空间平面与平面垂直的公式

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲（2023年9月修订）

一、考试性质

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性

考试．高等院校根据考生的成绩，按照已确定的招生计划，择优录取．因此，考试应该具有较高的信度、效度、适当的难度和必要的区分度．

二、考试内容与基本要求

（一）能力要求

高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查．

思维能力表现为对问题进行分析、综合，科学推理，并能准确地表述．数学思维能力表

现为以数学知识为素材，通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方

面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断．

运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，

寻找与设计合理、简洁的运算途径．运算包括对数字的计算，对式子的组合变形与分解变形，

对几何图形各几何量的计算求解等．

实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生

产、生活和相关学科中的简单数学问题．

（二）内容与要求

《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力，

在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校（工科专业）专科生高等数学的基本要求，为

进一步学习奠定基础．

对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次，且高一

级的层次要求包含低一级的层次要求．

了解(A)：对所列知识内容有初步的认识，会在有关问题中进行识别和直接应用．

理解(B)：对所列知识内容有理性的认识，能够解释、举例或变形、推断，并利用所列

知识解决简单问题．

掌握(C)：对所列知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有

关问题．

灵活和综合运用(D)：系统地把握知识的内在联系，并能运用相关知识分析、解决较复

杂的或综合性的问题．

具体内容与要求详见表1—表7．

1

考试内容

考试要求

A

B

C

D

函

数

函数概念的两个要素（定义域和对应规则）

√

分段函数

√

函数的奇偶性，单调性，周期性和有界性

√

反函数，复合函数

√

基本初等函数的性质和图像，初等函数

√

极

限

极限（含左、右极限）的定义

√

极限存在的充要条件

√

极限四则运算法则

√

两个重要极限

√

无穷大、无穷小的概念及相互关系，无穷小的性质

√

无穷小量的比较

√

用等价无穷小求极限

√

连

续

性

函数在一点处连续、间断的概念

√

间断点的类型：包括第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点）及第二

类间断点

√

初等函数的连续性

√

闭区间上连续函数的性质（介值定理，零点定理和最大值、最小值定理）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

导数的概念及其几何意义

√

可导性与连续性的关系

√

函数，极限，连续性

表1

一元函数微分学

表2

2

导数

与

微分

平面曲线的切线方程与法线方程

√

导数的基本公式，四则运算法则和复合函数的求导方法

√

微分的概念，微分的四则运算，可微与可导的关系

√

高阶导数的概念

√

显函数一、二阶导数及一阶微分的求法

√

隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法

√

由参数方程所确定的函数的二阶导数

√

中值

定理

与

导数

应用

罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论

√

罗必达法则

√

未定型的极限

√

函数的单调性及判定

√

函数的极值及求法

√

函数曲线的凹凸性及判定，拐点的求法

√

函数的最大值、最小值

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

不

定

积

分

原函数的概念、原函数存在定理

√

不定积分的概念及性质

√

不定积分的第一、二类换元法，分部积分法

√

简单有理函数的积分

√

定

积

分

定积分的概念及其几何意义

√

定积分的基本性质

√

变上限函数及导数

√

一元函数积分学

表3

考试内容

考试要求

A

B

C

D

多元

函数

的极

限与

连续

多元函数的概念，二元函数的定义域

√

二元函数的极限与连续性

√

偏导

数与

全微

分

偏导数的概念

√

二元函数一、二阶偏导数的求法

√

求复合函数与隐函数的一阶偏导数（仅限一个方程确定的隐函数）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

向量

代数

空间直角坐标系，向量的概念，向量的坐标表示法

√

单位向量及方向余弦

√

向量的线性运算，数量积和向量积运算

√

向量平行、垂直的充要条件

√

空间

解析

几何

平面的方程及其求法

√

空间直线的方程及其求法

√

平面、直线的位置关系（平行、垂直）

√

牛顿—莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法

√

定积

分的

应用

平面图形的面积

√

旋转体的体积

√

向量代数与空间解析几何

表4

多元函数微分学

表5

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念

√

一阶

方程

一阶可分离变量方程

√

一阶线性方程

√

二阶

方程

二阶常系数线性齐次微分方程

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

与

计算

二重积分的概念及性质、几何意义

√

直角坐标系下计算二重积分

√

交换积分次序

√

极坐标系下计算二重积分

√

偏导

数的

应用

二元函数的全微分

√

二元函数的无条件极值

√

空间曲面的切平面方程和法线方程

√

二重积分

表6

常微分方程

表7

考试为闭卷、笔试，试卷满分为150分，考试限定用时为120分钟．

全卷包括I卷和II卷，I卷为选择题，II卷为非选择题．试题分选择题、填空题和解答

题三种题型．选择题是四选一类型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不要求写出

计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答题应写出文字说明、演

算步骤或证明过程．三种题型（选择题、填空题和解答题）题目数分别为6、6、5，整卷共

17道题；选择题和填空题约占总分的48%左右，解答题约占总分的52%左右，试卷包括容

5

易题、中等难度题和较难题，总体难度适当，以中等难度题为主．

四、题型示例

为了便于理解考试内容和要求，特编制下列题型示例，以供参考．所列样题力求体现试

题的各种题型及其难度，它与考试时试题的数目、题序安排、考查内容、难度没有对应关系.

（一）选择题

1．函数f(x)4x2ln(x1)的定义域为

A．[1，2]

B．(1，2]

C．(2，1)

D．[2，1)

答案：B

2．当x0时，与x等价的无穷小量是

A．tanx

B．2sinx

C．e2x1

D．ln(1x)

答案：A

dx0

costdt

3．

A．sinx2

答案：C

（二）填空题

x29

1．极限lim

x3x22x3

3

答案：

2

B．2xsinx2

_____________.

C．cosx2

D．2xcosx2

2．函数f(x)x2ex在x0处的二阶导数的值为_____________.

答案：3

3．函数zln(3xy)的全微分dz_____________.

答案：

3d xdy

3xy

（三）解答题

1．求二元函数f(x，y)x3y33xy5所有的极值点和极值

答案：

fx3x23y0，

解：由方程组2得驻点(0，0)，(1，1).

fy3y3x0

又Afxx6x，Bfxyfyx3，Cfyy6y.

对于驻点(0，0)：A0，B3，C0，由B2AC90知(0，0)不是极值点.

6

对于驻点(1，1)：A6，B3，C6，由B2AC270且A0知(1，1)是极小

值点，极小值f(1，1)4.

因此，函数f(x，y)有极小值点(1，1)，极小值为4.

x2t1，

x3 y1 z1

2．求通过直线l1:y3t2，和直线l2:的平面的方程.

z2t3232

答案：

解：由题意知l1和l2的方向向量s1=s2=(2，3，2)，取直线l1上一点P1(-1，2，-3)，取

直线l2上一点P2(3，-1，1)，

则平面的法向量

ijk



n=s1´P1P2=232=18(1，0，-1)，

4-34

故平面的方程为(x1)(z3)0，整理得xz20.

","gnid":"927890e86171bc27a","img_data":[{"flag":2,"img":[{"desc":"","height":"549","title":"","url":"https://p0.ssl.img.360kuai.com/t01a453a8c9c6122d99.jpg","width":"941"}]}],"original":0,"pat":"art_src_0,otherc,fts0,sts0","powerby":"cache","pub_time":1695293494000,"pure":"","rawurl":"http://zm.news.so.com/64bd8e98e83082513305002748ec4158","redirect":0,"rptid":"ec94807e0f0a764b","rss_ext":[],"s":"t","src":"学长爱升本","tag":[{"clk":"keducation_1:高等数学","k":"高等数学","u":""},{"clk":"keducation_1:天津","k":"天津","u":""}],"title":"2024年天津专升本文化课考试高等数学新大纲（2023年9月修订）

---

平面与平面间垂直的条件,至少四个,不论初高中!(简略说就好!)
平面平行：两个平面没有公共点 则平行 判定：1一个平面内两条相交直线都与另一平面平行 则两平面平行 2一个平面内一条直线与另一个平面的两条相交直线都平行 则平行 3若两个平面都与第三个平面平行 也这两个平面平行4 若一条直线同时垂直两个平面 ，则这两个平面平行 望采纳 ...

平面与平面垂直性质定理的证明
那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。性质3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。性质4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．...

什么叫两个平面相互垂直?
1、两平面垂直(perpendicular between two pla-nes)，两平面间的一种位置关系。两个平面相交，若所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直。2、两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫垂足。拓展：两条直线、两个平面相交，或一条直线...

平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。在空间中，到两点距离相等的点的轨迹叫做平面。两平面垂直是两平面间的一种位置关系。

平面与平面间垂直的条件,至少四个,不论初高中!(简略说就好!)
平面平行：两个平面没有公共点 则平行 判定：1一个平面内两条相交直线都与另一平面平行 则两平面平行 2一个平面内一条直线与另一个平面的两条相交直线都平行 则平行 3若两个平面都与第三个平面平行 也这两个平面平行4 若一条直线同时垂直两个平面 ，则这两个平面平行 望采纳 ...

直线与平面,平面与平面垂直的几何条件分别是什么?
直线垂直于平面，那这条直线需要垂直于平面所有的直线。即 这条直线需要垂直于这个平面内的两条相交直线。用向量来说，就是直线的方向向量平行于平面的法向量。平面于平面垂直。首先找一条直线会垂直于一个平面，然后这条直线又在另一个平面上，那么这两个平面垂直。用向量来说，两个平面的法向量想互...

举三个平面与平面垂直的生活例子
墙角就是典型例子，地面和两个墙体三个平面相互垂直。还有与墙面垂直的门，也可以作为互相垂直来看。把一本书成90度角翻开，垂直放于桌面，也是一个例子。

如何证明平面与平面垂直的判定定理
线面垂直→面面垂直 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

直线与平面平行的判定定理___,平面与平面垂直的判定定理___
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．平面与平面垂直的判定定理：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直 故答案为：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直 ...

直线与平面平行的判定定理___,平面与平面垂直的判定定理___..._百度...
直线与平面平行的判定定理:需要三个条件,面内一线,面外一线,线线平行,可得线面平行;平面与平面垂直的判定定理:需要两个条件,线面垂直,线在面内,可得面面垂直.解:直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.平面与平面垂直的判定定理:一个平面过另一平面...

纪兔15867553233问： 两平面垂直的条件公式 ？
丘北县冰珍回答： 两平面垂直的条件公式是:a1x+b1y+c1z+d1=0,垂直,是指一条线与另一条线成直角,这两条直线互相垂直,通常用符号“⊥”表示.设有两个向量a和b,a⊥b的充要条件是a·b=0,即(x1x2+y1y2)=0.对于立体几何中的垂直问题,主要涉及到线面垂直问题与面面垂直问题,而要解决相关的问题,其难点是线面垂直的定义及其对判定定理成立的条件的理解;两平面垂直的判定定理及其运用和对二面角有关概念的理解.

纪兔15867553233问： 总结空间中所有可以求面面垂直的方法 - ？
丘北县冰珍回答： 【方法1】 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直. 【方法2】 两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,那么这两个平面互相垂直. 【方法3】 如果一个平面垂直于两个平行平面中的一个,也垂直于另一个. 【方法4】 如果两个平面的垂线相互垂直,那么这两个平面互相垂直.(一般用向量法做)

纪兔15867553233问： 平面与平面垂直的判定定理 - ？
丘北县冰珍回答： (1)定义法:如果两个平面所成的二面角为90°,那么这两个平面垂直(2)判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.(3)如果一个平面内任意点在另外一个平面的射影均在这两个平面的交线上,那么垂直4 如果N个互相平行的平面有一个垂直于一个平面 那么其余平面均垂直这个平面 好了 打这么多太累了 自己从中选所需要的吧

纪兔15867553233问： 请问平面与平面垂直的定理和判断方法有那些? - ？
丘北县冰珍回答： 线线平行→线面平行 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行. 线面平行→线线平行 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行. 线面平行→面面...

纪兔15867553233问： 如何证明平面与平面垂直的判定定理 - ？
丘北县冰珍回答： 线面垂直→面面垂直 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.

纪兔15867553233问： 判定两空间直线是否共面的公式怎么推导出来的?这个公式感觉很难理解,哪位能够帮忙解释一下. - ？
丘北县冰珍回答： 行列式第一行是L1的一个点连接L2的一个点的直线的方向 ,这个行列式代表三行的三个向量的组和积,组和积的大小是这三个向量(平移成共端点后)决定的平行六面体的体积共面.则三个向量在同一平面.平行于同一条直线的两条直线平行...

纪兔15867553233问： 求证平面与平面垂直的方法?？
丘北县冰珍回答： 1.定义法:二面角为直角的平面互相垂直. 2.过垂直于一个平面的直线(或与之平行)的另一个平面与前一平面垂直 3.法向量之内积为0的两个平面垂直 4.平行于直二面角其中一个平面的平面与另一个平面垂直 需要说明的是,垂直不具有传递性. 希望能帮到你.

纪兔15867553233问： 空间几何中证明线面,面面平行或垂直的定理都有啥?(全些) - ？
丘北县冰珍回答： 课本就有啊~线线平行 两平行平面被另一平面所截 所截的这两条直线平行 一条直线垂直与一个平面 它和平面内的任一条直线垂直 线面 一直线和平面中的任一条直线平行 就和此平面平行 一条直线与平面内的两条相交直线都垂直 旧和该平面垂直 面面 两平面内两条相交直线互相平行 两平面就平行 平面内一条直线与另一平面垂直 两平面就垂直

纪兔15867553233问： 平面向量的垂直和平行公式 - ？
丘北县冰珍回答：[答案] 两个向量a,b平行:a=λb (b不是零向量);两个向量垂直:数量积为0,即 a•b=0 坐标表示:a=(x1,y1),b=(x2,y2) a//b当且仅当x1y2-x2y1=0 a⊥b当且仅当x1x2+y1y2=0

纪兔15867553233问： 空间直线与平面垂直的判定 - ？
丘北县冰珍回答： 空间中一条直线l如果垂直于平面α内任意两条不平行的直线,那么此直线l垂直平面α.这个好像是直线垂直平面的最基本的判别方法,好像也是直线垂直平面的定义吧.

---