为什么说收敛数列一定有界？
收敛数列有界性证明及其证明技巧。
如果你取一个数列an = 1/n，它显然收敛，而且最大值在n = 1的地方。
可以补充这么一个看起来很怪异，但是细细一想又很显然的引理：
对于给定的数列，假若任给一个实数p，总存在一个正整数N，使得|aN| > p，那么进一步地，对于任意给定的N0，一定可以找到这样一个N*，使得它既满足|aN| > p，又满足N* > N0。
换句话说，要是数列某个地方趋于无穷大了，这个地方必然在无穷远处。
对于任意数列，任意给一段有限长区间，则这段区间上必有界。
原因很显然。数列不像函数，数列能取到的值是有限的。所以只要给出一个有限长的区间，我总能一个一个顺着找到最大值最小值。因而数列要出现无穷大的趋近，只能在无穷远出，因为此时这段区间上有无穷多个点，从而不能一个一个去找最值了。
函数则不一样。所以收敛函数有界的说明中是说，如果函数在无穷远处收敛，那么必然存在一个足够接近与无穷远的区间，使得该区间上函数有界；如果函数在某点收敛，那么必然存在一个该点的临域，使得函数在该区间上有界。
可以补充这么一个看起来很怪异，但是细细一想又很显然的引理：
对于给定的数列，假若任给一个实数p，总存在一个正整数N，使得|aN| > p，那么进一步地，对于任意给定的N0，一定可以找到这样一个N*，使得它既满足|aN| > p，又满足N* > N0。
换句话说，要是数列某个地方趋于无穷大了，这个地方必然在无穷远处。
对于任意数列，任意给一段有限长区间，则这段区间上必有界。
原因很显然。数列不像函数，数列能取到的值是有限的。所以只要给出一个有限长的区间，我总能一个一个顺着找到最大值最小值。因而数列要出现无穷大的趋近，只能在无穷远出，因为此时这段区间上有无穷多个点，从而不能一个一个去找最值了。
函数则不一样。所以收敛函数有界的说明中是说，如果函数在无穷远处收敛，那么必然存在一个足够接近与无穷远的区间，使得该区间上函数有界；如果函数在某点收敛，那么必然存在一个该点的临域，使得函数在该区间上有界。
首先，你说的是收敛数列一定有界，这个肯定没错；
然后，你举的反例却是函数x分之1，这样已经矛盾了
其实函数，书上说得很清楚，是局部有界。
很显然的事实。
假设数列{a_n}收敛于A
那么根据收敛的定义，存在一个自然数N，当n>N时，|a_n-A|<1，即|a_n|<|A|+1。
所以数列{a_n}有界，|a_n|<=max{a_1,
a_2,
...,
a_N,
|A|+1}。
也就是说前面有限个(1到N)当然有界，后面无穷多个(N+1开始)被极限控制住。
收敛的数列是有界的，你举的是函数
数列1/n
0<1/n<1
当然有界
数列就是特殊的函数，特殊在定义域只取自然数，
0，1，2，·····
可函数1/x定义域是x不等于0，
如果你把定义域限定在【1，正无穷】，图像如何，那就有界了
数列收敛到底是什么意思 数列收敛是什么意思
1、数列收敛到底是什么意思：数列收敛就是当n趋于正无穷时,这个数列的极限存在,举个例子：数列 a(n) 收敛到A,这里A是一个有限数。2、它的定义是：数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|。3、数列收敛的性质：（1）唯一性：如果...
数列收敛一定有界吗?
极限存在的数列一定是收敛数列，收敛的数列{xn}，在n→∞时，xn→A，这个A是一个固定的极限值，是一个常数，所以必然有界。但这个有界不是说上下界都有，只有上界、或只有下界、或上下界都有均可以叫有界。有界的数列不一定收敛，最简单的例子xn=sin(n)，或者xn=(-1)^n，它们都是有界数列，但n...
高数极限和连续中为什么说数列收敛则必定有界 可是有界数列不一定收敛...
收敛数列必有界,证明如下:设数列{An},n>=1,收敛于A,则对任意的a>0,存在一个N,使得对一切n>N有|An-A|<a.现在不妨取a=1,则存在N',使|An-A|<1对所有n>N'成立.即有 |An|=|An-A+A|<=|An-A|+|A|<1+|A|.再注意N'之前只有有限项,所以取 M=max{|A1|,|A2|,…|A_N'|,1...
什么是条件收敛,什么是绝对收敛?
条件收敛和绝对收敛的区别：条件收敛是指数列或级数在一定条件下收敛，而绝对收敛是指数列或级数在任何情况下都收敛。1.条件收敛的定义：条件收敛是指数列或级数在某些条件下收敛，即只有满足一定条件时才能保证收敛。对于一个数列或级数来说，如果它的部分和在某个条件下有界且存在极限，则称该数列或级数...
怎么证明收敛数列必定收敛于某个数?
而对于任意一个大于N'的n来说，它所对应的b_n自然也大于N',所以|a_(b_n)-a|<ε成立。于是，对于给定的ε，只要取N=N'(｛a_n｝收敛保证了N'存在)，那么便有对于任意n>N总有|a_(b_n)-a|<ε。也就是说数列｛a_(b_n)｝收敛于a。收敛数列，设数列{Xn}，如果存在常数a（只有一个...
绝对收敛的数列一定收敛吗?
收敛是相对于局部而言的，绝对收敛必收敛，绝对不一定收敛。绝对收敛一定推出原数列收敛。绝对收敛不论条件如何，穷国比富国收敛更快。其他条件一样的话，人均产出低的国家，相对于人均产出高的国家，有着较高的人均产出增长率，一个国家的经济在远离均衡状态时，比接近均衡状态时，增长速度快。
数列收敛就是有极限吗,就是有界数列?那函数呢,有极限的函数一定有界吗...
函数一般不说收敛，只说当x有某种变化趋势时，f(x)是否有极限。数列或者级数，才喜欢说收敛。“收敛”和“有极限”是一个意思，完全等价。收敛一定有界，有界不一定收敛。根据收敛定义就可以知道，对于数列an存在一个数A，无论给定一个多么小的数e，都能找到数字N，使得n>N时，所有的|an－A|。有...
什么叫收敛函数?什么叫收敛级数?
收敛函数一定有极限，有极限的函数不一定收敛。函数一般不说收敛，只说当x有某种变化趋势时，f(x)是否有极限。数列或者级数，才喜欢说收敛。“收敛”和“有极限”是一个意思，完全等价。收敛一定有界，有界不一定收敛。收敛级数简介：收敛级数（convergent series）是柯西于1821年引进的，它是指部分和序列...
数列有界和收敛的关系是什么?
如果已知的是x→∞时函数有极限，则这个局部指的是x\>+∞或x\<-∞】但是有界不一定能推出收敛（有极限）【如函数F(x)=sinx,它是有界的，但当x→∞时它并不收敛。】 综上，收敛\<=\>有极限，收敛=\>有界。函数收敛 定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)...
我有个疑问,如果说一个数列收敛,它一定只有一个极限,但是这个数列一定是...
数列收敛是设数列{Xn}，如果存在常数a（只有一个），对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|0，存在N>0，使得当n>N，有|a(n)-A|。补充内容：数列是以正整数集（或它的有限
贲高吗替： 因为数列Xn收敛,设Xn收敛于a,根据数列极限的定义,对于ε=1,E正整数N,当n>N,不等式/Xn-a/<1都成立.于是,当n>N, /Xn/=/(Xn-a)+a / <= / Xn-a / + / a / <1+ / a/ 取M=max( / X1 / , / X2 / ,……. /XN/,1+ / a / ),那么数列Xn的一切xn都满足不等式/Xn/<=M 这就证明了数列Xn是有界的
东乡族自治县13065685410： 为什么说数列收敛,一定有界呢? - ？
贲高吗替：[答案] 因为数列Xn收敛,设Xn收敛于a,根据数列极限的定义,对于ε=1,E正整数N,当n>N,不等式/Xn-a/N, /Xn/=/(Xn-a)+a /
东乡族自治县13065685410： 为什么收敛数列一定是有界数列?不要说得太深奥.但希望可以让我明白 - ？
贲高吗替：[答案] 因为数列收敛,设,由定义,对于,存在正整数, n>N时,都有 (n>N),从而有 . 取,则对一切的n,都有,所以数列有界. 根据定理2,如果数列无界,则数列一定是发散的.但必须注意:有界数列不一定收敛.例如,数列是有界的.因为,但它却是...
东乡族自治县13065685410： 为什么说收敛数列一定是有界数列 - ？
贲高吗替： 这不是已被证明的定理吗?既然收敛,那么从某项(第 N 项)开始,后面的项都集中在极限附近 ,因此有界,而前面的项是有限项,显然也有界,因此整个数列一定有界 .
东乡族自治县13065685410： 为什么说收敛数列一定有界? - ？
贲高吗替： 使得函数在该区间上有界,这个地方必然在无穷远处,从而不能一个一个去找最值了,则这段区间上必有界,要是数列某个地方趋于无穷大了,又满足N* >,如果函数在无穷远处收敛. 原因很显然.所以收敛函数有界的说明中是说.数列不像函...
东乡族自治县13065685410： 为什么收敛数列一定有界 请详细解答 - ？
贲高吗替：[答案] 很显然的事实. 假设数列{a_n}收敛于A 那么根据收敛的定义,存在一个自然数N,当n>N时,|a_n-A|
东乡族自治县13065685410： 为什么收敛数列必有界?收敛函数也必有界么?为什么呢, - ？
贲高吗替：[答案] 主观上来说: 所谓“收敛”就是指“收敛于某处”,据此定义,收敛数列必有极限了,当然此极限值就是“收敛于”的“某处”啦 具体可以参考第五版“高等数学”上册的“柯西审敛原理” 充要条件自己可以推导出来
东乡族自治县13065685410： 收敛数列是有界的 对还是错的 理由 - ？
贲高吗替： 收敛数列是有界的.这是真命题. 收敛数列就是有极限的数列,每一项都不是无穷大,一定有界.
东乡族自治县13065685410： 证明收敛数列必为有界数列,为什么? - ？
贲高吗替：[答案] 反之不一定,单调有界数列必收敛,有界的条件不能保证收敛,必须加上单调
东乡族自治县13065685410： 有界不一定收敛,收敛一定有界,为什么呢 - ？
贲高吗替：[答案] 奇数项等于-1,偶数项等于1,这个数列有界,但是不收敛,下面是收敛一定有界的证明 目的是证明收敛数列的有界性.数列{Xn}收敛到a,根据极限定义对于任意E>0,存在正整数N,当n>N,不等式/Xn-a/
