怎样证明函数有界性？

如何证明该函数有界性~

设函数f(x)的定义域为D，f(x)在集合D上有定义。
如果存在数K1，使得 f(x)≤K1对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有上界。
反之，如果存在数字K2，使得 f(x)≥K2对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有下界，而K2称为函数f(x)在D上的一个下界。
如果存在正数M，使得 |f(x)|≤M 对任意x∈D都成立，则称函数在D上有界。如果这样的M不存在，就称函数f(x)在D上无界；等价于，无论对于任何正数M，总存在x1属于X，使得|f(x1)|>M，那么函数f(x)在X上无界。
此外，函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界也有下界。
举例
一般来说，连续函数在闭区间具有有界性。 例如: y=x+6在[1，2]上有最小值7，最大值8，所以说它的函数值在7和8之间变化，是有界的，所以具有有界性。但正切函数在有意义区间，比如(-π/2，π/2)内则无界。
sinx，cosx，sin(1/x），cos（1/x）， arcsinx，arccosx，arctanx，arccotx是常见的有界函数。
性质
无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小。

扩展资料
关于函数的有界性，应注意以下两点：
(1)函数在某区间上不是有界就是无界，二者必属其一；
(2)从几何学的角度很容易判别一个函数是否有界。如果找不到两条与x轴平行的直线使得函数的图形介于它们之间，那么函数一定是无界的，如


参考资料来源：百度百科-有界性
参考资料来源：百度百科-函数的有界性

一.如果存在一个常数M，使得f（x）≤M恒成立，那么就说函数f（x）有上界；二.如果存在一个常数N，使得f（x）≥N恒成立，那么就说函数f（x）有下界；如果存在一个正的常数L，使得If（x）Ⅰ≤L恒成立，那么就说函数f（x）是有界函数。

判断方法：首先因为函数在开区间上连续，所以在开区间内部的任一闭区间上函数都有界。能不能再扩大到整个开区间上也有界，关键是看函数在右端点处的左极限和左端点处的右极限。

扩展资料：

在极限理论中，我们知道闭区间上连续函数具有5个性质，即：有界性定理、最大值与最小值定理、介值定理、零点定理和一致连续性定理。

其中，零点定理是介值定理的一个重要推论。而闭区间上连续函数的有界性定理的证明，在很多数学教材中，有多种方法可以证明此定理。比如可以利用闭区间套定理、确界定理、单调有界定理和柯西收敛准等。

我们知道，分析数学上所列举的实数完备性的7个基本定理是相互等价的，因而从原则上讲，任何一个都可以证明该定理。

参考资料来源：百度百科-有界性定理

在判别函数的有界性时，我们需要先知道以下两个重要结论，即：

若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则函数f(x)在闭区间[a,b]上有界。

若函数f(x)在开区间(a,b)上连续，且端点处函数的极限存在，则函数f(x)在开区间(a,b)内有界。

遇到类似这样的题，首先需要先明确函数的定义域，判断函数不能取哪些点，其实题目就是按照定义域来划分自变量的取值范围的。

其次，在不能取的点处，需要通过算极限来判断函数是否有界，如果函数在对应趋向点处的极限是确定的数值，说明有界；如果是无穷大，则为无界。注意在计算极限的时候，左右极限不相同时，需要分别计算出左极限和右极限。

扩展资料

一般来说，连续函数在闭区间具有有界性。 例如: y=x+6在[1，2]上有最小值7，最大值8，所以说它的函数值在7和8之间变化，是有界的，所以具有有界性。但正切函数在有意义区间，比如(-π/2，π/2)内则无界。

sinx，cosx，sin(1/x），cos（1/x）， arcsinx，arccosx，arctanx，arccotx是常见的有界函数。

性质：无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小。

参考资料来源：百度百科-函数的有界性

反证法，假设函数有界，对任意的x,均有|y|<=M。
取x=2kπ，有f(x)=2kπ，则有2kπ<=M，设N=[M/2π]+1,当k>N时，有f(2kπ)>M，矛盾，故函数y=xcosx无界

你的思路很对，你可以这样写：

取x_k=2k∏ 为实数，则y（x_k）=k，显然当k趋于无穷时，y（x_k）也趋于无穷。因此函数y=xcosx在实数范围内无界。

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卢士唐力： 高等数学:函数有界性的证明

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卢士唐力： 证明如下: 设函数f(x)在数集A上有定义,如果存在常数M>0,使得对任意x,有|f(x)|<M 例如,函数 在其定义域内有界,这是因为对任意总有再如,函数在其定义域内是无界的,这是因为对任意的实数总存在点显然使得然而...

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卢士唐力： 求有界性和求值域是不同的问题,前者要求很松,后者要求更精确,看问题的要求了.有界性的判断有很多方法,最直观的一个就是根据函数的单调性判断有界性,还有,诸如在闭区间上连续函数有界等等法则:针对本题:y=√(x+1)-√x=1/[√(x+1)+√x] 容易判断,此函数在(1,∞)上是单调的减函数,所以, 上界当x=1时取到,y=√2-1; 下界当x->∞时取得,极限为0.所以,此函数是有界的,y∈(0,√2-1).

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卢士唐力：证明:在实数R上有y=f(x)= x??/x??+1 + 2sin x/2中有|f(x)|=| x??/x??+1 + 2sin x/2| = |1- 1/(x??+1) + 2sin x/2|

凭祥市17388943213： 如何证明一个函数有界,最好举个例子,有详细的解题过程. - ？
卢士唐力： (-1)^n 这个函数取值是-1和+1交替,取值得绝对值是小于等于1的 所以是有界函数.但是没有极限.

凭祥市17388943213： 函数有界性证明 - ？
卢士唐力： Y的绝对值<1+1+7=9 Y的绝对值<(PI/2)/1=PI

凭祥市17388943213： 关于数学有界性的证明 - ？
卢士唐力： 1、当x=0的时候,f(0)=0,为定值,有界; 2、当x不等于0的时候: f(x)=x/(1+x^2)=1/[(1/x)+x] 对于分母t=x+1/x, 当x>0,利用重要不等式公式,可知道t>=2,此时0<f(x)<=1/2,有界; 当x<0,同理有t<=-2,此时有:-1/2<=f(x)<0. 综上所述有: -1/2<=f(x)<=1/2. 故f(x)函数有界得证.

凭祥市17388943213： 如何证明函数是否有界 - ？
卢士唐力： 如何判断一个函数是否有界 就要看它是否无限趋近于一个常数,如是则有界,否则无界. 从上边趋近则有下界, 从下边趋过则有上界. 方法为取差的绝对值.很高兴为你解答有用请采纳