已知：如图所示AO是直角三角形ABC斜边的中线过点A作直线m⊥AO过点C作CD⊥m（1）求证CA平分∠BCD

(2)过点B作BE⊥CD于点FBE与OA交于点G过点B作BF⊥直线m于点F四边形BCDF的~

(2)∵O为BC中点;∠BAC=90°.
∴AO=BC/2=CO,∠OCA=∠OAC;
又AO∥CD,则∠ACD=∠OAC.
∴∠OCA=∠ACD(等量代换),即∠BCA=∠ACD;
∵⊿BCE与⊿ACD相似.
∴∠CBE=∠ACD=∠BCA=30°,易知:⊿BCE≌⊿CBA.
设BC=2X,则CE=BC/2=X,AO=BC/2=X,BF+CD=2AO=2X.BE=√3X.
S梯形BFDC=(BF+CD)•BE/2=2X•√3X/2=√3X²;
S⊿AOC=(1/2)S⊿ABC=(1/2)S⊿BCE=(1/2)•BE•CE/2=(1/2)•√3X•X/2=(√3/4)X².
∴√3X²-(√3/4)X²=12√3, X=4.(取正值).故:AO=X=4.

我来回答；2001年全国初中数学联赛
一、选择题（每小题7分，共42分）
1、a，b，c为有理数，且等式 成立，则2a+999b+1001c的值是（ ）
（A） 1999（B）2000（C）2001（D）不能确定
2、若 ，且有5a2+2001a+9=0及 ，则 的值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
3、已知在△ABC中，∠ACB=900，∠ABC=150，BC=1，则AC的长为（ ）
（A） （B） （C） （D）
4、如图，在△ABC中，D是边AC上的一点，下面四种情况中，△ABD∽△ACB不一定成立的情况是（ ）
（A） （B）
（C）∠ABD=∠ACB （D）
5、①在实数范围内，一元二次方程 的根为 ；②在△ABC中，若 ，则△ABC是锐角三角形；③在△ABC和 中，a，b，c分别为△ABC的三边， 分别为 的三边，若 ，则△ABC的面积S大于 的面积 。以上三个命题中，假命题的个数是（ ）
（A）0（B）1（C）2（D）3
6、某商场对顾客实行优惠，规定：①如一次购物不超过200元，则不予折扣；②如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠。某人两次去购物，分别付款168元和423元；如果他只去一次购物同样的商品，则应付款是（ ）
（A）522.8元（B）510.4元（C）560.4元（D）472.8

二、填空题（每小题7分，共28分）
1、已知点P在直角坐标系中的坐标为（0，1），O为坐标原点，∠QPO=1500，且P到Q的距离为2，则Q的坐标为 。
2、已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为 。
3、已知 是正整数，并且 ，则 = 。
4、一个正整数，若分别加上100和168，则可得到两个完全平方数，这个正整数为 。
三、 解答题（共70分）
1、在直角坐标系中有三点A（0，1），B（1，3），C（2，6）；已知直线 上横坐标为0、1、2的点分别为D、E、F。试求 的值使得AD2+BE2+CF2达到最大值。（20分）
（1） 证明：若 取任意整数时，二次函数 总取整数值，那么 都是整数；
（2）写出上述命题的逆命题，并判断真假，且证明你的结论。（25分）
3、如图，D，E是△ABC边BC上的两点，F是BC延长线上的一点，∠DAE=∠CAF。（1）判断△ABD的外接圆与△AEC的外接圆的位置关系，并证明你的结论；（2）若△ABD的外接圆的半径的2倍，BC=6，AB=4，求BE的长。









解答题：
1、 如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH所夹的锐
角为θ，且∠BEG与∠CFH都是锐角。已知EG=k，FH= ，四边形EFGH的面积为S。
（1）求证：sinθ= ；
（2）试用 来表示正方形的面积。
2、 求所有的正整数a，b，c，使得关于x的方程 ， ，
的所有的根都是正整数。
3、在锐角△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，DE⊥AC，E为垂足，DF⊥AB，F为垂足。O为△ABC的外心。
求证：（1）△AEF∽△ABC；
（2）AO⊥EF
4、如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，直线 平行于BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P。
求证：PM PN＝PR PS



 
2002年全国初中数学联合竞赛试卷
（2002年4月21日8：30—10：30）

一、选择题（本题42分，每小题7分）
1、已知a= -1，b=2 - ，c= -2，那么a，b，c的大小关系是（ ）
(A) a<b<c (B) b<a<c (C) c<b<a (D)c<a<b
2、若m2=n+2，n2=m+2(m≠n)，则m3-2mn+n3的值为（ ）
(A) 1 (B)0 (C)-1 (D)-2
3、已知二次函数的图象如图所示，并设M=|a+b+c|-|a-b+c|+|2a+b|-|2a-b|，则（ ）
(A)M>0 (B)M＝0 (C)M <0 (D)不能确定M为正、为负或为0
4、直角三角形ABC的面积为120，且∠BAC=90º，AD是斜边上的中线，过D作DE⊥AB于E，连CE交AD于F，则△AFE的面积为（ ）
(A)18 (B)20 (C)22 (D)24
5、圆O1与O2圆外切于点A，两圆的一条外公切线与圆O1相切于点B，若AB与两圆的另一条外公切线平行，则圆O1与圆O2的半径之比为（ ）
(A)2：5 (B)1：2 (C)1：3 (D)2：3
6、如果对于不小于8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数是，n+1都能表示成个k完全平方数的和，那么k的最小值为（ ）
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4











二、填空题（每小题7分，共28分）
1、已知a<0，ab<0，化简， .
2、如图，7根圆形筷子的横截面圆的半径均为r，则捆扎这7根筷子一周的绳子和长度为
3、甲乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相等，且每件商品的单价只有8元和9元，若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有 件。
4、设N=23x+92y为完全平方数，且不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对（x，y）共有 对。



三、（本题满分70分）
1、（本题满分20分）
已知：a ，b，c三数满足方程组 ，试求方程bx2+cx-a=0的根。

2、（本题满分25分）
如图，等腰三角形ABC中，P为底边BC上任意点，过P作两腰的平行线分别与AB，AC相交于Q，R两点，又P`的对称点，证明：P'在△ABC的外接圆上。












3、（本题满分25分）
试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx2+(r+2)x+r-1=0有且只有整数根。


 

参考答案
一、BDCBCC
二、1、 2、 3、12 4、27
三、1、由方程组得：a、b是方程x2-8x+c2- c+48=0的两根
△=-4(c- )2≥0，c=4 a=b=4
所以原方程为 x2+ x-1=0
x1= ，x2=
2、连结BP'、P'R、P'C、P'P
（1）证四边形APPQ为平行四边形
（2）证点A、R、Q、P'共圆
（3）证△BP'Q和△P'RC为等腰三角形
（4）证∠P'BA=∠ACP'，原题得证

3、（1）若r=0，x= ，原方程无整数根
（2）当r≠0时，x1+x2= x1x2=
消去r得：4x1x2-2(x1+x2)+1=7 得(2x1-1)(2x2-1)=7
由x1、x2是整数得：r= ，r=1

 
2003年全国初中数学联合竞赛决赛试题
一、选择题（每小题7分，共42分）
1、2 ＝＿＿。A 5－4 B4 －1 C5 D1
2、在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是＿＿个。A0 B1 C3 D5
3、若函数y＝kx(k＞0)与函数y＝x－1的图象相交于A、C两点，AB垂直x轴于B，则△ABC的面积为＿＿。A1 B2 Ck Dk2
4、满足等式x ＝2003的正整数对的个数是＿＿。A1 B2 C3 D4
5、设△ABC的面积为1，D是边AB上一点，且AD∶AB＝1∶3。若在边AC上取一点E，使四边形DECB的面积为 ，则 的值为＿＿。A B C D
6、如图，在平行四边形ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切，若AB＝4，BE＝5，则ED的长为＿＿。A3 B4 C D
二、填空题（每小题7分，共28分）
1、 抛物线y＝ax＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C。若△ABC是直角三角形，则ac＝＿＿＿＿。
2、 设m是整数，且方程3x2＋mx－2=0的两根都大于－ 而小于 ，则m=_______。
3、 如图，AA1、BB1分别是∠EAB、∠DBC的平分线，若AA1＝BB1＝AB，则∠BAC的度数为＿＿。
4、 已知正整数a、b之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a、b中较大的数是＿＿。

一、（本题满分20分）
试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数．
三、（本题满分20分）
在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使DE＝DF；过E，F分别作CA、CB的垂线，相交于P，设线段PA、PB的中点分别为M、N。求证：①△DEM≌△DFN；②∠PAE＝∠PBF。







四、（本题满分20分）已知实数a、b、c、d互不相等，且a＋ ＝b＋ ＝c＋ ＝d+ ＝x，试求x的值。


三、（本题满分25分）
已知四边形ABCD的面积为32，AB，CD，AC的长都是整数，且它们的和为16．
⑴这样的四边形有几个？
⑵求这样的四边形边长的平方和的最小值．
2003年全国初中数学联赛答案：
第一试
一、1、(D)；
2、(C)；由于任何凸多边形的外角之和都是360º，故外角中钝角的个数不超过3个，即内角中锐角最多不超过3个。
3、(A)；设A( )，则 ，故 。又因为△ABO与△CBO同底等高，因此，
4、(B)；由已知等式可得
而 ，所以， 。故
又因为2003为质数，必有 或
5、(B)；如图3，连结BE，
设 ，则 。
。故
6、(D)；如图4，连结AC、CE。
由AE‖BC，知四边形ABCE是等腰梯形。故AC＝BE＝5。
又因为Dc‖AB，DC与圆相切，所以，∠BAC＝∠ACD＝∠ABC。
则AC＝BC＝AD＝5，DC＝AB＝4
因为 ，故
二、1、－1；设A 。由△ABC是直角三角形可知 必异号。则
由射影定理知 ，即 ；故
2、4；由题设可知，
解得 。故
3、12º；设∠BAC的度数为
因 ，故∠ 又 ，则
∠ ＝∠CBD＝ 。因为∠
故 ，解得 º
4、225；设( )＝ ，且 ， ，其中 ， 与 互质。于是 的最小公倍数为 。依题意有
，即
又 ，据式(2)可得
根据式(1)，只能取 ，可求得
故两个数中较大的数是 。
第二试
A卷
一、解：设前后两个二位数分别为 ，
有 ；即
当△＝
即 ，则 时，方程有实数解
由于 必为完全平方数，而完全平方数的未位数字仅可能为0，1，4，5，6，9，故 仅可取25；此时， 或
故所求四位数为2025或3025
二、(1)如图，据题设可知，DM‖BN，DM＝BN，DN‖AM，DN＝AM
故∠AMD＝∠BND
因为M、N分别是Rt△AEP和Rt△BFP斜边的中点，
所以，EM＝AM＝DN，FN＝BN＝DM
又已知DE＝DF，故△DEM≌△FDN
(2)由上述三角形全等可知∠EMD＝∠FND，则∠AME＝∠BNF
而△AME、△BNF均为等腰三角形，所以，∠PAE＝∠PBF
三、解：由已知有
①； ②； ③； ④
由式①解出 ⑤
式⑤代入式②得 ⑥
将式⑥代入③得
即 ⑦
由式④得 ，代入式⑦得
由已知 ，故
若 ，则由式⑥可得 ，矛盾。故有
B卷
一、同(A卷)第一题的解答。
二、如图，分别取AP、BP的中点M、N。连结EM、DM、FN、DN。由D是AB的中点，则
DM‖BN，DM＝BN，DN‖AM，DN＝AM。故∠AMD＝∠BND。
又因为M、N分别是Rt△AEP、Rt△BFP斜边的中点，所以，
EM＝AM＝DN，FN＝BN＝DM。
因为DE＝DF，则△DEM≌△FDN
故∠EMD＝∠FND，从而，∠AME＝∠BNF
而△AME、△BNF均为等腰三角形，故∠PAE＝∠PBF
三、(1)如图，记AB＝a，CD＝b，AC＝ ，并设△ABC的边AB上的高为 ，△ADC的边DC上的高为 。则
＝
仅当 时等号成立。即在四边形ABCD中，当AC⊥AB，AC⊥CD时等号成立。
由已知可得
又由题设 ，可得
于是， ，且这时AC⊥AB，AC⊥CD
因此，这样的四边形有如下4下：
，

它们都是以AC为高的梯形或平行四边形。
(2)又由AB＝ ，CD＝ ，则
因此，这样的四边形的边长的平方和为

故当 时，平方和最小，且为192
(C)卷
一、同(A卷)第三题的解答。
二、除图的形式不同(如图)外，解答同(B卷)第二题
三、同(B卷)第三题解答。

 
2004年全国初中数学联合数学竞赛试题
第一试
一．选择题
1．已知abc≠0，且a+b+c=0, 则代数式 的值是（ ）
(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0
2．已知p,q均为质数，且满足5p2+3q=59，则以p+3,1-p+q,2p+q-4为边长的三角形是（ ）
(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 等腰三角形
3． 一个三角形的边长分别为a,a,b，另一个三角形的边长分别为b,b,a，其中a>b，若两个三角形的最小内角相等，则 的值等于（ ）
(A) (B) (C) (D)
4．过点P(-1,3)作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作（ ）
(A) 4条 (B) 3条 (C) 2条 (D) 1条
5．已知b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个实数根，则ab的取值范围为（ ）
(A) (B) (C) (D)
6．如图，在2×3矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，则以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为（ ）
(A) 24 (B) 38 (C) 46 (D) 50


二．填空题
1．计算 = .
2．如图ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆交于另一点P，延长AP交BC于点N，则 = .

3．实数a,b满足a3+b3+3ab=1,，则a+b= .
4．设m是不能表示为三个合数之和的最大整数，则m= .


第二试（A）
一． 已知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整数，求整数n的值。

二． 已知如图，梯形ABCD中，AD‖BC, 以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF，设线段AD的垂直平分线l交线段EF于点M，EP⊥l于P，FQ⊥l于Q。
求证：EP=FQ

三． 已知点A(0,3)，B(-2,-1)，C(2,-1) P(t,t2)为抛物线y＝x2上位于三角形ABC内（包括边界）的一动点，BP所在的直线交AC于E， CP所在的直线交AB于F。将 表示为自变量t的函数。


第二试（B）
一． 已知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整数，求整数n的值。

二． 已知如图，梯形ABCD中，AD‖BC, 以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF，设线段AD的垂直平分线l交线段EF于点M。
求证：M为EF的中点。

三． 已知点A(0,3)，B(-2,-1)，C(2,-1) P(t,t2)为抛物线y＝x2上位于三角形ABC内（包括边界）的一动点，BP所在的直线交AC于E， CP所在的直线交AB于F。将 表示为自变量t的函数。

第二试（C）
一． 已知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整数，求整数n的值。

二． 已知如图，梯形ABCD中，AD‖BC, 以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF， 连接EF，设线段EF的中点为M。
求证：MA=MD。

三． 已知点A(0,3)，B(-2,-1)，C(2,-1) P(t,t2)为抛物线y＝x2上位于三角形ABC内（包括边界）的一动点，BP所在的直线交AC于E， CP所在的直线交AB于F。将 表示为自变量t的函数。






 



参考答案：
一试
一．ABBCBD
二．1． 2． 3．1或-2 4．17
二试
一． -18，-8，0，10
二． （略）
三．

 
2005年全国初中数学联赛初赛试卷
3月25日下午2：30－4:30或3月26日上午9：00－11：30

学校___________ 考生姓名___________
题 号 一 二 三 四 五 合 计
得 分
评卷人
复核人
一、选择题（每小题7分，共计42分）
1、若a、b为实数，则下列命题中正确的是（ ）
（A）a＞b a2＞b2 (B)a≠b a2≠b2 (C)|a|＞b a2＞b2 (D)a＞|b| a2＞b2
2、已知：a+b+c=3,a2+b2+c2=3,则a2005+b2005+c2005的值是（ ）
（A） 0 (B) 3 (C) 22005 (D)3•22005
3、有一种足球是由若干块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，（如图），如果缝制好的这种足球黑皮有12块，则白皮有（ ）块。
(A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 22
4、在Rt△ABC中，斜边AB=5，而直角边BC、AC之长是一元二次方程x2－(2m－1)x+4(m－1)=0的两根，则m的值是（ ）
（A）4 （B）－1 （C）4或－1 （D）－4或1
5、在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线y=x－3与y=kx+k的交点为整数时，k的值可以取（ ）
（A）2个 （B）4个 （C）6个 （D）8个
6、如图，直线x=1是二次函数 y=ax2+bx+c的图像的对称轴，则有（ ）
（A）a+b+c=0 （B）b＞a+c （C）c＞2b （D）abc＜0
二、填空题 （每小题7分，共计28分）
1、已知：x为非零实数，且 = a, 则 =_____________。
2、已知a为实数，且使关于x的二次方程x2+a2x+a = 0有实根，则该方程的根x所能取到的最大值是_______________________.
3、p是⊙o的直径AB的延长线上一点，PC与⊙o相切于点C，∠APC的角平分线交AC于Q，则
则∠PQC = _________.
4、对于一个自然数n，如果能找到自然数a和b，使n=a+b+ab,则称n为一个“好数”，例如：
3=1+1+1×1，则3是一个“好数”，在1~20这20个自然数中，“好数”共有__________个。
三、（本题满分20分）设A、B是抛物线y=2x2+4x－2上的点，原点位于线段AB的中点处。
试求A、B两点的坐标。













四、（本题满分25分）如图，AB是⊙o的直径，AB=d，过A作⊙o的切线并在其上取一点C，使AC=AB，连结OC叫⊙o于点D，BD的延长线交AC于E，求AE的长。















五、（本题满分25分）设x = a+b－c ,y = a+c－b ,z = b+c－a ,其中a、b、c是待定的质数，如果x2 = y , = 2,试求积abc的所有可能的值。



 

2005年全国初中数学联赛决赛试卷
一、选择题：(每题7分，共42分)
1、化简： 的结果是＿＿。
A、无理数 B、真分数 C、奇数 D、偶数
2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为＿＿。
A、78.5 B、97.5 C、90 D、102
3、设r≥4，a＝ ，b＝ ，
c＝ ，则下列各式一定成立的是＿＿。
A、a>b>c B、b>c>a C、c>a>b D、c>b>a
4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是＿＿。
A、 B、 C、 D、
5、已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示， y
记p＝|a－b＋c|＋|2a＋b|，q＝|a＋b＋c|＋|2a－b|，则＿＿。
A、p>q B、p＝q C、p<q D、p、q大小关系不能确定
0 1 x
6、若x1，x2，x3，x4，x5为互不相等的正奇数，满足(2005－x1)(2005－x2)(2005－x3)(2005－x4)(2005－x5)＝242，则 的未位数字是＿＿。
A、1 B、3 C、5 D、7
二、填空题(共28分)
1、不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为＿＿。
2、 x＝＿＿＿。
3、若实数x、y满足 则x＋y＝＿＿。
4、已知锐角三角形ABC的三个内角A、B、C满足：A＞B＞C，用a表示A－B，B－C以及90°－A中的最小者，则a的最大值为＿＿＿。
三、解答题(第1题20分，第2、3题各25分)
1、a、b、c为实数，ac＜0，且 ，证明：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有大于 而小于1的根。





2、锐角ΔABC中，AB＞AC，CD、BE分别是AB、AC边上的高，过D作BC的垂线交BE于F，交CA的延长线于P，过E作BC的垂线，交CD于G，交BA的延长线于Q，证明：BC、DE、FG、PQ四条直线相交于一点。







3、a、b、c为正整数，且a2＋b3＝c4，求c的最小值。




 
2005年全国联赛决赛试卷详解
一、选择题：(每题7分，共42分)
1、化简： 的结果是＿＿。
A、无理数 B、真分数 C、奇数 D、偶数
解：

所以选D
2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为＿＿。
A、78.5 B、97.5 C、90 D、102
解：由题意得：
52＋142－2×5×14×cosα＝102＋112－2×10×11×cos(180°－α)
∴221－140cosα＝221＋220 cosα
∴cosα＝0
∴α＝90°
∴四边形的面积为：5×7＋5×11＝90
∴选C
3、设r≥4，a＝ ，b＝ ，c＝ ，则下列各式一定成立的是＿＿。
A、a>b>c B、b>c>a C、c>a>b D、c>b>a
解法1：用特值法，取r=4，则有
a= ，b＝ ，
c＝
∴c>b>a，选D
解法2：a＝ ，
b＝
c＝

解法3：∵r≥4 ∴ ＜1
∴
c＝
∴a<b<c，选D
4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是＿＿。
A、 B、 C、 D、
解：由图形割补知圆面积等于矩形ABCD的面积
∴
由垂径定理得公共弦为
∴选D

5、已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，
记p＝|a－b＋c|＋|2a＋b|，q＝|a＋b＋c|＋|2a－b|，则＿＿。
A、p>q B、p＝q C、p<q D、p、q大小关系不能确定
解：由题意得：a<0，b>0，c=0
∴p＝|a－b|＋|2a＋b|，q＝|a＋b|＋|2a－b|
又
∴p＝|a－b|＋|2a＋b|＝b-a+2a+b=a+2b=2b+a，
q＝|a＋b|＋|2a－b|= a＋b＋b-2a=2b-a
∴p<q，选C
6、若x1，x2，x3，x4，x5为互不相等的正奇数，满足(2005－x1)(2005－x2)(2005－x3)(2005－x4)(2005－x5)＝242，则 的未位数字是＿＿。
A、1 B、3 C、5 D、7
解：因为x1，x2，x3，x4，x5为互不相等的正奇数，所以(2005－x1)、(2005－x2)、(2005－x3)、(2005－x4)、(2005－x5)为互不相等的偶数
而将242分解为5个互不相等的偶数之积，只有唯一的形式：242＝2•(-2)•4•6•(-6)
所以(2005－x1)、(2005－x2)、(2005－x3)、(2005－x4)、(2005－x5)分别等于2、(-2)、4、6、(-6)
所以(2005－x1)2＋(2005－x2)2＋(2005－x3) 2＋(2005－x4) 2＋(2005－x5) 2＝22＋(-2) 2＋42＋62＋(-6) 2＝96
展开得：

二、填空题(共28分)
1、不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为＿＿。
解：(3×1＋3×2＋……3×33)＋(5×1＋5×2＋……5×20)－(15×1＋15×2＋……15×6)＝1683＋1050－315＝2418
2、 x＝＿＿＿。
解：分子有理化得：
∵x≠0，
∴
两边平方化简得：
再平方化简得：
3、若实数x、y满足 则x＋y＝＿＿。
解法1：假设x＋y＝a，则y＝a－x



解法2：易知
化简得：

4、已知锐角三角形ABC的三个内角A、B、C满足：A＞B＞C，用a表示A－B，B－C以及90°－A中的最小者，则a的最大值为＿＿＿。
解：

三、解答题(第1题20分，第2、3题各25分)
1、a、b、c为实数，ac＜0，且 ，证明：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有大于 而小于1的根。
解：设



∴
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有大于 而小于1的根.
2、锐角ΔABC中，AB＞AC，CD、BE分别是AB、AC边上的高，DE 与BC的延长线于交于T，过D作BC的垂线交BE于F，过E作BC的垂线交CD于G，证明：F、G、T三点共线。
证法1：设过D、E的垂线分别交BC于M、N，在Rt△BEC 与Rt△BDC中，由射影定理得：
CE2＝CN•CB，BD2＝BM•BC
∴
又Rt△CNG ∽Rt△DCB，Rt△BMF ∽Rt△BEC，
∴
∴
在Rt△BEC 与Rt△BDC中，由面积关系得：BE•CE＝EN•BC，BD•CD＝DM•BC
∴
由(1)(2)得：
证法2：设CD、BE相交于点H，则H为△ABC的垂心，记DF、EG、AH与BC的交点分别为M、N、R
∵DM‖AR‖EN
∴


由合比定理得：
证法3：在△ABC中，直线DET分别交BC、CA、AB于T、E、D，由梅涅劳斯定理得：

设CD、BE相交于点H，则H为△ABC的垂心，AH⊥BC
∵DF⊥BC、EG⊥BC
∴AH ‖DF ‖EG
∴
由梅涅劳斯定理的逆定理得：F、G、T三点共线.


证法4：连结FT交EN于G’，易知
为了证明F、G、T三点共线，只需证明 即可
∵

又
∴
∵CD⊥AB、BE⊥CA，∴B、D、E、C四点共圆
∴∠ABE＝∠ACD (2)
又 (3)
将(2) (3)代入（1）得： ，故F、G、T三点共线.
3、设a、b、c为正整数，且a2＋b3＝c4，求c的最小值。
解：显然c＞1.由题设得：(c2-a)(c2+a)=b3
若取
由大到小考察b，使 为完全平方数，易知当b＝8时，c2＝36，则c=6，从而a=28。下面说明c没有比6更小的正整数解，列表如下：
c c4 x3(x3<c4) c4-x3
2 16 1,8 17,8
3 81 1,8,27,64 80,73,54,17
4 256 1,8,27,64,125,216 255,248,229,192,131,40
5 625 1,8,27,64,125,216,343,512 624,617,598,561,500,409,282,113
显然，表中c4-x3的值均不是完全平方数。故c的最小值为6





 


参考答案：一、1、D 原式=
2、C ∵52+142=221=102+112 ∠A、 ∠C都是直角
3、D
4、D 5、C 6、A
二、1、2418 2、 3、x＋y＝33＋43＋53＋63＝432 4、15°
三、1、略 2、略 3、c的最小值为6。 23758

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⑴∵O是RTΔABC斜边BC的中点，∴OA=OC=1/2BC，(直角三角形斜边上中线等于斜边的一半)，
∴∠OAC=∠OCA，
∵OA⊥m，CD⊥m，∴OA∥CD，∴∠OAC=∠AD，
∴∠OCA=∠ACD，∴CA平分∠BCD
⑵由已知，四边形BFDE是矩形，S矩形BFDE=12√3，
∵ΔBCE∽ΔACD，∴∠CBE=∠ACD=1/2∠BCD，
∵BE⊥CD，∴∠CBE=∠ACD=∠BCA=30°，
由∠BAC=90°得∠BF=30°，设AD=X，
则AF=X(OA是梯形BCDF的中位线)，
∴BF=X/√3=√3X/3，
S矩形BFDE=BF*DF=√3X/3*2X=12√3，X^2=18，X=3√2，
CD=√3X=3√6，
OA=1/2(BF+CD)=1/2(√6+3√6)=2√6。

当△BCE与△CAD相似时，∠CBE=∠ACD=∠ACB

∴∠CBE=90º／3=30º

设AO=x，则AB=EC=x(∵△BCA≌△CBE﹙AAS﹚﹚
CA=BE=√3x,
∴DC=√3x·√3／2=3x／2

∴DE=x／2

∴四边形BCDF的面积比△AOC的面积大12√3=√3x·x／2＋√3x²／2-1／2·√3x²／2

∴3√3x²／4=12√3

∴x²=16

∴x=4

---

昂仁县17840367452： 如图已知AO是三角形ABC中,角BAC的角平分线,BD垂直AO交AO的延长线于D,E是BC的中点,求证DE=1/2(AB - AC)？
童宏替硝： 延长AC,交BD延长线于F点. 等腰三角形ABF【可直接利用垂直+角平分线得出,也可通过三角形ABD相等AFD得出】 AF=AB CF=AB-AC AOD是等腰三角形ABF中垂线,BD=DF 又BE=CE 所以DE平行CF DE=1/2 CF = 二分之一{AB-AC} 好吧..过两年了..给个好评的了

昂仁县17840367452： 已知,如图,在直角三角形ABC中,AB=AC,O是BC边的中点,D,E分别是AB,AC上的点...？
童宏替硝： 因为:ABC为直角三角形,AB=AC,且O是BC边上的中点 即:AO=BO=CO,且∠BAO=∠OCA 又:AE=BD 所以:AD=CE 因为AD=CE,AO=CO,∠BAO=∠OCA 即三角形ADO相似等于三角形COE 所以OE=OD

昂仁县17840367452： 如图所示,已知AO是三角形ABC中角BAC的平分线BD垂直于AO并交AO的延长线于点D,E是BC的中点求DE=1/2(AB - AC) - ？
童宏替硝： 证明:延长BD,AC交于M ∵AO 平分∠BAC ∴∠MAD=∠BAO ∵BD⊥AD ∴∠ADB=∠ADM=90 ∵AD=AD ∴△ABD ≌△ADM ∴DB =DM ,AB=AM ∴D是BM中点 ∵E是BC中点 ∴ED是△BCE的中位线 ∴DE=1/2MC ∵MC=AM-AC AB=AM ∴MC=AB-AC ∴DE=1/2(AB-AC) 书写量大,望采纳,谢谢

昂仁县17840367452： 如图所示,已知三角形aob是直角三角形,∠aob=90°,∠oab=60°,ab=4,三角形aob与三角形aoc全等,二面角c - ao - b是直二面角,点d是ab的中点,求直线ao与cd所成的角？
童宏替硝： 解:过点D做平行于oa的直线交ob于E.因为 ∠aob=90°,三角形aob与三角形aoc全等,且oa为公共边.所以∠oac=∠oab=60°.在RT三角形aob中∠oab=60°,则oa=1/2ab=2,因为ad=bd,所以de=1.又因为∠boc=90°,所以ce=√15.cd=4.sin∠cde=1/4.oa与cd所成的角等于∠cde=Arcsin1/4.

昂仁县17840367452： 如图,已知点O为直角三角形ABC斜边AB上一点,以O为圆心,OA为半径的圆与BC相切雨点D,与AB相交于点E.( - ？
童宏替硝：[答案] (1)AB为⊙O切线,所以OD⊥AB ∠ADO=∠ACO=90又OD=OC=⊙O半径 又有公共边AO 所以三角形AOC≌三角形AOD(2)Rt⊿ODB中有:OD2 BD2=OB2设⊙O的半径为r 即OD=OE=r,OB=OE BE=r 1所以有:r2 3^2=(r 1)^2解方程得:r=4又Rt...

昂仁县17840367452： 初一数学如图,已知O为直线AB上一点,讲一个三角形的直角边放在O点1.当三角板COD绕O点旋转时(三角板都在AB上方),OE平分∠AOC,OF平分∠... - ？
童宏替硝：[答案] 1、当∠AOC=∠BOD=45时 显然有∠AOE=∠BOF 2、当∠AOC≠∠BOD时 ∠AOC=180-90-∠BOD 两边同除2,即 ∠AOE=45-∠BOF 则∠AOE+∠BOF=45

昂仁县17840367452： 如图,AO是三角形ABC的中线,圆O与AB边相切于点.1.要使圆O与AC边也相切,应增加的条件是?2.增加条件 - ？
童宏替硝： 解:(又AO是三角形ABC的中线,故AO也是顶角∠BAC的平分线(等腰△三线合一).即圆心O在顶角∠BAC的平分线上 所以:圆心O到AB、AC的距离相等,因为圆O与AB边相切于点D,所以:O到AC的(垂直)距离也为半径(设垂足为E,即OE⊥AC、OE=R).故与AC相切

昂仁县17840367452： 如图,△AOB是等腰直角三角形,AO=AB,∠OAB=90°,C为OB上任意一点,以AC为直角边作等腰直角三角形ACD,∠ACD=90°.连接OD,求∠AOD的度数. - ？
童宏替硝：[答案] 作AE⊥OB于E,DF⊥OB于F, ∵△ACD为等腰直角三角形, ∴AC=DC,∠ACD=90° 即∠ACF+∠DCF=90°, ∵∠FDC+∠DCF=90°, ∴∠ACF=∠FDC, 在△DFC和△CEA中, ∠FDC=∠ACF∠DFC=∠CEACD=AC ∴△DFC≌△CEA, ∴EC=DF,FC=...

昂仁县17840367452： 如图,已知AO是三角形ABC的角平分线,BD垂直AO交AO的延长线于点D,点E是BC的中点,求证;DE=1/2[AB - AC] - ？
童宏替硝： 延长ac和bd交于点f,则d,e分别是两条线的中点,即ed等于1/2cf.因为ad为角平分线所以af等于ab,所以de=1/2cf=1/2(af-ac)

昂仁县17840367452： 如图,在平面直角坐标系中,三角形AOB为等腰直角三角形,AB=AO,若C为x轴负半轴上一动点,以AC为直角边作 - ？
童宏替硝： 分别过D、A作线段DM、AN垂直于x轴 那么在等腰△ABC中,AN=ON 因为△ACD为等腰直角三角形,所以 AC=CD 容易证明RT △DCM全等于RT △ACN 所以 DM=CN CM=AN MO=MC+CO=AN+CO==ON+CO=CN=DM 所以△DOM为等腰直角三角形 所以∠DOM =45=∠AOB 所以∠AOD=180-∠DOM- ∠AOB=90 ∠AOD=90