求数列an的通项公式有哪些方法？

求数列an的通项公式有哪几种方法~

①等差数列和等比数列有通项公式
②累加法：用于递推公式为 ，且f(n)可以求和
③累乘法：用于递推公式为 且f(n)可求积
④构造法：将非等差数列、等比数列，转换成相关的等差等比数列
⑤错位相减法：用于形如数列由等差×等比构成：如an=n·2^n

【累加法】
求数量1、1/2、1/4、1/7 ……的通项公式
解：先看数列1,2,4,7……
研究它的规律发现：
a1=1
a2=a1+1
a3=a2+2
---------
an=a(n-1)+(n-1)
上述式子相加得：
a1+a2+a3+----+a(n-1)+an=a1+a2+a3+----+a(n-1)+1+1+2+3+---+(n-1)
an=1+1+2+3+---+(n-1)
=1+n(n-1)/2
=(n²-n+2)/2
所以1、1/2、1/4、1/7 的通项公式是an=2/(n²-n+2).

数列{an},a1=1,an=3^(n-1)+an-1,n>=2,求an通项公式
解：an=3^(n-1)+a(n-1)
an-a(n-1)=3^(n-1)
a(n-1)-a(n-2)=3^(n-2)
a(n-2)-a(n-3)=3^(n-3)
......
a2-a1=3
累加得：an-a1=3^(n-1)+3^(n-2)+...+3=(3^n -3)/2
an=3^n/2-1/2

【利用Sn与an的关系解题】
设sn为数列an的前n项和 且SN=2分之3的AN-1求AN的通项公式
解：Sn=3/2(an-1),所以S(n-1)=3/2(a(n-1)-1),
a[n]=S[n]-S[n-1]=3/2(a[n]-a[n-1])，得a[n]=3a[n-1]
∴a[n]是等比数列，公比是3，又a1=S1=3/2(a1-1)，解得a1=3
∴a[n]=3*3^(n-1)=3^n.

设数列{An}的前项和为Sn,A1=10.An+1=9Sn+10.求数列{An}的通项公式
解：An+1=9Sn+10
An=9S(n-1)+10
An=Sn-S(n-1)=(1/9)[A(n+1)-An]
A(n+1)/An=10
所以为等比数列 A1=10,q=10
An=10*10^(n-1)=10^n

设各项都为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=1/2(an+1/an) ，求an的通项公式
解法一：
Sn=1/2(an+1/an)
S(n-1)=Sn-an=1/2(1/an-an)
Sn+S(n-1)=1/an
Sn-S(n-1)=an
上面两式相乘得：
Sn^2-S(n-1)^2=1
S1=a1=1/2(a1+1/a1),a1=1

{Sn^2}是首项为S1^2=1,公差为1的等差数列
Sn^2=n
Sn=√n
an=Sn-S(n-1)=√n-√(n-1)

解法二：
两边同乘2an 2anSn=an²+1
2（Sn-Sn-1）Sn=（Sn-Sn-1）²+1
（Sn-Sn-1）【2Sn-（Sn-Sn-1）】=1
Sn²-Sn-1²=1
a1=Sn=1
Sn²=n
an=Sn-Sn-1=√n-√（n-1)

【构造等差数列】
数列a（1）=1,a(n)=1/3a(n-1)+(1/3)^n 则{an}的通项公式是？
解：a(n)=1/3a(n-1)+(1/3)^n
两边同乘以3^n得：
3^n a(n)= 3^(n-1) a(n-1)+1,
这说明数列{3^n a(n)}是等差数列，公差为1，
首项为3a1=3,
所以3^n a(n)=3+(n-1)*1
3^n a(n)=n+2
a(n)=(n+2)/ 3^n.

设数列｛a(n)}的前n项和Sn=2a(n)-2^n. 求数列a(n)的通项公式。
解：当n=1时，有a1=S1=2a1-2，解得：a1=2；
当n>1时，Sn=2an-2^n=2an-2*2^(n-1)，S(n-1)=2a(n-1)-2^(n-1)
所以an=Sn-S(n-1)=[2an-2*2^(n-1)]-[2a(n-1)-2^(n-1)]=2an-2a(n-1)-2^(n-1).
整理得：an-2a(n-1)=2^(n-1).
两边同时除以2^n，得：an/2^n-a(n-1)/2^(n-1)=1/2.
因为a1/2^1=1，所以数列{an/2^n}是以1为首项，1/2为公差的等差数列.
所以an/2^n=a1/2^1+(n-1)*d=1+(n-1)/2=(n+1)/2，
所以an=(n+1)*2^(n-1).
因为a1=2=(1+1)*2^(1-1)，符合上式.
所以数列{an}的通项公式为an=(n+1)*2^(n-1).

数列{an}满足a1=3 a(n+1)=3an+3^n+1求通项公式
解：a(n+1)=3an+3^(n+1),两边同除以3^(n+1)可得：
a(n+1)/ 3^(n+1)= 3an/ 3^(n+1)+1,
a(n+1)/ 3^(n+1)= an/ 3^n+1,
设an/ 3^n=bn,则b(n+1)=bn+1,
这说明数列{bn}是公差为1的等差数列，首项为b1=a1/3=1.
bn=b1+(n-1)•1=1+(n-1)•1=n.
即an/ 3^n=n,
∴an=n•3^n.

【待定系数法构造等比数列】
数列{An}a1=1 , 3an-a(n-1)=n 求An 的通项公式
解： 3an=a(n-1)+n,
an=1/3[a(n-1)+n]……①
设an+xn+y=1/3[a(n-1)+ x(n-1)+y ]……②,其中x，y是待定的常数。
①②两式比较可知：x=-1/2，y=1/4,
所以an-1/2n+1/4=1/3[a(n-1)-1/2(n-1)+1/4 ],
这说明数列{ an-1/2n+1/4}是等比数列，公比为1/3,首项为a1-1/2+1/4=3/4.
根据等比数列的通项公式得：
an-1/2n+1/4=3/4•(1/3)^(n-1),
an=3/4•(1/3)^(n-1)+1/2n-1/4.

已知数列{an}的首项a1=3/5 , a(n+1)=3an/2an +1,n=1,2,3... 求{an}的通项公式
解：a(n+1)=3an/(2an +1),
取倒数得：
1/ a(n+1)= (2an +1) /(3an),
即1/ a(n+1)=2/3+1/(3an),
1/ a(n+1)-1=1/3(1/an-1),
所以数列{1/an-1}是公比为1/3的等比数列，首项为1/a1-1=2/3.
所以1/an-1=2/3•(1/3)^(n-1),
1/an=1+2/3^n,
an=1/(1+2/3^n)
an=3^n/(3^n+2).

【特征根法】
A(n+2)=pA(n+1)+qAn， p,q为常数
（1）通常设： A(n+2)-mA(n+1)=k[A(n+1)-mAn],
则 m+k=p, mk=-q
（2）特征根法：
特征方程是y²=py+q（※）
注意：① m n为（※）两根。
② m n可以交换位置，但其结果或出现两种截然不同的数列形式，但同样都可以计算An，而且还会有意想不到的惊喜，嘿嘿
③ m n交换位置后可以分别构造出两组An和A(n+1)的递推公式，这个时侯你会发现，这是一个关于An和A(n+1)的二元一次方程组，那么不就可以消去A（n+1），留下An，得了，An求出来了。

例：A1=1,A2=1,A(n+2)= 5A（n+1）-6An，
特征方程为：y²= 5y-6
那么，m=3,n=2,或者m=2，n=3

于是，A（n+2）-3A（n+1）=2[A（n+1）-3An] (1)
A（n+2）-2A（n+1）=3[A（n+1）-2An] (2)
所以，A（n+1）-3A（n）= - 2 ^ n (3)
A（n+1）-2A（n）= - 3 ^ (n-1) (4)

消元消去A（n+1），就是An,
An=- 3 ^ (n-1) +2 ^ n.

①等差数列和等比数列有通项公式。

②累加法：用于递推公式为an+1=an+f（n），且f(n)可以求和。

③累乘法：用于递推公式为an+1/an=f（n） 且f(n)可求积。

④构造法：将非等差数列、等比数列，转换成相关的等差等比数列。

⑤错位相减法：用于形如数列由等差×等比构成：如an=n·2^n。

按一定次序排列的一列数称为数列，而将数列{an} 的第n项用一个具体式子（含有参数n）表示出来，称作该数列的通项公式。这正如函数的解析式一样，通过代入具体的n值便可求知相应an 项的值。而数列通项公式的求法，通常是由其递推公式经过若干变换得到。

扩展资料

等差数列的其他推论：

① 和=（首项+末项）×项数÷2；

②项数=（末项-首项）÷公差+1；

③首项=2x和÷项数-末项或末项-公差×（项数-1）；

④末项=2x和÷项数-首项；

⑤末项=首项+（项数-1）×公差；

⑥2(前2n项和-前n项和)=前n项和+前3n项和-前2n项和。

一、题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列，直接用其通项公式。

例：在数列{an}中，若a1=1，an+1=an+2(n1)，求该数列的通项公式an。

解：由an+1=an+2(n1)及已知可推出数列{an}为a1=1，d=2的等差数列。所以an=2n-1。此类题主要是用等比、等差数列的定义判断，是较简单的基础小题。

二、已知数列的前n项和，用公式

S1 (n=1)

Sn-Sn-1 (n2)

例：已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5

(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6

解：∵an=Sn-Sn-1=2n-10，∴5<2k-10<8 ∴k=8 选 (B)

此类题在解时要注意考虑n=1的情况。

三、已知an与Sn的关系时，通常用转化的方法，先求出Sn与n的关系，再由上面的(二)方法求通项公式。

例：已知数列{an}的前n项和Sn满足an=SnSn-1(n2)，且a1=-，求数列{an}的通项公式。

解：∵an=SnSn-1(n2)，而an=Sn-Sn-1，SnSn-1=Sn-Sn-1，两边同除以SnSn-1，得---=-1(n2)，而-=-=-，∴{-}
是以-为首项，-1为公差的等差数列，∴-= -，Sn= -，

再用(二)的方法：当n2时，an=Sn-Sn-1=-，当n=1时不适合此式，所以，

- (n=1)

- (n2)

四、用累加、累积的方法求通项公式

对于题中给出an与an+1、an-1的递推式子，常用累加、累积的方法求通项公式。

例：设数列{an}是首项为1的正项数列，且满足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，求数列{an}的通项公式

解：∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，可分解为[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0

又∵{an}是首项为1的正项数列，∴an+1+an
≠0，∴-=-，由此得出：-=-，-=-，-=-，…，-=-,这n-1个式子，将其相乘得：∴ -=-，

又∵a1=1，∴an=-(n2)，∵n=1也成立，∴an=-(n∈N*)

五、用构造数列方法求通项公式

题目中若给出的是递推关系式，而用累加、累积、迭代等又不易求通项公式时，可以考虑通过变形，构造出含有
an(或Sn)的式子，使其成为等比或等差数列，从而求出an(或Sn)与n的关系，这是近一、二年来的高考热点，因此既是重点也是难点。

例：已知数列{an}中，a1＝2，an+1=(--1)(an+2)，n=1,2,3,……

(1)求{an}通项公式 (2)略

解：由an+1=(--1)(an+2)得到an+1--＝ (--1)(an--)

∴{an--}是首项为a1--，公比为--1的等比数列。

由a1＝2得an--=(--1)n-1(2--) ，于是an=(--1)n-1(2--)+-

又例：在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1(n∈N*)，证明数列{an-n}是等比数列。

证明：本题即证an+1-(n+1)=q(an-n) (q为非0常数)

由an+1=4an-3n+1，可变形为an+1-(n+1)=4(an-n)，又∵a1-1=1，

所以数列{an-n}是首项为1，公比为4的等比数列。

若将此问改为求an的通项公式，则仍可以通过求出{an-n}的通项公式，再转化到an的通项公式上来。

又例：设数列{an}的首项a1∈(0,1)，an=-，n=2，3，4……(1)求{an}通项公式。(2)略

解：由an=-，n=2,3,4,……，整理为1-an=--(1-an-1)，又1-a1≠0，所以{1-an}是首项为1-a1，公比为--的等比数列，得an=1-(1-a1)(--)n-1

一、题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列，直接用其通项公式。
例：在数列{an}中，若a1=1，an+1=an+2(n1)，求该数列的通项公式an。
解：由an+1=an+2(n1)及已知可推出数列{an}为a1=1，d=2的等差数列。所以an=2n-1。此类题主要是用等比、等差数列的定义判断，是较简单的基础小题。
二、已知数列的前n项和，用公式
S1
(n=1)
Sn-Sn-1
(n2)
例：已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5
(A)
9
(B)
8
(C)
7
(D)
6
解：∵an=Sn-Sn-1=2n-10，∴5<2k-10<8
∴k=8
选
(B)
此类题在解时要注意考虑n=1的情况。
三、已知an与Sn的关系时，通常用转化的方法，先求出Sn与n的关系，再由上面的(二)方法求通项公式。
例：已知数列{an}的前n项和Sn满足an=SnSn-1(n2)，且a1=-，求数列{an}的通项公式。
解：∵an=SnSn-1(n2)，而an=Sn-Sn-1，SnSn-1=Sn-Sn-1，两边同除以SnSn-1，得---=-1(n2)，而-=-=-，∴{-}
是以-为首项，-1为公差的等差数列，∴-=
-，Sn=
-，
再用(二)的方法：当n2时，an=Sn-Sn-1=-，当n=1时不适合此式，所以，
-
(n=1)
-
(n2)
四、用累加、累积的方法求通项公式
对于题中给出an与an+1、an-1的递推式子，常用累加、累积的方法求通项公式。
例：设数列{an}是首项为1的正项数列，且满足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，求数列{an}的通项公式
解：∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，可分解为[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0
又∵{an}是首项为1的正项数列，∴an+1+an
≠0，∴-=-，由此得出：-=-，-=-，-=-，…，-=-,这n-1个式子，将其相乘得：∴
-=-，
又∵a1=1，∴an=-(n2)，∵n=1也成立，∴an=-(n∈N*)
五、用构造数列方法求通项公式
题目中若给出的是递推关系式，而用累加、累积、迭代等又不易求通项公式时，可以考虑通过变形，构造出含有
an(或Sn)的式子，使其成为等比或等差数列，从而求出an(或Sn)与n的关系，这是近一、二年来的高考热点，因此既是重点也是难点。
例：已知数列{an}中，a1＝2，an+1=(--1)(an+2)，n=1,2,3,……
(1)求{an}通项公式
(2)略
解：由an+1=(--1)(an+2)得到an+1--＝
(--1)(an--)
∴{an--}是首项为a1--，公比为--1的等比数列。
由a1＝2得an--=(--1)n-1(2--)
，于是an=(--1)n-1(2--)+-
又例：在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1(n∈N*)，证明数列{an-n}是等比数列。
证明：本题即证an+1-(n+1)=q(an-n)
(q为非0常数)
由an+1=4an-3n+1，可变形为an+1-(n+1)=4(an-n)，又∵a1-1=1，
所以数列{an-n}是首项为1，公比为4的等比数列。
若将此问改为求an的通项公式，则仍可以通过求出{an-n}的通项公式，再转化到an的通项公式上来。
又例：设数列{an}的首项a1∈(0,1)，an=-，n=2，3，4……(1)求{an}通项公式。(2)略
解：由an=-，n=2,3,4,……，整理为1-an=--(1-an-1)，又1-a1≠0，所以{1-an}是首项为1-a1，公比为--的等比数列，得an=1-(1-a1)(--)n-1

已知Sn的话，下标减一再相减，除此之外。累加，累乘。

 

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仁和区19290629417： 数列通项公式的求法. - ？
鄢柄维磷： 1、用累加法求an=an-1+f(n)型通项2、用累积法求an= f(n)an-1型通项3、用待定系数法求an=Aan-1+B型数列通项4、通过Sn求an5、取倒数转化为等差数列6、构造函数模型转化为等比数列7、数学归纳法 普遍的方法举例:(1)数列{an}满足a1=1...

仁和区19290629417： 求数列通项公式的几种常见方法 - ？
鄢柄维磷： 数列的题型多样,求数列通项公式的方法也非常灵活,可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列加以解决,亦可以用不完全归纳法,由特殊情况推导出一般结论.因而数列的通项公式的求法也是历年来高考命题颇受青睐的内容,下面给出几种求通项公式的常见方法.一、公式法练习1 已知数列{an}是等比数列,a34,a632,求数列{an}的通项公式an.(剩余325字)

仁和区19290629417： 数列的通项一般有什么方法? - ？
鄢柄维磷：[答案] 1用累加法求an=an-1+f(n)型通项 例6:(1)数列{an}满足a1=1且an=an-1+3n-2(n≥2),求an. (2)数列{an}满足a1=1且an=an-1+2... 评注:先根据递推关系求出前几项,观察数据特点,猜想、归纳出通项公式,再用数学归纳法给出证明. 希望能够帮助你吧

仁和区19290629417： 求数列通项公式的方法有哪些? - ？
鄢柄维磷： 有以下四种基本方法: ( 1 )直接法.就是由已知数列的项直接写出,或通过对已知数列的项进行代数运算写出. ( 2 )观察分析法.根据数列构成的规律,观察数列的各项与它所对应的项数之间的内在联系,经过适当变形,进而写出第n项a n 的...

仁和区19290629417： 求数列通项公式的各种求法 - ？
鄢柄维磷： 以数列的递推式求数列的通项公式 1、形如an+1=pan+q的递推式: 当p=1时数列为等差数列; 当q=0,p≠0时数列为等比数列; 当p≠1,p≠0,q≠0时,令an+1-t=p(an-t),整理得an+1=pan+(1-p)t,由an+1=pan+q,有(1-p)t=q∴t=q/(1-p),从而an...

仁和区19290629417： 求通项公式 an=? - ？
鄢柄维磷： 求通项公式的几种方法 数列的通项公式是研究数列的重要依据,下面介绍几种求数列通项公式的方法.一、观察法 已知一个数列的前几项,观察其特点,写出通项公式. 例1 观察下列数的特点,写出每个数列的一个通项公式. (1) ; (2) . ...

仁和区19290629417： 求数列求通式的方法 - ？
鄢柄维磷： 一、定义法 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这种方法适应于已知数列类型的题目. 例1.等差数列 是递增数列,前n项和为 ,且 成等比数列, .求数列 的通项公式 解:设数列 公差为 ∵... 成等比数列,∴... ,即... ,得......

仁和区19290629417： 求数列{an}的通项公式 - ？
鄢柄维磷： an=2的n此方 -1

仁和区19290629417： 求下列数列{an}的通项公式,【写写过程】并且说说你用的求解方法,求下列数列{an}的通项公式:a1=1,an=3an - 1=(1/2)n【注意:a的第n项 = 3乘以a的第n - ... - ？
鄢柄维磷：[答案] 答案:(11/30)*3n-0.2*(0.5)n 注:n 为上标 同除 2n 再 把 a(n-1)的 2n 变为 2(n-1)其他的 就 差不多了吧 20081305205 的答案 错了吧 代1进去 a1不等于1 啊

仁和区19290629417： 数列通项公式的求法及其步骤 - ？
鄢柄维磷：[答案] 构造法求数列的 在数列求通项的有关问题中,经常遇到即非等差数列,又非 的求通项问题,特别是给出的数列相邻两项是 的题型,在老教材中,可以通过不完全 进行归纳、猜想,然后借助于 予以证明,但新教材中,由于删除了 ,因而我们遇到这...