为什么F(x)＝∫a到xf(t)dt，F'(x)＝f(x)

F(x)=∫上b下xf(t)dt求F(x)’~

如图

看仔细，是关于t积分

设f(x)的原函数为G(x)，则G'(x)=f(x)

F'(x)=[∫[a：x]f(t)dt]'

=[G(x)-G(a)]'

=G'(x)-G'(a)

=f(x)-0

=f(x)

函数可导的条件：

如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义。函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。

可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。

设f(x)的原函数为G(x)，则G'(x)=f(x)
F'(x)=[∫[a：x]f(t)dt]'
=[G(x)-G(a)]'
=G'(x)-G'(a)
=f(x)-0
=f(x)
这样理解最直观而且不容易错。基础的掌握了，提高难度，解法也是一样的。
例如：F(x)=∫[a²：x²]f(t)dt
设f(x)的原函数为G(x)，则G'(x)=f(x)
F'(x)=[∫[a²：x²]f(t)dt]'
=[G(x²)-G(a²)]'
=G'(x²)-G'(a²)
=f(x)·(x²)'-0
=2x·f(x)
结果就不是f(x)了，解法是一样的。

只有最后一个
(∫[a,x^2]f(t)dt)'=2xf(x^2)
是正确的
对于变上限积分∫[a,g(x)]f(t)dt
其对x求导就
用g(x)代替f(t)中的t，
然后再乘以g'(x)，即g(x)对x求导
在这里
显然x^2的导数是2x，
所以
(∫[a,x^2]f(t)dt)'=2xf(x^2)
而(∫[a,x]f(t)dt)'=f(x)
∫[a,b]f(t)dt为常数，求导为0
都是不对的

F(x)就是从a到x对f(x)进行积分，求导则是进行微分，积分后在微分当然就等于f(x)本身了

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吐鲁番地区19852386019： 这句话怎么理解 若f(x)在[a,b]上不连续 则F(x)=∫a→xf(t)dt - ？
丛趴信立： 比如 f(x)= {2x x≠1 {0 x=1在[0,2]上 F(x)=∫(0→x)f(t)dt=x² 【这个你完全可以自己求积分验证】 F(x)连续可导,且F'(x)=2x 所以,F'(x)≠f(x)【反例的构思】 f(x)有可去间断点即可.

吐鲁番地区19852386019： ∫(0到x)f(t)dt和∫(0到t)f(u)du,是相等的,为什么呢? - ？
丛趴信立： 因为f(t)和f(u)本来表示的是同个函数关系,只是f(t)中的自变量用t表示的,f(u)中的自变量用u表示的.只要积分区间相同,原函数自然相同.比如说,你的第一个积分区间是[0,x],,第二个积分区间是[0,u],x与u只不过是自变量的不同表达形式,其实你愿意用任何一个字母都行. 这个问题看起来显而易见,但是解释起来真费劲,也不知道你看明白没,希望能对你有所帮助.

吐鲁番地区19852386019： f(x)在闭区间a到b上连续,F(x)=∫a到x (x - t)f(t)dt,x在a到b上,求F(x)的二阶导数如题,紧急谢谢 - ？
丛趴信立：[答案] F(X)的二阶导数为f(X).F(x)=)∫a到xxf(t)dt-∫a到xtf(t)dt,那么F(X)的一阶导数就是∫a到xf(t)dt+xf(x)-xf(x)=∫a到xf(t),从而F(X)的二阶导数就是f(x)了.

吐鲁番地区19852386019： f(x)在闭区间a到b上连续,F(x)=∫a到x (x - t)f(t)dt,x在a到b上,求F(x)的二阶导数？
丛趴信立： F(X)的二阶导数为f(X).F(x)=)∫a到xxf(t)dt-∫a到xtf(t)dt,那么F(X)的一阶导数就是∫a到xf(t)dt+xf(x)-xf(x)=∫a到xf(t),从而F(X)的二阶导数就是f(x)了.

吐鲁番地区19852386019： 设函数在[a,b]上连续,F(x)=∫(a到x) f(t)(x - t)dt,求F(x)'' 求详解! - ？
丛趴信立： F(x)'=∫(a到x)f(t)dt; F(x)' '=f(x); 注:把x看作常数提出来,F(x)=∫(a到x) f(t)(x-t)dt=x∫(a到x) f(t)dt-∫(a到x) tf(t)dt

吐鲁番地区19852386019： 中值定理的证明题 - ？
丛趴信立： 设F(x)=f(x)-f(a)-(x2-a2)(f(b)-f(a))/(b2-a2) 则F(a)=F(b)=0,F(x)在[a,b]上满足中值定理条件 ∴存在ξ∈(a,b)使得F'(ξ)=0 即f'(ξ)-2ξ(f(b)-f(a))/(b2-a2)=0 即2ξ(f(b)-f(a))=(b2-a2)f'(ξ)

吐鲁番地区19852386019： 若F(x)=∫(x,a)xf(t)dt,则F'(x)= - ？
丛趴信立： F(x)=∫(x,a)xf(t)dt = x∫(x,a)f(t)dt F'(x) = ∫(x,a)f(t)dt + xf(x)

吐鲁番地区19852386019： limx趋近于x/x - a∫a到xf(t)dt,其中f(x)连续 - ？
丛趴信立： 解:lim(x->a)【 x *∫(a->x) f(t) dt】 /(x-a) (0/0)=lim(x->a) [xf(x) - ∫(a->x) f(t) dt ]=af(a)

吐鲁番地区19852386019： 设f(x)是连续函数,且h(x)=∫(a,x²)xf(t)dt,则h'(x)=? - ？
丛趴信立： 解:h(x)=∫(a,x²)xf(t)dt=x∫(a,x²)f(t)dt (因为是对t积分,x可看作不变量,故提到前面) h'(x)=d[x∫(a,x²)f(t)dt]/dx=∫(a,x²)f(t)dt+x*d[∫(a,x²)f(t)dt]/dx =∫(a,x²)f(t)dt+x*f(x²)*2x=∫(a,x²)f(t)dt+2x²f(x²)

吐鲁番地区19852386019： 为什么不定积分∫{0,x}[∫{0,t}f(x)dx]dt=∫{0,x}f(t)(x - t)dt_？
丛趴信立： x^(-2)·f(x)=∫(0→x)f(t)dt 两边同时求导得到, x^(-2)·f'(x)-2x^(-3)·f(x)=f(x) f'(x)=(2/x+x²)·f(x) df(x)/f(x)=(2/x+x²)dx 积分得到, ln|f(x)|=2ln|x|+x³/3+C1 ∴f(x)=Cx²·e^(x³/3) 【其中,C为任意常数】