若A是三阶不可逆矩阵,α,β是线性无关的三维向量,且满足A α= β ,A β = α

设A是三阶不可逆矩阵,a,b是线性无关的三维向量,满足Aa=b,Ab=a,则A与哪个对角阵相~

A是三阶不可逆矩阵，这就说明A的行列式为0，

即|A|=0，所以0是矩阵A的特征值，
而Aa=b，Ab=a
那么A(a+b)=b+a，故1是矩阵A的特征值，
A(a-b)=b-a= -(a-b)，故 -1也是矩阵A的特征值，
所以矩阵A的3个特征值分别是1，-1，0
于是A与对角阵
(1
-1
0)相似

（I）由题意知： A(α1，α2，α3)＝(α1，α2，α3)100122113，∴B＝100122113．（II）因为α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，可知矩阵C=[α1，α2，α3]可逆，所以：C-1AC=B，即矩阵A与B相似，由此可得矩阵A与B有相同的特征值，由：|λE-B|=.λ?100?1λ?2?2?1?1λ?3.=（λ-1）2（λ-4）=0，得矩阵B的特征值，也即矩阵A的特征值分别为：λ1=λ2=1，λ3=4．（III）①对应于λ1=λ2=1，解齐次线性方程组（E-B）X=0，得基础解系为：ξ1＝(?1，1，0)T，ξ2＝(?2，0，1)T，②对应于λ3=4，解齐次线性方程组（4E-B）X=0，得基础解系为：ξ3＝(0，1，1)T，令矩阵：Q＝(ξ1，ξ2，ξ3)＝1?20101011，则：Q-1BQ=100010004，因：Q-1BQ=Q-1C-1ACQ=（CQ）-1A（CQ），记矩阵：P＝CQ＝(α1，α2，α3)1?20101011=[α1+α2，-2α1+α3，α2+α3]，则：P为所求的可逆矩阵．

A不可逆，必有个特征值0
A(a+b)=b+a
所以a+b是A的特征向量，特征值为1
A(a-b)=b-a=-(a-b)
所以a-b是A的特征向量，特征值为-1
所以A可对角化为选项（A)的形式

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巴马瑶族自治县18240693574： 若A是三阶不可逆矩阵,α,β是线性无关的三维向量,且满足A α= β ,A β = α - ？
蓝易奥诺： A不可逆,必有个特征值0 A(a+b)=b+a 所以a+b是A的特征向量,特征值为1 A(a-b)=b-a=-(a-b) 所以a-b是A的特征向量,特征值为-1 所以A可对角化为选项(A)的形式

巴马瑶族自治县18240693574： 假设A是三阶不可逆矩阵,且 α1α2是线性方程组AX=0的基础解系,α3是属于特征值λ=1的特征向量 - ？
蓝易奥诺： C

巴马瑶族自治县18240693574： 设A是三阶不可逆矩阵,a,b是线性无关的三维向量,满足Aa=b,Ab=a,则A与哪个对角阵相似 - ？
蓝易奥诺：[答案] A是三阶不可逆矩阵,这就说明A的行列式为0, 即|A|=0,所以0是矩阵A的特征值, 而Aa=b,Ab=a 那么A(a+b)=b+a,故1是矩阵A的特征值, A(a-b)=b-a= -(a-b),故 -1也是矩阵A的特征值, 所以矩阵A的3个特征值分别是1,-1,0 于是A与对角阵 (1 -1 ...

巴马瑶族自治县18240693574： 设A是3阶矩阵,α1,α2,α3是3维线性无关的列向量,且满足Aα1=α1+2α2+α3,A(α1+α2)=2α1+α2+ - ？
蓝易奥诺： 由Aα1=α1+2α2+α3,A(α1+α2)=2α1+α2+α3,A(α1+α2+α3)=α1+α2+2α3 可求得Aα2=α1-α2,Aα3=-α1α3,则 A(α1 α2 α3)=(α1 α2 α3), 而α1,α2,α3是3维线性无关的列向量 对两端取行列式得|A|=-4

巴马瑶族自治县18240693574： 数学问题,矩阵A三阶不可逆,a1 a2 是Ax=0的基础解系,a3是属于特征值1的特征向量 a1+ - ？
蓝易奥诺： 矩阵A三阶不可逆,所以A的行列式=0,所以0是A的特征值, a1 a2 是Ax=0的基础解系,那么a1,a2是A的属于特征值0的两个特征向量. a1与a2的线性组合 a1+a2 a1-a2 当然也是A的属于特征值0的特征向量. A*(a1+a3)=A*a1+A*a3=a3, 因为a1,a3是分属于特征值0和1的两个特征向量,所以a1,a3不共线; 所以a3不可能等于k*(a1+a3),所以a1+a3不是特征向量. ----------------------------------------- 数学辅导团琴生贝努里为你解答.

巴马瑶族自治县18240693574： A为三阶矩阵, α1,α2,α3是线性无关的三维列向量,且满足Aα1=α1+α2+α3 ,Aα2=2α2+α3 - ？
蓝易奥诺： 把条件写成A[α1,α2,α3]=[α1,α2,α3]B,其中B= 1 0 0 1 2 2 1 1 3 再把B对角化即可

巴马瑶族自治县18240693574： 线性代数问题,A是3阶不可逆矩阵,α1α2是Ax=0的基础解系,α3是属于特征值为1的特征向量,则 - ？
蓝易奥诺： 这道题选择D.特征向量α必须不能是0,且存在一个常数m使得Aα=mαA:首先因为α1、α2是基础解系,所以二者应该是线性无关,因此差值或者是任意组合的和值必然不为零,且Aα1=Aα2=0,所以有:A(α1+3α2)=m(α1+3α2),→Aα1+3Aα2=m(α1+3α2),→0=m(α1+3α2),→m=0;B:A(5α3)=m(5α3)→5Aα3=5mα3→Aα3=mα3,所以m=1C:原理与A相同.A(α1-α2)=m(α1-α2) → Aα1-Aα2=m(α1-α2) → 0=m(α1-α2)→m=0D:A(α2-α3)=m(α2-α3) →0-Aα3=mα2-mα3,无法找到一个m使得等式成立.

巴马瑶族自治县18240693574： 矩阵A三阶不可逆,a1 a2 是Ax=0的基础解系,a3是属于特征值1的特征向量 a1+矩阵A三阶不可逆,a1 a2 是Ax=0的基础解系,a3是属于特征值1的特征向量a... - ？
蓝易奥诺：[答案] 矩阵A三阶不可逆,所以A的行列式=0,所以0是A的特征值,a1 a2 是Ax=0的基础解系,那么a1,a2是A的属于特征值0的两个特征向量.a1与a2的线性组合 a1+a2 a1-a2 当然也是A的属于特征值0的特征向量.A*(a1+a3)=A*a1+A*a3=a3,因为a1,a3是分...

巴马瑶族自治县18240693574： 设A为3阶矩阵,α1,α2,α3为线性无关的3维列向量,Aα1=0,Aα2=α1+2α2,Aα3=α2+2α3,则A的非零 - ？
蓝易奥诺： 由于Aα1=0,Aα2=α1+2α2,Aα3=α2+2α3,则:A(α1,α2,α3)= α1,α2,α3 0 1 0 0 2 1 0 0 2,所以矩阵A在α1,α2,α3下的矩阵为: 0 0 0 1 2 0 0 1 2,它与矩阵A的有相同的特征值,根据特征值的求法,令. λE?A . =0,即求:. λ 0 0 ?1 λ?2 0 0 ?1 λ?2 . =0,有:λ(λ-2)2=0,所以:λ1=0,λ2=λ3=2,故非零特征值为:2.

巴马瑶族自治县18240693574： 向量组的线性相关与无关的题:若A为3阶方阵 α为3维列向量 - ？
蓝易奥诺： 一楼答了一部分 关键部分没有.证明: A^4α =A(A^3α) =A(5Aα-3A^2α) =5A^2α-3A^3α =5A^2α-3(5Aα-3A^2α) =5A^2α-15Aα+9A^2α =14A^2α-15AαB=(α,Aα,A^4α) = (α,Aα,14A^2α-15Aα) = (α,Aα,A^2α)K 其中 K = 1 0 0 0 1 -15 0 0 14因为 |K|=14≠0, 所以 K 可逆. 又由已知α,Aα,A^2α线性无关, 所以 (α,Aα,A^2α)可逆 故 B=(α,Aα,A^2α)K 可逆.