平面与平面平行证明题

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲（2023年9月修订）

一、考试性质

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性

考试．高等院校根据考生的成绩，按照已确定的招生计划，择优录取．因此，考试应该具有较高的信度、效度、适当的难度和必要的区分度．

二、考试内容与基本要求

（一）能力要求

高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查．

思维能力表现为对问题进行分析、综合，科学推理，并能准确地表述．数学思维能力表

现为以数学知识为素材，通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方

面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断．

运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，

寻找与设计合理、简洁的运算途径．运算包括对数字的计算，对式子的组合变形与分解变形，

对几何图形各几何量的计算求解等．

实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生

产、生活和相关学科中的简单数学问题．

（二）内容与要求

《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力，

在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校（工科专业）专科生高等数学的基本要求，为

进一步学习奠定基础．

对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次，且高一

级的层次要求包含低一级的层次要求．

了解(A)：对所列知识内容有初步的认识，会在有关问题中进行识别和直接应用．

理解(B)：对所列知识内容有理性的认识，能够解释、举例或变形、推断，并利用所列

知识解决简单问题．

掌握(C)：对所列知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有

关问题．

灵活和综合运用(D)：系统地把握知识的内在联系，并能运用相关知识分析、解决较复

杂的或综合性的问题．

具体内容与要求详见表1—表7．

1

考试内容

考试要求

A

B

C

D

函

数

函数概念的两个要素（定义域和对应规则）

√

分段函数

√

函数的奇偶性，单调性，周期性和有界性

√

反函数，复合函数

√

基本初等函数的性质和图像，初等函数

√

极

限

极限（含左、右极限）的定义

√

极限存在的充要条件

√

极限四则运算法则

√

两个重要极限

√

无穷大、无穷小的概念及相互关系，无穷小的性质

√

无穷小量的比较

√

用等价无穷小求极限

√

连

续

性

函数在一点处连续、间断的概念

√

间断点的类型：包括第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点）及第二

类间断点

√

初等函数的连续性

√

闭区间上连续函数的性质（介值定理，零点定理和最大值、最小值定理）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

导数的概念及其几何意义

√

可导性与连续性的关系

√

函数，极限，连续性

表1

一元函数微分学

表2

2

导数

与

微分

平面曲线的切线方程与法线方程

√

导数的基本公式，四则运算法则和复合函数的求导方法

√

微分的概念，微分的四则运算，可微与可导的关系

√

高阶导数的概念

√

显函数一、二阶导数及一阶微分的求法

√

隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法

√

由参数方程所确定的函数的二阶导数

√

中值

定理

与

导数

应用

罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论

√

罗必达法则

√

未定型的极限

√

函数的单调性及判定

√

函数的极值及求法

√

函数曲线的凹凸性及判定，拐点的求法

√

函数的最大值、最小值

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

不

定

积

分

原函数的概念、原函数存在定理

√

不定积分的概念及性质

√

不定积分的第一、二类换元法，分部积分法

√

简单有理函数的积分

√

定

积

分

定积分的概念及其几何意义

√

定积分的基本性质

√

变上限函数及导数

√

一元函数积分学

表3

考试内容

考试要求

A

B

C

D

多元

函数

的极

限与

连续

多元函数的概念，二元函数的定义域

√

二元函数的极限与连续性

√

偏导

数与

全微

分

偏导数的概念

√

二元函数一、二阶偏导数的求法

√

求复合函数与隐函数的一阶偏导数（仅限一个方程确定的隐函数）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

向量

代数

空间直角坐标系，向量的概念，向量的坐标表示法

√

单位向量及方向余弦

√

向量的线性运算，数量积和向量积运算

√

向量平行、垂直的充要条件

√

空间

解析

几何

平面的方程及其求法

√

空间直线的方程及其求法

√

平面、直线的位置关系（平行、垂直）

√

牛顿—莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法

√

定积

分的

应用

平面图形的面积

√

旋转体的体积

√

向量代数与空间解析几何

表4

多元函数微分学

表5

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念

√

一阶

方程

一阶可分离变量方程

√

一阶线性方程

√

二阶

方程

二阶常系数线性齐次微分方程

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

与

计算

二重积分的概念及性质、几何意义

√

直角坐标系下计算二重积分

√

交换积分次序

√

极坐标系下计算二重积分

√

偏导

数的

应用

二元函数的全微分

√

二元函数的无条件极值

√

空间曲面的切平面方程和法线方程

√

二重积分

表6

常微分方程

表7

考试为闭卷、笔试，试卷满分为150分，考试限定用时为120分钟．

全卷包括I卷和II卷，I卷为选择题，II卷为非选择题．试题分选择题、填空题和解答

题三种题型．选择题是四选一类型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不要求写出

计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答题应写出文字说明、演

算步骤或证明过程．三种题型（选择题、填空题和解答题）题目数分别为6、6、5，整卷共

17道题；选择题和填空题约占总分的48%左右，解答题约占总分的52%左右，试卷包括容

5

易题、中等难度题和较难题，总体难度适当，以中等难度题为主．

四、题型示例

为了便于理解考试内容和要求，特编制下列题型示例，以供参考．所列样题力求体现试

题的各种题型及其难度，它与考试时试题的数目、题序安排、考查内容、难度没有对应关系.

（一）选择题

1．函数f(x)4x2ln(x1)的定义域为

A．[1，2]

B．(1，2]

C．(2，1)

D．[2，1)

答案：B

2．当x0时，与x等价的无穷小量是

A．tanx

B．2sinx

C．e2x1

D．ln(1x)

答案：A

dx0

costdt

3．

A．sinx2

答案：C

（二）填空题

x29

1．极限lim

x3x22x3

3

答案：

2

B．2xsinx2

_____________.

C．cosx2

D．2xcosx2

2．函数f(x)x2ex在x0处的二阶导数的值为_____________.

答案：3

3．函数zln(3xy)的全微分dz_____________.

答案：

3d xdy

3xy

（三）解答题

1．求二元函数f(x，y)x3y33xy5所有的极值点和极值

答案：

fx3x23y0，

解：由方程组2得驻点(0，0)，(1，1).

fy3y3x0

又Afxx6x，Bfxyfyx3，Cfyy6y.

对于驻点(0，0)：A0，B3，C0，由B2AC90知(0，0)不是极值点.

6

对于驻点(1，1)：A6，B3，C6，由B2AC270且A0知(1，1)是极小

值点，极小值f(1，1)4.

因此，函数f(x，y)有极小值点(1，1)，极小值为4.

x2t1，

x3 y1 z1

2．求通过直线l1:y3t2，和直线l2:的平面的方程.

z2t3232

答案：

解：由题意知l1和l2的方向向量s1=s2=(2，3，2)，取直线l1上一点P1(-1，2，-3)，取

直线l2上一点P2(3，-1，1)，

则平面的法向量

ijk



n=s1´P1P2=232=18(1，0，-1)，

4-34

故平面的方程为(x1)(z3)0，整理得xz20.

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证明两个平面平行的方法有哪些?谢谢
例：如图1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：(1)AP⊥MN；(2)平面MNP∥平面A1BD。图1 证明　(1)连结BC1，B1C，则B1C⊥BC1，BC1是AP在面BB1C1C上的射影，∴　AP⊥B1C.又B1C∥MN，∴　AP⊥MN.(2)连结B1D1.∵　P，N分别是D1C1，B1C1的...

高中数学必修2平面与平面平行的判定
∴ MN\/\/EF ∵ MN不在平面EFDB中，EF在平面EFDB中，∴ MN\/\/平面EFDB ① 连接EN 则EN与A1B1平行且相等，又AB与A1B1平行且相等 ∴ EN与AB平行且相等 ∴ ABEN是平行四边形 ∴ AN\/\/BE ∵ AN不在平面EFDB中，BE在平面EFDB中，∴ AN\/\/平面EFDB ② 由①② 平面AMN\/\/平面EFDB ...

证明面与面平行的例题
回答：典型例题例1 若 , ,则 , 的位置关系是( )A.异面直线B.相交直线C.平行直线D.相交直线或异面直线分析 判断两条直线的位置关系,可以通过观察满足已知条件的模型或图形而得出正确结论.解:如图所示,在正方体 中,设 , ,则 .若设 ,则 与 相交.若设 ,则 与 异面.故选D.说明:利用具体模型...

平面与平面平行的判定定理的推论的逆定理?
设a，b是平面α内的两条相交直线，过直线a作平面γ交平面β于c，则a\/\/c（没有公共点）同理过直线b作平面τ交平面β于d，则b\/\/d 现只需证明c，d相交即可，此时可以用反证法 若c\/\/d,则a\/\/b\/\/c\/\/d,与a，b相交矛盾

几何证明题面面平行判断
由PE\/EA=PF\/FB=PG\/GC=1\/2 可知，EF，FG，GE分别是三角形PAB，PBC，PCA的中位线 所以EF\/\/AB,FG\/\/BC 所以面EFG\/\/面ABC （一个平面内的相交二直线分别平行于另一平面内的相交二直线，则这两个面平行）

怎么证明面面平行及解答方法
证明面面平行方法一 线面垂直：1.一条线与平面内两条相交直线垂直.一条线在一个平面内，而这个平面与另外一个平面垂直，那么这条线与另外一个平面垂直 面面垂直：一条线与平面内两条相交直线垂直，且有一个平面经过这条线 证明：∵平面α∥平面β∴平面α和平面β没...

如何证明面面平行
一般有三种方法：一、面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线与都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.（很常用）二、如果两个平面都垂直同一条直线,那么这两个平面是互相平行的.（常用）三、根据两个平面平行的定义,证明两个平面没有公共点.（不常用)...

平面A平行于平面B,平面B平行于平面C,求证平面A平行平面C?
在平面A中作两条相交的直线，x₁和y₁过这两条直线分别作平面α，β 平面α，β与平面B分别交于直线x₂和y₂，与平面C分别交于直线x₃和y₃∵平面A∥平面B ∴平面α∩平面A＝x₁，平面α∩平面B＝x₂∴x₁∥x₂ ，同理y...

证面面平行条件
平面的法向量平行： 两个平行的平面具有相同的法向量或者互为相反数。这是因为平面的法向量定义了平面的朝向，而平行的平面必须具有相同的朝向。证明平面之间平行的条件： 假设有两个平面 P1 和 P2，它们分别由点集合 A、B、C 和 D、E、F 定义。我们想要证明 P1 和 P2 平行，即它们的法向量平行...

数学问题?如图,请老师详细解释下,谢谢!
在EF所在线段建立一个平面，面与面平行则EF平行于两个平面 至于为什么EF所在平面平行于已知平面：画两个平行的平面，在两个平面中各自任选一点连接、重复两次，线段中点都是一个平面上的。

宰君15014637664问： 怎样证明平面与平面平行的判定定理,就是平面上有两条相交直线与另一平面分别平行,两平面平行. - ？
永清县贝尔回答：[答案] 已知:平面A上有两条直线a、b分别于平面B平行 求证:平面A平行于平面B 证明: 平面A有垂线l,则l⊥a,l⊥b (平面垂线与平面上所有直线都垂直) 直线a‖平面B,则存在平面B上的直线c‖直线a 直线b‖平面B,则存在平面B上的直线d‖直线b ...

宰君15014637664问： 怎样证明两个平面平行? - ？
永清县贝尔回答：[答案] 证明两个平面平行的方法有: (1)根据定义.证明两个平面没有公共点. 由于两个平面平行的定义是否定形式,所以直接判定两个平面平行较困难,因此通常用反证法证明. (2)根据判定定理.证明一个平面内有两条相交直线都与另一个平面平行. (3...

宰君15014637664问： 平面与平面平行的判定定理是什么?就是怎么证明两个平面平行 - ？
永清县贝尔回答：[答案] 有很多,比如两相交的直线与一平面平行那么这两直线所在的平面就与这平面平行

宰君15014637664问： 怎么证明两个平面平行?多说几种方法, - ？
永清县贝尔回答：[答案] 证明两个平面平行的方法有:(1)根据定义.证明两个平面没有公共点.由于两个平面平行的定义是否定形式,所以直接判定两个平面平行较困难,因此通常用反证法证明.(2)根据判定定理.证明一个平面内有两条相交直线都与另...

宰君15014637664问： 试证:经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行. - ？
永清县贝尔回答：[答案] 略“有且只有”要准确理解.要先证这样的平面是存在的.再证它是唯一的,缺一不可.已知:点AÎ 平面α,求证:过点A有且只有一个平面β∥α.证明:(存在性)在平面α内任作两条相交直线a和b.由则知.点A和直线a可确定一个平面M.点A和直线b可确...

宰君15014637664问： 证明:平行于同一平面的俩个平面平行(平面平行的传递性) - ？
永清县贝尔回答：[答案] 作平面1与三个平面相交,交线L1∥L2∥L3 作平面1的相交平面2与三个平面相交,L4∥L5∥L6 L1与L4 L2与L5 L3与L6相交 由一平面内的两相交直线分别平行另一平面,那么两个平面平行的定理得:平行于同一平面的俩个平面平行

宰君15014637664问： 空间中证明平面与平面平行或垂直? - ？
永清县贝尔回答：[答案] 可以利用向量来证明的.解题的基本方法:1)在立体几何图形中,选择适当的点和直线方向建立空间直角坐标系 中2)若问题中没有给出坐标计算单位,可选择合适的线段设置长度单位;3)计算有关点的坐标值,求出相关向量的坐标;4)求解给定...

宰君15014637664问： 平面平行的判定一证明:如果一个平面内有两条相交直线都平行与另一个平面,那么这两个平面平行. - ？
永清县贝尔回答：[答案] 如果两平面不平行,平面A与平面B相交于直线L,设已知的两直线m,n中,m与L平行,m与n相交,则n与L相交,与条件:两条相交直线都平行与另一个平面矛盾. 所以两个平面平行

宰君15014637664问： 平面与平面的平行几何题目正方体ABCD - A1B1C1D1中MNEF分别是棱A1B1,A1D1,B1C1,C1D1的中点,求证平面AMN平行平面EFDB - ？
永清县贝尔回答：[答案] 取BD中点O,连FO,EO 只要证FO//AN,EO//AM,而这两对分别是两个平行四边行的对边,即可得AMN//EFO,所以平面AMN平行平面EFDB

宰君15014637664问： 如图,空间三条直线AA′,BB′,CC相交于O点,且AO=A′O,BO=B′O,CO=C′O.求证:平面ABC平行于平面A′B′C′. - ？
永清县贝尔回答：[答案] 由于空间三条直线AA′,BB′,CC相交于O点,且AO=A′O,BO=B′O,∴△AOB≌△A′OB′. ∴∠OAB=∠OA′B′,∴AB∥A′B′. 而A′B′⊂平面A′B′C′,AB 不在平面A′B′C′内,∴AB∥平面A′B′C′. 同理可证,AC∥平面A′B′C′. 而AB、AC是平面ABC内...

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