数学公式的欧氏平面几何
不光针对平面
欧几里得几何,简称“欧氏几何”。几何学的一门分科。公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得把人们公认的一些几何知识作为定义和公理，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。在其公理体系中，最重要的是平行公理，由于对这一公理的不同认识，导致非欧几何的产生。按所讨论的图形在平面上或空间中，分别称为“平面几何”与“立体几何”。
欧几里德的《几何原本》，一开始欧几里德就给出了23个定义，5个公设，5个公理。其实他说的公设就是我们后来所说的公理，他的公理是一些计算和证明用到的方法（如公理1：等于同一个量的量相等，公理5：整体大于局部等）他给出的5个公设倒是和几何学非常紧密的，也就是后来我们教科书中的公理。分别是：公设1：任意一点到另外任意一点可以画直线公设2：一条有限线段可以继续延长公设3：以任意点为心及任意的距离可以画圆公设4：凡直角都彼此相等公设5：同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角和小于二直角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交。在这五个公设理里，欧几里德并没有幼稚地假定定义的存在和彼此相容。亚里士多德就指出，头三个公设说的是可以构造线和圆，所以他是对两件东西存在性的声明。事实上欧几里德用这种构造法证明很多命题。第五个公设非常啰嗦，没有前四个简洁好懂。声明的也不是存在的东西，而是欧几里德自己想的东西。这就足以说明他的天才。从欧几里德提出这个公理到1800年这大约2100年的时间里虽然人们没有怀疑整个体系的正确性，但是对这个第五公设却一直耿耿于怀。很多数学家想把这个公设从这个体系中去掉，但是几经努力而无果，无法从其他公设中推导出第五公设。同时数学家们也注意到了这个公设既是对平行概念的论述（故称之为平行公理）也是对三角形内角和的论述（即内角和公理）。高斯对这一点是非常明白的，他认为欧几里德几何是物质空间的几何，1799年他给他的朋友的一封信中表现了他相信平行公理不能从其他的公设中推导出来，他开始认真从事开发一个新的能够应用的几何。1813年，他发展了他的几何，最初称为反欧氏几何，后称星空几何，最后称非欧几何。在他的几何中三角形内角可以大于180度。当然得到这样的几何不是高斯一人，历史上有三个人。一个是他的搭档，另一个是高斯的朋友的儿子独立发现的。其中一个有趣的问题是，非欧氏几何中过直线外一点的平行线可以无穷。不久之后，俄国的一位著名数学家也发现了一个新的非欧几何，即罗氏几何。他的三角形内角和是小于180度的。而19世纪初非欧式几何的发现，正是后来爱因斯坦发现广义相对论的基础。
1 过两点有且只有一条直线
2 两点之间线段最短
3 同角或等角的补角相等
4 同角或等角的余角相等
5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行
9 同位角相等，两直线平行
10 内错角相等，两直线平行
11 同旁内角互补，两直线平行
12两直线平行，同位角相等
13 两直线平行，内错角相等
14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理 三角形任意两边的和大于第三边
16 推论 三角形任意两边的差小于第三边
17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°
18 推论1 直角三角形的两个锐角互余
19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21 全等三角形的对应边、对应角相等
22边角边公理(sas) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
23 角边角公理( asa)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
24 边边边公理(sss) 有三边对应相等的两个三角形全等
25 斜边、直角边公理(hl) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
26 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
27 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上
28定理3 △ABC中，作∠A的角平分线交BC于D,此时AB:AC=BD:CD
29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）
31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）
35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半
38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形
43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上
44逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称
45勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2
46勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形
47角角边（aas）有两条边和其中一边的对角分别对应相等的两个三角形全等 48定理 四边形的内角和等于360°
49四边形的外角和等于360°
50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°
51推论 任意多边的外角和等于360°
52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等
53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等
54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等
55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分
56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形
59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形
60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角
61矩形性质定理2 矩形的对角线相等
62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形
63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形
64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等
65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
66菱形面积=对角线乘积的一半，即s=（a×b）÷2
67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形
68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等
70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的
72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称
74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等
75等腰梯形的两条对角线相等
76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
77对角线相等的梯形是等腰梯形
78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰
80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边
81三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半
82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 l=（a+b）÷2 s=l×h
83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d
84 (2)合比性质 如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d
85 (3)等比性质 如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么 (a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b
86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例
87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例
88 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边
89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例
90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似
91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（asa）
92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（sas）
94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（sss）
95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比
97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比
98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方
99任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值
100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值 101圆是定点的距离等于定长的点的集合
102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
104同圆或等圆的半径相等
105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆
106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线
107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线
108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线
109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。
110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
111推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等
113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
114定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等
115推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
118推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所 对的弦是直径
119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
120定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角
121①直线l和⊙o相交 d﹤r
②直线l和⊙o相切 d=r
③直线l和⊙o相离 d﹥r
122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径
124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
127圆的外切四边形的两组对边的和相等
128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
130相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等
131推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
133推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上
135①两圆外离 d﹥r+r ②两圆外切 d=r+r
③两圆相交 r-r﹤d﹤r+r(r﹥r)
④两圆内切 d=r-r(r﹥r) ⑤两圆内含d﹤r-r(r﹥r)
136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
137定理 把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
139正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°/n
140定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
141正n边形的面积sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长
142正三角形面积√3a²/4( a表示边长)
143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，
因此k×(n-2)180°/n=360°化为（n-2）(k-2)=4
144弧长计算公式：l=nπr/180
145扇形面积公式：s扇形=nπr2/360=lr/2
146内公切线长= d-(r-r) 外公切线长= d-(r+r)
147等腰三角形的两个底角相等
148等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合
149如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
150三条边都相等的三角形叫做等边三角形
151两边的平方的和等于第三边的平方的三角形是直角三角形
152.①直线L和⊙O相交d<r
②直线L和⊙O相切d=r
④两圆内切d=R-r(R>r)
如何理解欧式几何的公式?
1. 欧拉公式的特殊形式：e^iπ + 1 = 0。这个形式将五个基本的数学常数（e、i、π、1和0）联系在一起，被认为是非常美丽和奇妙的数学等式。2. 欧拉公式的一般形式：e^(ix) = cos(x) + i·sin(x)。这个形式将指数函数、三角函数和复数单位i联系在一起。它是欧拉公式的常见形式，可以在...
写出欧式看涨期权和看跌期权平价公式并给出证明
平价公式是根据无套利原则推导出来的。构造两个投资组合。1、看涨期权C，行权价K，距离到期时间T。现金账户Ke^(-rT)，利率r，期权到期时恰好变成K。2、看跌期权P，行权价K，距离到期时间T。标的物股票，现价S0。看到期时这两个投资组合的情况。1、股价St大于K：投资组合1，行使看涨期权C，花掉现金...
欧氏距离的公式是什么?
欧式距离计算公式是0ρ = sqrt( (x1-x2)^2+(y1-y2)^2 )。许多算法，无论是监督学习还是无监督学习，都会使用距离度量。这些度量，如欧几里得距离或者余弦相似性，经常在 k-NN、 UMAP、HDBSCAN 等算法中使用。了解距离度量这个领域可能比你想的更重要，以 k-NN 为例，它常被用于监督学习中。欧...
平方欧式距离
平方欧式距离计算公式是机器学习中最重要的距离度量之一。它不仅可以帮助我们分析数据，更为重要的是它可以被用于各种机器学习算法中，如K-最近邻算法、支持向量机等。平方欧式距离计算公式也是监督学习和无监督学习中最常用的距离度量之一。使用平方欧式距离计算法可以更好地测量数据点之间的距离和相似度，从...
支付红利的欧式期权平价公式
期权平价公式中认购-认沽期权平价公式是指分同一标的证券、到期日、行权价的欧式认购期权、认沽期权及标的证券价格间存在的确定性关系。期权平价公式:C+Ke^(-rT)=P+S假设标的证券在期权存续期间没有收益，认购-认沽期权平价关系即:认购期权价格与行权价的现值之和等于认沽期权的价格加上标的证券现价(c+...
蝴蝶模型基本公式是什么?
"蝴蝶定理"这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形象一只蝴蝶。1981年，Crux杂志刊登了K.萨蒂亚纳拉亚纳(Kesirajn Satyanarayana)用解析几何的一种比较简单的方法，利用直线束，二次曲线束。蝴蝶定理是古典欧式平面几何的最精彩的结果之一。这个定理的证法不胜枚举，至今仍然被数学热爱...
欧氏距离(Euclidean Distance)
欧氏距离是最易于理解的一种距离计算方法，源自欧氏空间中两点间的距离公式。(1)二维平面上两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的欧氏距离：(2)三维空间两点a(x1,y1,z1)与b(x2,y2,z2)间的欧氏距离：(3)两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与 b(x21,x22,…,x2n)间的欧氏距离：也可以用表示成向量...
好久没有学习了,忘了欧氏距离的公式,谁能告诉我
三维的公式是 d=sqrt(x1-x2)^+(y1-y2)^+z1-z2)^)推广到n维空间，欧式距离的公式是 d=sqrt( ∑(xi1-xi2)^ ) 这里i=1,2..n xi1表示第一个点的第i维坐标,xi2表示第二个点的第i维坐标 参考资料：http:\/\/zhidao.baidu.com\/question\/11207963.html ...
欧氏几何: 长方形面积公式是定理还是公设?
公理是自然规定常识性的理论，不推算就可以得出的，有些公理可能也不好证明。欧式几何里，公理是最基本的理论基础。长方形的面积公式不是公理。是有其它公理推演出来的，只能叫做定理。面积的公式要从面积的定义等等来推演，满烦躁的。所以一般都作为常识性的介绍。
欧式的距离是什么?
欧式距离指欧几里得距离，即欧几里得家发明的，因此要用“氏”而非“式”。二维的公式：d = sqrt((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)。三维的公式：d=sqrt(x1-x2)^2+(y1-y2)^2+(z1-z2)^2)，推广到n维空间。欧氏距离的公式：d=sqrt( ∑(xi1-xi2)^2 ) 这里i=1,2..n。xi1表示第一个点...
藏紫爱赛：[答案] 欧几里德的《几何原本》,一开始欧几里德就劈头盖脸地给出了23个定义,5个公设,5个公理.其实他说的公社就是我们后来所说的公理,他的公理是一些计算和证明用到的方法(如公理1:等于同一个量的量相等,公理5:整体大于局部等)他给出...
舟山市19579923859： 什么是欧氏定理? - ？
藏紫爱赛： 所谓的 欧式定理 应该就是 欧几里德几何的俗称吧欧几里德几何 ,简称“欧氏几何”.几何学的一门分科.公元前3世纪,古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理,在此基础上研究图形的性质,推导出一系列定理,组成演绎体系,写出《几何原本》,形成了欧氏几何.在其公理体系中,最重要的是平行公理,由于对这一公理的不同认识,导致非欧几何的产生.按所讨论的图形在平面上或空间中,分别称为“平面几何”与“立体几何”.
舟山市19579923859： 高中平面几何的重要公式定理? - ？
藏紫爱赛： 梅氏定理,欧拉线,塞瓦定理1、欧拉(Euler)线:同一三角形的垂心、重心、外心三点共线,这条直线称为三角形的欧拉线;且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半 2、九点圆: 任意三角形三边的中点,三高的垂足及三顶点与垂心...
舟山市19579923859： 欧式几何怎么做? - ？
藏紫爱赛： 欧式几何的传统描述是一个公理系统,通过有限的公理来证明所有的“真命题”. 欧式几何的五条公理是:1、任意两个点可以通过一条直线连接. 2、任意线段能无限延伸成一条直线. 3、给定任意线段,可以以其一个端点作为圆心,该...
舟山市19579923859： 什么叫做欧式几何命题? - ？
藏紫爱赛： 早在公元前300年,古希腊人欧几里德就写了一本名叫《几何学原理》的书,书中整理了大量希腊人的几何学发现, 特别是将那个时代的三大发明纳入这本书中.在其公理体系中,最重要的是平行公理,由于对这一公理的不同认识,导致非欧几何的产生.按所讨论的图形在平面上或空间中,分别称为“平面几何”与“立体几何”. 欧几里德收入的这些几何学理论直到今天仍对数学家们有很大的启发.
舟山市19579923859： 蝴蝶模型面积公式 ？
藏紫爱赛： 蝴蝶模型面积公式:DS/FS=DE/FC.蝴蝶定理(Butterfly Theorem),是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一.这个命题最早出现在1815年,由W.G.霍纳提出证明.而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号,题目的图形像一只蝴蝶.这个定理的证法不胜枚举,至今仍然被数学爱好者研究,在考试中时有各种变形.
舟山市19579923859： 什么是欧几里德几何?什么是黎曼几何? - ？
藏紫爱赛： 1.简称“欧氏几何”.几何学的一门分科.公元前3世纪,古希腊数学家欧几里得把人们公认的一些几何知识作为定义和公理,在此基础上研究图形的性质,推导出一系列定理,组成演绎体系,写出《几何原本》,形成了欧氏几何.在其公理体...
舟山市19579923859： cosa公式余弦定理 ？
藏紫爱赛： cosa公式余弦定理:cosC=(a2+b2-c2)/ab,cosB=(a2+c2-b2)/ac,cosA=(c2+b2-a2)/bc,三角形余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理,直接运用它可解决一类已知三角...
舟山市19579923859： 谁能告诉我欧几里得的《几何原本》里的23个定义,5条公设,5条公理? - ？
藏紫爱赛： 注:《几何原本》中有“公设”与“公理”之分,近代数学对此不再区分,都称“公理”. 23条定义 1. 点是没有部分的东西 2.线只有长度而没有宽度 3.一线的两端是点 4.直线是它上面的点一样地平放着的线 5.面只有长度和宽度 6.面的边缘是线 ...
舟山市19579923859： 数学:平面几何的五大公理和现在所有的几何类型 - ？
藏紫爱赛： 公设1:任意一点到另外任意一点可以画直线 公设2:一条有限线段可以继续延长 公设3:以任意点为心及任意的距离可以画圆 公设4:凡直角都彼此相等 公设5:同平面内一条直线和另外两条直线相交,若在某一侧的两个内角和小于二直角的和,则这二直线经无限延长后在这一侧相交.几何类型:欧式几何(平面及空间)、非欧几何(罗巴切夫几何)、解析几何、微分几何、黎曼几何、分形几何.
