设A是三阶矩阵，α是三维向量，α，Aα，A2α线性无关，且3Aα-2A2α-A3α=0。证明A相似于对角矩阵，并...
又看到你这个题目 正好更正一下结论.
解: 由已知得
A(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)B
其中 B =
4 -6 0
-4 -1 0
3 1 0
记 P = (α1,α2,α3)
由 α1,α2,α3 线性无关, 所以P可逆.
所以有 P^-1AP = B.
|B-λE| = λ[(4-λ)(-1-λ)-24] = λ(λ^2-3λ-28)
= λ(λ-7)(λ+4).
所以 B 的特征值为 0,7,-4.
故与B相似的矩阵A的特征值为 0,7,-4.
下面求B的特征向量.
BX=0 的基础解系为: a1=(0,0,1)'
(B-7E)X=0 的基础解系为: a2=(14,-7,5)'
(B+4E)X=0 的基础解系为: a3=(12,16,-13)'.
设λ是B的特征值, x是B的属于λ的特征向量, 则 Bx=λx.
因为 P^-1AP = B, 所以 P^-1APx = Bx = λx
所以 A(Px) = λ(Px).
即有: 若x是B的属于特征值λ的特征向量, 则Px是A的属于特征值λ的特征向量
所以, A的线性无关的特征向量为 ( 修改的这里)
b1 = Pa1=(α1,α2,α3)(0,0,1)' = α3.
b2 = Pa2=(α1,α2,α3)(14,-7,5)' = 14α1-7α2+5α3.
b3 = Pa3=(α1,α2,α3)(12,16,-13)' = 12α1+16α2-13α3
结论:
A的属于特征值0的特征向量为: k1b1,k1为任意非零常数.
A的属于特征值7的特征向量为: k1b2,k2为任意非零常数.
A的属于特征值-4的特征向量为: k1b3,k3为任意非零常数.
上次提交后发现问题, 但你已采纳, 无法修改, 只好写在评论里了.
由A[α1，α2，α3]=[α3，α2，α1]=[α1，α2，α3]001010100，令：P=[α1，α2，α3]，由α1，α2，α3为3维线性无关的列向量，则P可逆，并且有：P?1AP＝001010100＝B，即A～B，从而：A-E～B-E，即：r（A-E）=r（B-E）=1，故答案为：1．
证明: 由已知, A^3α = 3Aα-2A^2α
所以 A(α,Aα,A^2α)=(Aα,A^2α,A^3α) = (Aα,A^2α,3Aα-2A^2α) =(α,Aα,A^2α)B
B=
0 0 0
1 0 3
0 1 -2
由于 α,Aα,A^2α线性无关, 所以 (α,Aα,A^2α)^-1A(α,Aα,A^2α)=B, 即 A 与 B 相似
而B的特征值为 0,1,-3
所以 A 的特征值为0,1,-3
3阶矩阵A有3个不同的特征值,故A相似于对角矩阵
又因为 A+E 的特征值为 1,2,-2
所以 |A+E| = 1*2*(-2) = -4
简介
矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。 在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。
将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考《矩阵理论》。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。
证明: 由已知, A^3α = 3Aα-2A^2α
所以 A(α,Aα,A^2α)=(Aα,A^2α,A^3α) = (Aα,A^2α,3Aα-2A^2α) =(α,Aα,A^2α)B
B=
0 0 0
1 0 3
0 1 -2
由于 α,Aα,A^2α线性无关, 所以 (α,Aα,A^2α)^-1A(α,Aα,A^2α)=B, 即 A 与 B 相似.
而B的特征值为 0,1,-3
所以 A 的特征值为0,1,-3
3阶矩阵A有3个不同的特征值,故A相似于对角矩阵.
又因为 A+E 的特征值为 1,2,-2
所以 |A+E| = 1*2*(-2) = -4.
A是三阶矩阵,ζ,α,β是三个三维线性无关的列向量,其中Ax=0有解ζ...
Aα=β，左右同乘A，得到AAα=Aβ，而Aβ=α，所以AAα=α，同理AAβ=β，所以α和β是A^2特征值为1的特征向量，也就是A为±1的特征向量。又因为αβ无关，说明A的特征值同为1或-1。所以A的特征值为0,1,1或0,-1,-1
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根据正交矩阵的性质，|A|=±1。因为|A|<0 所以|A|=-1 直观来看，将A的所有元素绕着一条从第1行第1列元素出发的右下方45度的射线作镜面反转，即得到A的转置。一个矩阵M，把它的第一行变成第一列，第二行变成第二列，最末一行变为最末一列， 从而得到一个新的矩阵N。 这一过程称为矩阵...
设A为三阶矩阵,1\/9是它的一个特征值,α=(1,1,1)T是对应于1\/9的特征...
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设A为三阶方阵,α1,α2,α3为三维线性无关列向量组,且有Aα1=α2+...
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若A是三阶不可逆矩阵,α,β是线性无关的三维向量,且满足A α= β...
A不可逆，必有个特征值0 A(a+b)=b+a 所以a+b是A的特征向量，特征值为1 A(a-b)=b-a=-(a-b)所以a-b是A的特征向量，特征值为-1 所以A可对角化为选项（A)的形式
设A是三阶矩阵,且|A|=|2A+I|=|A-I|=0,则|A-5I|为多少
以下的E就是你题目中的I,即单位矩阵（为了与绝对值号区分）|A|=|2A+E|=|A-E|=0 即：|0*E-A|=|-1\/2E-A|=|E-A|=0 所以A的特征值为：0,-1\/2,1 所以A-5E的特征值为：-5,-11\/2,-4 ∴|A-5E|=(-5)*(-11\/2)*(-4)=-110 ...
设A,B是三阶矩阵,I是三阶单位矩阵,|A|=2且A²+AB+2I=0,则|A+B|=...
如下图，供参考。
一题数学题:设A为三阶矩阵, α1,α2,α3是线性无关的三维列向量_百度知 ...
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盈秀十维：[答案]A= 12−2212304,α=(a,1,1)T, 所以:Aα=(a,2a+3,3a+4) 由于Aα与α线性相关, 所以:存在k≠0,使得:Aα+kα=0, 所以:k=1,即:2a+3=3a+4, 从而:a=-1.
龙沙区13926112117： 向量组的线性相关与无关的题:若A为3阶方阵 α为3维列向量 - ？
盈秀十维： 一楼答了一部分 关键部分没有.证明: A^4α =A(A^3α) =A(5Aα-3A^2α) =5A^2α-3A^3α =5A^2α-3(5Aα-3A^2α) =5A^2α-15Aα+9A^2α =14A^2α-15AαB=(α,Aα,A^4α) = (α,Aα,14A^2α-15Aα) = (α,Aα,A^2α)K 其中 K = 1 0 0 0 1 -15 0 0 14因为 |K|=14≠0, 所以 K 可逆. 又由已知α,Aα,A^2α线性无关, 所以 (α,Aα,A^2α)可逆 故 B=(α,Aα,A^2α)K 可逆.
龙沙区13926112117： 设A为3阶矩阵,α1,α2,α3为三维列向量组,秩(α1,α2,α3)<3,证明:秩(Aα1,Aα2,Aα3)<3 - ？
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龙沙区13926112117： 设A是3阶矩阵,α1,α2,α3是3维线性无关的列向量,且满足Aα1=α1+2α2+α3,A(α1+α2)=2α1+α2+ - ？
盈秀十维： 由Aα1=α1+2α2+α3,A(α1+α2)=2α1+α2+α3,A(α1+α2+α3)=α1+α2+2α3 可求得Aα2=α1-α2,Aα3=-α1α3,则 A(α1 α2 α3)=(α1 α2 α3), 而α1,α2,α3是3维线性无关的列向量 对两端取行列式得|A|=-4
龙沙区13926112117： A是3阶方阵,α是3维列向量,且α,Aα,A²α线性无关.知A³α=Aα.求(A+2E)的行列式 - ？
盈秀十维：[答案] 设B=PAP^(-1), P=(α,Aα,A²α) 则BP=PA=(Aα,A^2*α,A^3*α) =(Aα,A^2*α,Aα) 观察上式中,Aα,A^2*α线性无关 则由矩阵的乘法运算可凑配出 B=(0 1 0,0 0 1,0 1 0) 又因为B=PAP^(-1) 所以A=P^(-1)BP A+2E=P^(-1)BP+2E =P^(-1)BP+2P^(-1)P =P^(-1)(B+2...
龙沙区13926112117： 向量组的线性相关与无关的题:若A为3阶方阵 α为3维列向量若A为3阶方阵,α为3维列向量,一直向量组α,Aα,A²α线性无关,且A³α=5Aα - 3A²α,求证矩阵 ... - ？
盈秀十维：[答案] 一楼答了一部分 关键部分没有.证明: A^4α=A(A^3α)=A(5Aα-3A^2α)=5A^2α-3A^3α=5A^2α-3(5Aα-3A^2α)=5A^2α-15Aα+9A^2α=14A^2α-15AαB=(α,Aα,A^4α) = (α,Aα,14A^2α-15Aα) = (α,Aα,A^2α)K其中 K =...
龙沙区13926112117： 设A为三阶方阵,试证,若三维向量α1,α2,α3满足A*α1=0,A*α2=α1,A*A*α3=α1,则α1,α2,α3线性无关 - ？
盈秀十维：[答案] 设k1a1+k2a2+k3a3=0 只需证明k1=k2=k3=0 k1a1+k2a2+k3a3=0两边同左乘A^2 0+0+k3a1=0 所以k3=0 从而k1a1+k2a2=0 上式两边同左乘A 0+k2a1=0 所以k2=0 所以k1a1=0 所以k1=0 所以α1,α2,α3线性无关
龙沙区13926112117： 已知3阶矩阵A有3维向量A满足A^3X=3AX - A^2X,且向量组X,AX,A^2X线性无关.(1)记P=(X,AX,A^2X),求三阶矩阵B使AP=PB.(2)求|A| - ？
盈秀十维：[答案] 1) AP=A(x, Ax, A^2*x) =(AX,A^2X,A^3X) =(AX,A^2X,3AX-A^2X) =(X,AX,A^2X)[ 0 0 0 1 0 3 0 1 -1 ] =PB B =[ 0 0 0 1 0 3 0 1 -1 ] 2) AP=PB ,X,AX,A^2X线性无关,P可逆 P逆*A*P=B ,A与B相似 |A|=|B|=0
龙沙区13926112117： 设三阶矩阵A=12−2212304,三维列向量α=λ11.已知Aα与α线性相关,则λ=______. - ？
盈秀十维：[答案] A= 12−2212304,α= λ11, Aα= λ2λ+33λ+4 Aα与α线性相关,故有: 2λ+3=3λ+4 得: λ=-1
龙沙区13926112117： 设A为三阶矩阵,三维列向量a1,a2,a3线性无关,且满足Aa1=2a1+a2+a3, Aa2=2a2,Aa3= - a2+a1 - ？
盈秀十维： 解: 由已知 A(a1,a2,a3)=(Aa1,Aa2,Aa3) =(2a1+a2+a3,2a2,-a2+a1) =(a1,a2,a3)B 其中 B= 2 0 1 1 2 -1 1 0 0 由于a1,a2,a3线性无关, 所以 (a1,a2,a3)^-1A(a1,a2,a3)=B|B-λE|= 2-λ 0 11 2-λ -11 0 -λ = (2-λ)[-λ(2-λ)-1] = (2-λ)(λ^2-2λ-1)所以B的特征值为 2,*,* 后两个是无理数 检查一下 Aa1=2a1+a2+a3, Aa2=2a2,Aa3=-a2+a1 是否正确
