(a+x)/2]S[a,x]f(t)dt,a

柳州市13638666519： 设函数f(x)在【a,b】上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0 试证明(a,b)内 - ？
赞炊固泰： ^g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,g(a)=g(b)=0,所以满足罗尔定理. 故(a,b)内至少存在一点c,使得g′(c)=0,而g′(x)=[e^xf′(x)-e^xf(x)]/(e^x)^2=f′(x)-f(x)]/e^x g′(c)=[f′(c)-f(c)]/e^c, g′(c)=0,f′(c)-f(c)=0,f′(c)=f(c)