设数列{an}的前n项和为Sn,满足2Sn=an+1-2^n+1+1,且a1,a2+5.a3成等差数

设数列{an}的前n项和为Sn,满足2Sn=an+1-2^n+1+1,且a1,a2+5.a3成等差数~

3^n-2^n-3^(n-1)
=2*3^(n-1)-2^n
=2*(3^(n-1)-2^(n-1))>0
∴an=3^n-2^n>3^(n-1),
∴1/an<1/3^(n-1)
∴1/a1+1/a2+...1/an
<(1/3)^0+(1/3)^1+(1/3)^2+。。。+1/3^(n-1)
=1*(1-(1/3)^n)/(1-1/3)
=3/2(1-(1/3)^n)
<3/2
故，1/a1+2/a2+3/a3+……+1/an<3/2，对于任意的正整数n成立。

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解析，
(1)2Sn=a(n+1)-2^(n+1)+1，那么2S(n-1)=an-2^n+1
2an=2Sn-2S(n-1)=a(n+1)-an-2^n，
故，3an=a(n+1)-2^n，也就是，3(an+2^n)=a(n+1)+2^(n+1)
因此，[a(n+1)+2^(n+1)]/(an+2^n)=3，故，（an+2^n）是等比数列。
由于，a1，a2+5，a3，是等差数列，故，2(a2+5)=a1+a3，【1】
当n=2时，2(a1+a2)=a3-8+1，【2】
由【1】和【2】可以解出，a1=1
那么a1+2=3，an+2^n=(a1+2)*3^(n-1)=3^n
因此，an=3^n-2^n
（2）【一直在想，从昨天想到现在，原来那么简单】
证明：设bn=1/an=1/(3^n-2^n)， b(n+1)=1/[3^(n+1)-2^(n+1)]
，b(n+1)/bn=【3^n-2^n】/【3^(n+1)-2^(n+1)】=【1-(2/3)^n】/【3-2*(2/3)^n】
lim(b(n+1)/bn)=1/3，
也就是说，b(n+1)/bn=【3^n-2^n】/【3^(n+1)-2^(n+1)】＜1/3恒成立。
因此，1/a1+2/a2+3/a3+……+1/an
=1/(3-2)+1/(3²-2²)+1/(3³-2³)+……+1/(3^n-2^n)
<1/(3-2)+1/3+(1/3)²+(1/3)³+……+(1/3)^(n-1)
由于，1/(3-2)+1/3+(1/3)²+(1/3)³+……+(1/3)^(n-1)
=1+1/3+(1/3)²+(1/3)³+……+(1/3)^(n-1)
=[1-(1/3)^n]/[1-1/3]
=3/2-3/2*(1/3)^n
<3/2
故，1/a1+2/a2+3/a3+……+1/an<3/2，对于任意的正整数n成立。

2Sn=a（n+1）-2^（n+1）+1令n=1,2联立（a2+5）*2=a1+a3得a1=1
2an=2sn-2sn-1=a（n+1）-an-2^n
即a（n+1)=3an+2^n
所以a（n+1)+2^（n+1）=3*(an+2^n)
an+2^n=(a1+2^1）*3^(n-1)=3^n
an=3^n-2^n
证明只要证1/a1+1/a2+...1/an<（3/2）*（1-（1/2)^n)
又（3/2）*（1-（1/3)^n)是首相为1/3,公比为1/2的等比数列前n项之和
故只要证明1/an<1/3*(1/2)^(n-1)
即证2^n/(3^n-2^n)<2/3
即证1/((3/2)^n-1)<2/3
由于放太紧的缘故（大侠们可自己构造一个松一点的包含n=1和2的，这里暂时想不出来，望谅解），n=1和2不满足上式
但是我们可由an通向公式得a1=1,a2=5,1/a1<3/2符合，1/a1+1/a2=6/5<3/2符合
所以对一切正整数n,有1/a1+1/a2+...1/an<3/2

第二问，因为3^n-2^n-3^(n-1)=2*3^(n-1)-2^n=2*(3^(n-1)-2^(n-1))>0
所以an=3^n-2^n>3^(n-1),所以1/an<1/3^(n-1)
所以1/a1+1/a2+...1/an<(1/3)^0+(1/3)^1+(1/3)^2+。。。+1/3^(n-1)=1*(1-(1/3)^n)/(1-1/3)=3/2(1-(1/3)^n)<3/2

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象山区19761156809： 设数列{an}的前n项和为sn,满足2sn=a(n+1) - 2^(n+1)+1,n属于n*.且a1,a2+5,a3成等差数列.(1)在2Sn=a - 2^(n+1)+1中,令n=1得:2S1=a2 - 2²+1,令n=2得... - ？
朝冰复合：[答案] an=3^n-2^n=(3-2)[3^(n-1)+3^(n-2)*2+3^(n-3)*2²+…+2^(n-1)] 是代公式: a^n-b^n=(a-b)*[a^(n-1)+a^(n-2)*b+a^(n-3)*b^2+a^(n-4)*b^3+...+a^(n-i)*b^(i-1)+...+a*b^(n-2)+b^(n-1)]

象山区19761156809： 设数列{an}的前n项和为Sn,并且满足2Sn=an²+n,an>0.(1)求a1,a2,a3.(2)猜想{an}的通项公式,并用数学归纳法加以证明 - ？
朝冰复合：[答案] 根据2Sn=an^2+n 得到2a1=a1^2+1 求得a1=1或a1=-1 又因为 an>0 所以a1=1 同理求得a2=2 a3=3 (2) 猜想an=n 证明 :因为 2Sn=an^2+n ……① 那么 2Sn-1=an-1^2+n-1 ……② ①-②得 2an=an^2-an-1^2+1 即(an-1)^2=an-1^2 因为an>0 两边同时...

象山区19761156809： 设数列{an}的前n项和为Sn,并且满足2Sn=an2+n,an>0(n∈N*).(Ⅰ)求a1,a2,a3;(Ⅱ)猜想{an}的通项公式,并用数学归纳法加以证明;(Ⅲ)设bn=2an - 1,... - ？
朝冰复合：[答案] (Ⅰ)由于数列{an}的前n项和为Sn,并且满足2Sn=an2+n,an>0(n∈N*),令n=1可得2S1=2a1=a12+1,解得a1 =1.再令n=2可得 2(1+a2)=a22+2,解得a2 =2,同理求得a3=3.(Ⅱ)猜想{an}的通项公式为 an=n.证明:当n=...

象山区19761156809： 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足:a1=a(a≠0),a(n+1)=rSn,(n∈N*,r∈R,r≠ - 1). - ？
朝冰复合： 解:(I)由已知an+1=rSn,则an+2=rSn+1,两式相减得 an+2-an+1=r(Sn+1-Sn)=ran+1 即an+2=(r+1)an+1 又 a2=ra1=a ∴当r=0时,数列{an}为:a,0,0,…;当r≠0时,由r≠-1,a≠0,∴an≠0 由an+2=(r+1)an+1得数列{an}从第二项开始为等比数列 ∴...

象山区19761156809： 设数列{an}的前n项和为Sn满足2Sn=an+1 - 2n+1+1,n∈N*,且a1,a2+5,a3成等差数列.(1)求a1的值;(2)求数列{an}的通项公式. - ？
朝冰复合：[答案] (1)在2Sn=an+1-2n+l+1中, 令n=1得:2S1=a2-22+1,即a2=2a1+3 ① 令n=2得:2S2=a3-23+1,即a3=6a1+13 ② 又2(a2+5)=a1+a3③ 联立①②③得:a1=1; (2)由2Sn=an+1-2n+l+1,得: 2Sn+1=an+2-2n+2+1, 两式作差得an+2=3an+1+2n+1, ...

象山区19761156809： 设数列 an 的前n项和为sn 并且满足2Sn=an^2+n,an>0(n为正整数).(1)求a1,a2,a3(2)猜想an的通项公式,并予以证明(3)设x>0,y>0,且x+y=1,证明根号... - ？
朝冰复合：[答案] 根据2Sn=an^2+n 得到2a1=a1^2+1 求得a1=1或a1=-1 又因为 an>0 所以a1=1 同理求得a2=2 a3=3 (2) 猜想an=n 证明 :因为 2Sn=an^2+n ……① 那么 2Sn-1=an-1^2+n-1 ……② ①-②得 2an=an^2-an-1^2+1 即(an-1)^2=an-1^2 因为an>0 两边同时...

象山区19761156809： 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=3+2an,求an - ？
朝冰复合： 解:由题意可得:Sn=3+2an 所以Sn-1=3+2an-1 所以Sn-Sn-1=an=2an-2an-1 所以an=2an-1 所以an/an-1=2 又S1=a1=3+2a1,解得a1=-3 所以数列{an}是以a1=-3为首项,公比为2的等比数列 所以an=-3*2^(n-1) (n≥1)

象山区19761156809： 已知数列{An}的前n项和为Sn,且满足An+2SnSn - 1 = 0(n大于等于2),A1 = 1/2 . - ？
朝冰复合： Sn-S(n-1)+2SnS(n-1)=0 所以[S(n-1)-Sn]/SnS(n-1)=2=1/Sn-1/S(n-1) 所以{1/Sn}为等差数列,所以1/Sn=1/S1+2(n-1)=2n 即Sn=1/2n,

象山区19761156809： 若等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn/S2n为常数,则称该数列为S数列 若首项为a1的各项为正数的等差数列{an}是S数列,设n+h=2008,(n,h为正数) 求1/... - ？
朝冰复合：[答案] 应该是2/1004^2*a1 因为Sn/S2n=k,(a1与d不同时为零) 于是有:当a1≠0,d=0时,sn=na1,s2n=2na1,则此时k=1/2 当a1与d都不为0时,sn=na1+dn(n-1)/2,s2n=2na1+2dn(2n-1)/2,由Sn/S2n=k可得[(d/2)-2kd]n+(a1-d/2+kd-2ka1)=0恒成立,于...

象山区19761156809： 已知数列an的前项和为sn,且满足sn+n=2an,证明数列an+1是等比数 - ？
朝冰复合：[答案] 证明 由 sn+n=2an 可得 S(n+1)+n+1=2a(n+1) a1=1 两式相减得 S(n+1)-Sn +1=2a(n+1)-2an 即a(n+1)+1=2a(n+1)-2an a(n+1)=2an+1 a(n+1)+1=2(an+1) a(n+1)+1/(an+1)=2 数列﹛an+1﹜是公比为2的等比数列