如何判断某个级数是收敛的还是发散的？

~

比较审敛法的极限形式包括以下几种：

1、比较判别法：

设有两个正项级数a_n和b_n，若对于所有n都有0≤a_n≤b_n，且∑b_n收敛，则由比较判别法可知∑a_n也收敛；若∑b_n发散，则由比较判别法可知∑a_n也发散。

2、极限比较判别法：

设有两个正项级数a_n和b_n，若存在正常数c，对于充分大的n有lim(a_n/b_n)=c，则由极限比较判别法可知∑b_n收敛与发散性与∑a_n相同。

3、极限对比判别法：

设有两个正项级数a_n和b_n，若lim(a_n/b_n)=0，则由极限对比判别法可知∑b_n收敛则∑a_n也收敛；若∑b_n发散则∑a_n也发散。

4、达朗贝尔判别法（Cauchy审敛法）：

对于一般项为a_n的级数，如果lim[(a_{n+1}/a_n)]存在，则由达朗贝尔判别法可知：

（1）lim[(a_{n+1}/a_n)]<1，则∑a_n绝对收敛；

（2）lim[(a_{n+1}/a_n)]>1，则∑a_n绝对发散；

（3）lim[(a_{n+1}/a_n)]=1，此时达朗贝尔判别法不确定敛散性。

这些审敛法都是通过与已知级数进行比较，利用极限关系来确定待求级数的敛散性。在使用这些方法时，需要注意待比较级数的性质和收敛情况，确保比较合理且有效。

比较审敛法的应用：

1、级数求和：

比较审敛法可以用于判断一个无穷级数的收敛性，从而决定是否可以对该级数进行求和。当待求级数与已知级数之间存在收敛性的关系时，可以通过比较判别法等方法得出待求级数的敛散性。

2、极限计算：

在求极限过程中，有时会遇到含有无穷级数的极限表达式。通过比较审敛法可以帮助确定级数的敛散性，进而对极限进行准确的计算。

3、级数逼近：

比较审敛法在级数逼近方面也有应用。有时候，我们希望用已知的收敛级数去逼近某个数或函数，这时可以通过比较判别法或极限比较判别法来确定逼近的有效性和准确性。

---

皋兰县18896713886： 怎样判断级数收敛还是发散 ？
虫翠头孢： 判断级数是收敛是发散,可以利用交错级数的莱布尼茨判别法,对于交错级数∑(-1)^n Un,若{Un}单调下降趋于0,则级数收敛,否则为级数发散.令Un=ln n/(n^p):(1)当p≤0时,可知|(-1)^n Un|不趋于0,所以级数发散.(2)当p>0时,令F(x)=lnx/(x^p),由F'(x)=x^(p-1)[1-plnx]/(x^p)²可知,只要x充分大,则F'(x)0时,Un从某项开始起单调下降,又lim【n→∞】lnx/(x^p)=0,所以通项Un满足单调下降趋于0,因此当p>0时,级数收敛.

皋兰县18896713886： 怎么判断级数的收敛性? - ？
虫翠头孢：[答案] 1.先看级数通项是不是趋于0.如果不是,直接写“发散”,OK得分,做下一题;如果是,转到2. 2.看是什么级数,交错级数转到3;正项级数转到4. 3.交错级数用莱布尼兹审敛法,通项递减趋于零就是收敛. 4.正项级数用比值审敛法,比较审敛法等,一...

皋兰县18896713886： 怎么判断收敛还是发散 - ？
虫翠头孢：[答案] 通项=(-1)/(2n-1)=(-1)*1/(2n-1) 把常数-1提出来判断通项为1/(2n-1)的级数就行了 因为1/(2n-1)>1/(2n)=0.5*1/n 因为通项为1/n的级数是发散的(调和级数,书上讲过) 所以通项0.5*1/n的级数发散 所以原级数发散

皋兰县18896713886： 如何判断级数是收敛的还是发散的还有绝对收敛和条件收敛 - ？
虫翠头孢：[答案] 有各种各样的判敛法,比如正项级数的比值判敛法、根值判敛法、拉阿贝判敛法、高斯判敛法;变号级数的莱布尼兹判敛法、阿贝尔判敛法、~狄利克雷判敛法等等,建议你查查书

皋兰县18896713886： p级数如何判断是发散还是收敛 ？
虫翠头孢： p级数判断是发散还是收敛的方法:当p>1时,p级数收敛;当1≥p>0时,p级数发散.当p=1时,得到调和级数:1+1/2+1/3+…+1/n+….形如1+1/2^p+1/3^p+…+1/n^p+…(p>0)的级数称为p级数.p级数又称超调和级数,是指数学中一种特殊的正项级数.当p=1时,p级数退化为调和级数.p级数是重要的正项级数,是用来判断其它正项级数敛散性的重要级数.

皋兰县18896713886： 怎样判断幂级数在某个点是收敛还是发散例如x的2n+1次幂/2n+1 - ？
虫翠头孢：[答案] ∑x^(2n+1)/(2n+1),收敛半径 R=lima/a=lim[2(n+1)+1]/(2n+1)=lim(2n+3)/(2n+1)=1.当 x=1 时,幂级数变为 ∑1/(2n+1) > ∑1/[2(n+1)] = (1/2)∑1/(n+1),后者发散,则级数发散;当 x=-1 时,幂级数变为 -∑1/(2n+1) ,因 ...

皋兰县18896713886： 判别级数收敛性的方法有哪些? - ？
虫翠头孢： 上面几楼说的都对,但是都不全.我来说个全一些的.(纯手工,绝非copy党)首先要说明的是:没有最好用的判别法!所有判别法都是因题而异的,要看怎么出,然后才选择最恰当的判别法.下面是一些常用的判别法:一、对于所有级数都...

皋兰县18896713886： 用比值判别法判定级数的敛散性答案:1.收敛      2.发散基础比较差,求详解. - ？
虫翠头孢：[答案] 比值判别法判定级数的敛散性就是:后项比前项的极限,小于1收敛,大于1发散 1.lim(n→+∞)u(n+1)/u(n) =lim(n→+∞)[5^(n+1)/(6^(n+1)-5^(n+1))]/[5^n/(6^n-5^n)] =lim(n→+∞)5[1-(5/6)^n]/[6-5(5/6)^n]=5/6<1,故级数收敛 2..lim(n→+∞)u(n+1)/u(n) =.lim(n→+...

皋兰县18896713886： 判定级数的敛散性(详细步骤)？
虫翠头孢： 第一和第三个,通项公式当n趋近于无穷大时,不收敛于零,第一个收敛到1,第三个无穷大,因此这两个级数发散.因为只有当通项收敛到零时才有可能收敛. 第二个用比较判决法 sin(x)<x,0<x<pi/2 而级数pi/5^n是收敛的,因此级数收敛

皋兰县18896713886： 根据级数收敛与发散的定义判定级数的收敛性 - ？
虫翠头孢：[答案] 设an=√(1+n)-√n=1/(√(1+n)+√n) 所以lim(an/ (1/√n)]=lim[√n/(√(1+n)+√n)]=lim1/[(√1+(1/n))+1]=1/2 所以an与1/√n有相同的敛散性,且1/√n发散, 所以an也发散