试说明连续4个正整数的积与1的和是一个正整数的平方

试说明,四个连续正整数的乘积与1的和必是一个完全平方数~

假设这4个数是:
(x-1),x,(x+1),(x+2)
那么:
(x-1)x(x+1)(x+2)+1
=(x^2-1)(x^2+2x)+1
=x^4+2*x^3-x^2-2x+1
(x^2+x-1)^2.
所以四个连续整数的积加1,一定是完全平方数.

证明:设这个连续整数为:n,n+1,n+2,n+3,
这四个连续的整数的积与1的和
n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=n(n+3)(n+1)(n+2)+1
=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1
=(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)+1
=(n^2+3n+1)^2
所以说4个连续整数的积与1的和是一个完全平方数。

假设这4个数是:
(x-1),x,(x+1),(x+2)
那么:
(x-1)x(x+1)(x+2)+1
=(x^2-1)(x^2+2x)+1
=x^4+2*x^3-x^2-2x+1
(x^2+x-1)^2.
所以连续4个正整数的积与1的和是一个正整数的平方

证：
设4个连续正整数从小到大依次为n、n+1、n+2、n+3，其中，n∈N*
n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1
=(n²+3n)(n²+3n+2)+1
=(n²+3n)²+2(n²+3n)+1
=(n²+3n+1)²
是正整数n²+3n+1的平方。
即：4个连续正整数的积与1的和是一个正整数的平方。

解题思路：按已知条件要求列出代数式，通过恒等变形，推导为一个正项整数多项式平方的形式，即证明了命题成立。

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南关区13569995682： 试说明连续4个正整数的积与1的和是一个正整数的平方 - ？
学阅金普： 证: 设4个连续正整数从小到大依次为n、n+1、n+2、n+3,其中,n∈N* n(n+1)(n+2)(n+3)+1 =[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1 =(n²+3n)(n²+3n+2)+1 =(n²+3n)²+2(n²+3n)+1 =(n²+3n+1)² 是正整数n²+3n+1的平方. 即:4个连续正整数的积与1的和是一个正整数的平方.解题思路:按已知条件要求列出代数式,通过恒等变形,推导为一个正项整数多项式平方的形式,即证明了命题成立.

南关区13569995682： 请用分解因式的方法说明:四个连续正整数的积与1的和,一定是一个完全平方数. - ？
学阅金普：[答案] 设四个连续的正整数为n、(n+1)、(n+2)、(n+3)则 n(n+1)(n+2)(n+3)+1 =(n2+3n)(n2+3n+2)+1 =(n2+3n)2+2(n2+3n)+1 =(n2+3n+1)2.(其中n为正整数,且n>1).

南关区13569995682： 证明:四个连续整数之积与1的和是一个完全平方数. - ？
学阅金普： 证明:可设这4个连续整数依次为n、n+1、n+2、n+3,则有 n(n+1)(n+2)(n+3)+1 =n(n+3)(n+1)(n+2)+1 =(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1 =(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)+1 =(n^2+3n+1)^2 所以说4个连续整数的积与1的和是一个完全平方数.

南关区13569995682： 请用分解因式说明;四个连续正整数的积与1的和是一个完全平方数 - ？
学阅金普： 证明:设这个连续整数为:n,n+1,n+2,n+3, 这四个连续的整数的积与1的和 n(n+1)(n+2)(n+3)+1 =n(n+3)(n+1)(n+2)+1 =(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1 =(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)+1 =(n^2+3n+1)^2 所以说4个连续整数的积与1的和是一个完全平方数. 参考资料:zhidao.baidu.com/question/72505092.html?si=1

南关区13569995682： 试说明:四个连续整数的乘积与1的和必定是一个完全平方数 - ？
学阅金普： 假设这4个数是: (x-1),x,(x+1),(x+2) 那么: (x-1)x(x+1)(x+2)+1 =(x^2-1)(x^2+2x)+1 =x^4+2*x^3-x^2-2x+1 (x^2+x-1)^2. 所以四个连续整数的积加1,一定是完全平方数.

南关区13569995682： 试说明:四个整数的积与1的和是一个完全平方数.(提示:设四个连续整数为a,a+1,a+2,a+3) - ？
学阅金普：[答案] In[1]:= Expand[a (a + 1) (a + 2) (a + 3) + 1] Out[1]= 1 + 6 a + 11 a^2 + 6 a^3 + a^4 In[2]:= Factor[%] Out[2]= (1 + 3 a + a^2)^2

南关区13569995682： 证明:4个连续正整数的积加上1一定是完全平方数. - ？
学阅金普：[答案] 证明:可设这4个连续整数依次为n、n+1、n+2、n+3,则有 n(n+1)(n+2)(n+3)+1 =n(n+3)(n+1)(n+2)+1 =(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1 =(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)+1 =(n^2+3n+1)^2 所以说4个连续整数的积与1的和是一个完全平方数.

南关区13569995682： 证明:四个连续整数之积与1的和是一个完全平方数. - ？
学阅金普：[答案] 证明:可设这4个连续整数依次为n、n+1、n+2、n+3,则有 n(n+1)(n+2)(n+3)+1 =n(n+3)(n+1)(n+2)+1 =(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1 =(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)+1 =(n^2+3n+1)^2 所以说4个连续整数的积与1的和是一个完全平方数.

南关区13569995682： 是说明:连续四个正整数的积与1的和是一个正整数的平方 - ？
学阅金普： 证 设 这连续的四个正整数为 n-2 n-1 n n+1 (n≥3) 则 (n-2)(n-1)n(n+1)+1=[(n-2)n][(n-1)(n+1)]+1=[n^2-2n][n^2-1]+1=(n^4-n^2)-(2n^3-2n)+1=n^2(n^2-1)-2n(n^2-1)+1=[n(n-1)-1]^2 n≥3 n(n-1)-1为正整数

南关区13569995682： 证明:4个连续正整数的积与1的和,一定是个完全平方数 - ？
学阅金普： 设第一个数是A,则 A(A+1)(A+2)(A+3)+1 =(A^2+3A)(A^2+3A+2)+1 =(A^2+3A)^2+2(A^2+3A)+1 =(A^2+3A+1)^2 由此可知,它一定是一个完全平方数.不懂再来问我!