设A为三阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量α满足Aα3=α2+α3

设三阶实对称矩阵A的特征值是1，2，3，矩阵A的属于特征值1，2的特征向量分别是α1=（-1，-1，1）T，α2=~

三界石对称规整a的特质是123鬼正a的属性特征是一二特征向量是三

⑴ 设k1a1+k2a2+k3a3＝0 ①

A① -k1a1+k2a2+k3﹙a2+a3﹚＝0 即

-k1a1+﹙k2+k3﹚a2+k3a3＝0 ②

A② 得到 k1a1+﹙k2+2k3﹚a2+k3a3＝0 ③

③-① 2k3a2＝0 a2≠0 ∴k3＝0

①+② k2＝0 再从① k1＝0 a1,a2,a3 线性无关；

⑵ 令 J＝P^-1AP 则PJ＝AP＝﹙-a1,a2,a2+a3﹚＝﹙a1,a2,a3﹚×

┏ -1 0 0┓
┃ 0 1 1 ┃
┗ 0 0 1 ┛

即P^-1AP＝
┏ -1 0 0┓
┃ 0 1 1 ┃
┗ 0 0 1 ┛

证明: (1) 设 k1α1+k2α2+k3α3 = 0 (1)
则 k1Aα1+k2Aα2+k3Aα3 = 0
所以 -k1α1+k2α2+k3(α2+α3) = 0
所以 -k1α1+(k2+k3)α2+k3α3 = 0 (2)
(1)-(2) 得 2k1α1-k3α2=0
由于A的属于不同特征值的特征向量线性无关
所以 k1=k3=0.
代入(1)知 k2=0
所以 α1,α2,α3线性无关

A(α1,α2,α3)
= (Aα1,Aα2,Aα3)
= (-α1,α2,α2+α3)
= (α1,α2,α3)K
K =
-1 0 0
0 1 1
0 0 1
所以 P^-1AP=K

---

北辰区18724973904： 设A为三阶矩阵,α1,α2为A的分别属于特征值 - 1,1的特征向量,向量α满足Aα3=α2+α3证明(1)α1,α2,α3线性无关 (2)令P=(α1,α2,α3)求P - 1AP - ？
威勇托卡：[答案] 证明:(1) 设 k1α1+k2α2+k3α3 = 0 (1)则 k1Aα1+k2Aα2+k3Aα3 = 0所以 -k1α1+k2α2+k3(α2+α3) = 0所以 -k1α1+(k2+k3)α2+k3α3 = 0 (2)(1)-(2) 得 2k1α1-k3α2=0由于A的属于不同特征值的特征向量线性无关所...

北辰区18724973904： 设A为三阶矩阵,α1,α2为A的分别属于特征值 - 1,1的特征向量,向量α满足Aα3=α2+α3 - ？
威勇托卡： 证明: (1) 设 k1α1+k2α2+k3α3 = 0 (1) 则 k1Aα1+k2Aα2+k3Aα3 = 0 所以 -k1α1+k2α2+k3(α2+α3) = 0 所以 -k1α1+(k2+k3)α2+k3α3 = 0 (2) (1)-(2) 得 2k1α1-k3α2=0 由于A的属于不同特征值的特征向量线性无关 所以 k1=k3=0. 代入(1)知 k2=0 所以 α1,α2,α3线性无关A(α1,α2,α3) = (Aα1,Aα2,Aα3) = (-α1,α2,α2+α3) = (α1,α2,α3)K K = -1 0 00 1 10 0 1 所以 P^-1AP=K

北辰区18724973904： 设A为3阶矩阵,a1,a2为A的分别属于特征值 - 1和1的特征向量,a3满足Aa3=a2+a3.证明a1,a2,a3线性无关 - ？
威勇托卡： 证明: 设 k1a1+k2a2+k3a3=0 (1) 则 k1Aa1+k2Aa2+k3Aa3=0 由已知得 -k1a1+k2a2+k3(a2+a3)=0 即有 -k1a1+(k2+k3)a2+k3a3=0 (2)(1)-(2): 2k1a1-k3a2 = 0 因为 a1,a2为A的分别属于特征值-1和1的特征向量, 故 a1,a2 线性无关 所以 k1=k3=0 代入 (1) 知 k2 = 0故 a1,a2,a3线性无关.

北辰区18724973904： 线代题...设A为3阶矩阵,a1,a2为A的分别属于特征值 - 1,1的特征向量,a3向量满足Aa3=a2+a3.1证明:a1,a2,a3线性无关 2 令p=(a1,a2,a3)求p^ - 1Ap. - ？
威勇托卡：[答案] 假设a1a2a3线性相关,则存在不全为0的x,y,z满足xa1+ya2+za3=0 (1)0=A(xa1+ya2+za3)=xAa1+yAa2+zAa3=-xa1+ya2+z(a2+a3)=0 (2)上两式相减得,2xa1-za2=0而a1,a2是A不同特征值的特征向量,所以与a1,a2线性无关矛盾,所以假...

北辰区18724973904： 设A为3阶矩阵,a1,a2分别为A的属于特征值 - 1,1的特征向量,向量a3满足Aa3=a2+a3,证 - ？
威勇托卡： ⑴ 设k1a1+k2a2+k3a3=0 ① A① -k1a1+k2a2+k3﹙a2+a3﹚=0 即 -k1a1+﹙k2+k3﹚a2+k3a3=0 ② A② 得到 k1a1+﹙k2+2k3﹚a2+k3a3=0 ③ ③-① 2k3a2=0 a2≠0 ∴k3=0 ①+② k2=0 再从① k1=0 a1,a2,a3 线性无关;⑵ 令 J=P^-1AP 则PJ=AP=﹙-a1,a2,a2+a3﹚=﹙a1,a2,a3﹚* ┏ -1 0 0┓ ┃ 0 1 1 ┃ ┗ 0 0 1 ┛ 即P^-1AP= ┏ -1 0 0┓ ┃ 0 1 1 ┃ ┗ 0 0 1 ┛

北辰区18724973904： 设A为3阶实对称矩阵,α1=(0,1,1)^T,α2=(1,2,x)^T分别为A的对应于不同特征值的特征向量,则数x=? - ？
威勇托卡：[答案] 对应于不同特征值的特征向量正交.所以x=-2

北辰区18724973904： 设A是3阶矩阵,α1,α2,α3是3维线性无关的列向量,且满足Aα1=α1+2α2+α3,A(α1+α2)=2α1+α2+ - ？
威勇托卡： 由Aα1=α1+2α2+α3,A(α1+α2)=2α1+α2+α3,A(α1+α2+α3)=α1+α2+2α3 可求得Aα2=α1-α2,Aα3=-α1α3,则 A(α1 α2 α3)=(α1 α2 α3), 而α1,α2,α3是3维线性无关的列向量 对两端取行列式得|A|=-4

北辰区18724973904： 设A为3阶方阵, λ1, λ2, λ3是A的三个不同特征值,对应特征向量分别为α1,α2,α3, - ？
威勇托卡： α2,α3线性无关可得,Aβ,A^2β线性无关(1)假设xβ+yAβ+zA^2β=0 即x(α1+α2+α3)+y(λ1α1+λ2α2+λ3α3)+z(λ1^2α1+λ2^2α2+λ3^2α3)=0 (x+λ1y+λ1^2z)α1+(x+λ2y+λ2^2z)α2+(x+λ3y+λ3^2z)α3=0 因为α1,此即为A的特征值 因为A一定相似于对角阵C,...

北辰区18724973904： 设3阶实对称矩阵A的对应于特征值1,2的特征向量分别为α1=(1,2,1) Τ, α2=(a,1 - ？
威勇托卡： 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是彼此正交的,A为3阶实对称矩阵,α1=(1,2,1) Τ, α2=(a,1,0)Τ 分别为A对应于不同特征值的特征向量,则α1=(1,2,1) Τ与α2=(a,1,0)Τ正交,即(a1,a2)=1*a+2*1+1*0=0 所以a=-2

北辰区18724973904： 设3阶矩阵A列分块为A=(α1 α2 α3),矩阵B=(2α1+3α2 - 5α3,α1+α2,α3),若A的行列式的值为5,求矩阵B的行求矩阵B行列式的值?用矩阵的分块来做的方法是... - ？
威勇托卡：[答案] B=(2α1+3α2-5α3,α1+α2,α3)=(α1,α2,α3)K 其中K= 2 1 0 3 1 0 -5 0 1 所以 |B| = |A||K| = 5*(-1) = -5