设数列an的前n项和为Sn,且2an=Sn+2n+1 求a1 a2 a3 求证:数列{an+2}是等比数列 求数列{n*an}的前n项和Tn
由2an=Sn+2n+1
2a(n-1)=S(n-1)+2(n-1)+1,得:
an-2a(n-1)=2 (n>1)…… ①
1. 令n=1,可得:a1=3.
带入①式,易得:a2=9,a3=20;
2. ①式即为an+2=2[a(n-1)+2],故有:
(an+2)/[a(n-1)+2] =2,所以an+2是公比为2的等比数列。
3. 由上式可求的n*an的通项,再求Tn即可
n≥2时,an=Sn-S(n-1)=2an-a1-[2a(n-1)-a1]
an=2a(n-1)
an/a(n-1)=2,为定值
a2=2a1,a3=2a2=4a1
a1、a2+1、a3成等差数列,则
2(a2+1)=a1+a3
2(2a1+1)=a1+4a1
a1=2
数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列
an=2·2ⁿ⁻¹=2ⁿ
数列{an}的通项公式为an=2ⁿ
2an=Sn+2n+1
2a(n+1)=S(n+1)+2(n+1)+1
相减得
2a(n+1)-2an=a(n+1)+2
a(n+1)=2an+2
a2=2a1+2=6+2=8
a3=2a2+2=16+2=18
a(n+1)=2an+2
两边同时加2得
a(n+1)+2=2an+4
a(n+1)+2=2(an+2)
[a(n+1)+2]/(an+2)=2
所以 an+2为首项为a1+2=3+2=5
公比为2的等比数列
an+2=3*2^(n-1)
an=5*2^(n-1)-2
n*an=5n2^(n-1)-2n
分成两个数列
Tn=5[1*1+2*2+3*2^2+…+(n-1)*2^(n-2)+n*2^(n-1)]-2(1+2+3+…+n)①
2Tn=5[1*2+2*2^2+3*2^3+…+(n-1)*2^(n-1)+n*2^n]-4(1+2+3+…+n)②
①-②得,-Tn=5[1+2+2^2+…+2^(n-1)-n*2^n]+2(1+2+3+…+n)
=5(2^n-1-n*2^n)+n(n+1)
=5(1-n)2^n+n^2+n-5
Tn=5(n-1)2^n-n^2-n+5
因S1=a1,将n=1代入2an=Sn+2n+1中,得
2a1=a1+2*1+1,得a1=3
将n=2代入2an=Sn+2n+1中,得
2a2=(3+a2)+2*2+1,得a2=8
将n=3代入2an=Sn+2n+1中,得
2a3=(3+8+a3)+2*3+1,得a3=18
第二问:
由2an=Sn+2n+1,得Sn=2an-2n-1
因Sn=a1+a2+a3+.....+a(n-1)+an
则有Sn=a1+a2+a3+.....+a(n-1)+an=2an-2n-1
得S(n-1)=an-2n-1
将n-1代入2an=Sn+2n+1中,得S(n-1)=2a(n-1)-2n+1
所以an-2n-1=2a(n-1)-2n+1
整理,得an=2a(n-1)+2
两边加2,得an+2=2a(n-1)+4=2(a(n-1)+2)
所以[an+2]/[a(n-1)+2]=2
即an+2是公比为2的等比数列。
先做到这,我还有事,希望以上两解对你有帮助,第三问你自己能做了吧。
由2an=Sn+2n+1
2a(n-1)=S(n-1)+2(n-1)+1,得:
an-2a(n-1)=2 (n>1)…… ①
1. 令n=1,可得:a1=3.
带入①式,易得:a2=9,a3=20;
2. ①式即为an+2=2[a(n-1)+2],故有:
(an+2)/[a(n-1)+2] =2,所以an+2是公比为2的等比数列。
3. 由上式可求的n*an的通项,再求Tn即可
由2an=Sn+2n+1
2a(n-1)=S(n-1)+2(n-1)+1,得:
an-2a(n-1)=2 (n>1)……A
1. 当n=1时,a1=3.
带入A式,a2=9,a3=20;
2. A式即为an+2=2[a(n-1)+2],所以:
(an+2)除以[a(n-1)+2] =2,所以an+2是公比为2的等比数列。
3. 由上式可求的n*an的通项,再求Tn即可
a1、a2、a3很好求不解释,直接给答案。
a1=3、a2=8、a3=18
2An=Sn+2n+1
2A(n-1)=S(n-1)+2(n-1)+1
两式相减得:An=2A(n-1)+2
也就是(An+2)=2(A(n-1)+2)
也就是说,数列{An+2}是首项为5,公比为2的等比数列
An=5*2^(n-1)-2
设Cn=n*An
所以Cn=5n*2^(n-1)-2n
Tn=5[1*1+2*2+3*2^2+…+(n-1)*2^(n-2)+n*2^(n-1)]-2(1+2+3+…+n)①
2Tn=5[1*2+2*2^2+3*2^3+…+(n-1)*2^(n-1)+n*2^n]-4(1+2+3+…+n)②
①-②得,-Tn=5[1+2+2^2+…+2^(n-1)-n*2^n]+2(1+2+3+…+n)
=5(2^n-1-n*2^n)+n(n+1)
=5(1-n)2^n+n^2+n-5
Tn=5(n-1)2^n-n^2-n+5
结束了……
已知数列{An}的前n项的和为sn=1\/4n的平方+2\/3n+3,求这个数列的通项公式...
Sn=1\/(4*n^2)+2\/3n+3 S(n-1)=1\/[(4*(n-1)^2]+2\/[3(n-1)]+3 An=Sn-S(n-1)=1\/(4*n^2)-1\/[(4*(n-1)^2]+2\/3n-2\/3(n-1)=1\/4 * [ 1\/n^2 - 1\/(n-1)^2 ] + 2\/3n - 2\/3(n-1)=1\/4 * (1\/n)^2 - [1\/(n-1)]^2 +2\/3 * [1\/n-...
数列An的前n项和等于前n项的积,其中首项为A1。求通项?
a(n+1) = s(n+1) -s(n)所以s(n+1) =(s(n+1) -s(n))s(n)两边除以s(n)s(n+1)得到1\/s(n) = 1 - 1\/s(n+1)记1\/s(n)=bn 则可用待定系数法求出bn
已知数列{an}的前n项的和为Sn,且a1=1,na(n+1)=(n+2)Sn,n属于N*.求证...
1. na(n+1)=n[S(n+1)-Sn]=(n+2)Sn nS(n+1)=2(n+1)Sn S(n+1)\/(n+1)=2*Sn\/n 所以{Sn\/n}是公比为2的等比数列 2. S1\/1=a1=1 所以Sn\/n=2^(n-1)Sn=n*2^(n-1)所以na(n+1)=(n+2)*n*2^(n-1)a(n+1)=(n+2)*2^(n-1)an=(n+1)*2^(n-2)3. b...
已知Sn是首项为a的等比数列{an}的前n项的和,S3,S9,S6成等差数列
Sn是首项为a的等比数列{an}的前n项的和,则Sn=a(1-q^n)\/(1-q)S3,S9,S6成等差数列,则S9-S3=S6-S9 即a[(1-q^9)-(1-q^3)]\/(1-q)=a[(1-q^6)-(1-q^9)]\/(1-q),q^3-q^9=q^9-q^6,所以q-q^7=q^7-q^4,aq-aq^7=aq^7-aq^4,a2-a8=a8-a5 所以a2,a8,a5...
已知等比数列{ an},如何求前n项和。
(1)1\/n(n 1)=1\/n-1\/(n 1)(2)1\/(2n-1)(2n 1)=1\/2[1\/(2n-1)-1\/(2n 1)](3)1\/n(n 1)(n 2)=1\/2[1\/n(n 1)-1\/(n 1)(n 2)](4)1\/(√a √b)=[1\/(a-b)](√a-√b)(5)n·n!=(n 1)!-n![例]求数列an=1\/n(n 1)的前n项和.解:设 an...
等比数列推导an的前n项和公式
an = a1q^(n-1)Sn = a1.q^0+a1q^1+...+a1.q^(n-1) (1)qSn = a1.q^1+a1q^2+...+a1.q^n (2)(1)-(2)(1-q)Sn = a1(1-q^n)Sn =a1(1-q^n)\/(1-q)
设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,已知2a2=a1+a3,数列{根号Sn}...
√Sn=√S1+2(n-1)=2+2(n-1)=2n Sn=4n² Sn-1=4(n-1)²an=Sn-Sn-1=4n²-4(n-1)²=8n-4 n=1时,a1=8-4=4,同样满足。数列{an}的通项公式为an=8n-4。2、an\/2^n=(8n-4)\/2^n=8n\/2^n-4\/2^n Tn=a1\/2^1+a2\/2^2+...+an\/2^n =...
已知{an}的前n项和为Sn=n²+2n+1,求{an}的通项公式
当 n = 1 时,a1 = S1 = 1+2+1 = 4 ;当 n ≥ 2 时,an = Sn-S(n-1) = (n^2+2n+1)-[(n-1)^2+2(n-1)+1] = 2n+1 ,因此数列通项公式为 an = { 4 (n =1) ;2n+1 (n ≥2) 。(分段的,写成两行)...
已知sn是数列an的前n项和,a1=1,Sn=n^2*an,求数列an的通项公式
由①-②得:an=n²·an-(n-1)²·a(n-1)(n²-1)·an=(n-1)²·a(n-1)得an\/a(n-1)=(n-1)\/(n+1)故a2\/a1=1\/3 a3\/a2=2\/4 a4\/a3=3\/5 ………an\/a(n-1)=(n-1)\/(n+1)上面几式相乘得:an\/a1=2\/[n(n+1)]a1=1代入得:an=2\/[n\/(n...
已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且4an-2Sn=1,数列{bn}满足bn...
(1)易得a1= 1 2 .…(1分)当n≥2时,4an-2Sn=1,…① 4an-1-2Sn-1=1…② ①-②,得4an-4an-1-2an=0⇒an=2an-1.∴ an an-1 =2(n≥2).∴数列{an}是以a1= 1 2 为首项,2为公比的等比数列.∴an=2n-2.…(4分)从而bn=4-2n,其前n项和Tn=-n2+3n…(6分)(2...
佟贸小眉: a1=S1=2a1-1,a1=1 Sn=2an-1,S(n+1)=2a(n+1)-1,a(n+1)=S(n+1)-Sn=2a(n+1)-2an,a(n+1)=2an,an是以1为首项,2为公比的等比数列;an=2^(n-1)
壤塘县13022115907: 设数列{an}的前n项和为sn,且sn=2an - 2∧n,n∈N*求(1)a1,a4.(2)证明{a - ?
佟贸小眉: a(1)=s(1)=2a(1)-2, a(1)=2. s(n) = 2a(n) - 2^n, s(n+1) = 2a(n+1) - 2^(n+1), a(n+1) = s(n+1) - s(n) = 2a(n+1) - 2^(n+1) - 2a(n) + 2^n,a(n+1) - 2a(n) = 2^n, {a(n+1)-2a(n)}是首项为a(2)-2a(1)=2,公比为2的等比数列.a(n+1) = 2a(n) + 2^n, a(n+1)/2^n = ...
壤塘县13022115907: 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an - 1,求数列{an}的通项公式. - ?
佟贸小眉: 已知数列{a‹n›}的前n项和为S‹n›,且S‹n›=2a‹n›-1 求数列{a‹n›}的通项公式. 解:S₁=a₁=2a₁-1;∴a₁=1. S₂=a₁+a₂=2a₂-1;∴a₂=a₁+1=2; S₃=S₂+a₃=1+2+a₃=2a₃-1;∴a₃=4; S₄=S₃+a₄=1+2+4+a₄=2a₄-1;∴a₄...
壤塘县13022115907: 设数列{an}前n项和为Sn,已知a1+2a2+3a3+...+nan=(n - 1)Sn+2n, - ?
佟贸小眉: a1=2, a1+2a2=a1+a2+4 a2=4 a1+2a2+3a3=2(a1+a2+a3)+6 10+3a3=12+2a3+6 a3=8 (a1+a2+a3+.....+an)+(a2+a3+......+an)+......+an=sn+(sn-s1)+(sn-s2)+.....+(sn-s(n-1)) n*sn-(s1+s2+...+s(n-1))=(n-1)sn+2n sn=(s1+s2+......+s(n-1))+2n s(n+1)=(s1+...
壤塘县13022115907: 设数列an的前n项和Sn.且Sn=2an - 2,n属于正整数, (1)求数列an的通项公式,(2)设cn=n/an,求数列的前n项和Tn - ?
佟贸小眉: ^1,S1=a1=2a1-2 a1=2 Sn=2an-2 (1) S(n+1)=2a(n+1)-2 (2) (2)-(1):a(n+1)=2a(n+1)-an a(n+1)=2an 所以,{an}是首项为2、公比为2的等比数列.an=2^n(n=1,2,3,……)2,cn=n/2^n Tn=1/2+2/2^2+3/2^3+…+n/2^n (3) (3)/2:Tn/2=1/2^2+2/2^3+3/2^4+…+n/2^(n+1) (4) (3)-(4):Tn/2=1/2+1/2^2+1/2^3+…+1/2^n-n/2^(n+1)=1-1/2^n-n/2^(n+1) Tn=2-1/2^(n-1)-n/2^n(n=1,2,3,……)
壤塘县13022115907: 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2an - 1(n∈N*).(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)记bn=an - n(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn. - ?
佟贸小眉:[答案] (Ⅰ)∵Sn=2an-1, 令n=1,解得a1=1.(2分) ∵Sn=2an-1, ∴Sn−1=2an−1−1,(n≥2,n∈N*)…(3分) 两式相减得an=2an-1,…(5分) ∴{an}是首项为1,公比为2的等比数列,…(6分) ∴an=2n−1.…(7分) (Ⅱ)∵bn=an-n,an=2n−1, bn=2n−1−n…(8分) ...
壤塘县13022115907: 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an - n(n∈N*)1.求证数列{an+1}是等比数列 - ?
佟贸小眉: sn=2an-n s<n-1>=2a<n-1>-2n+1 sn-s<n-1>=an=2an-2a<n-1>-1 an+1=2a<n-1>+2 s<n+1>=2a<n+1>-n-1 s<n+1>-sn=a<n+1>=2a<n+1>-2an-1 a<n+1>+1=2an+2 (an+1)/(a<n+1>+1)=(2a<n-1>+2)/(2an+2)=(a<n-1>+1)/(an+1) 所以数列{an+1}是等比...
壤塘县13022115907: 已知数列an前n项和为sn,且Sn=2an - n - ?
佟贸小眉: a1=2a1-1 a1=1 Sn=2an-n Sn-1=2a(n-1)-(n-1) Sn-Sn-1=an=2an-n-2a(n-1)+(n-1)=2an-2a(n-1)-1 所以an=2a(n-1)+1 an+1=2[a(n-1)+1] 所以数列an+1为等比数列 公比为2 又a1+1=2 所以,an+1=2^n an=2^n-1 手打辛苦,请采纳
壤塘县13022115907: 设数列{an}的前n项和为sn,且2an=sn+2n+1 求数列{n*an}的前n项和Tn - ?
佟贸小眉: Sn=2an-2n-1 S(n-1)=2a(n-1)-2(n-1)-1=2a(n-1)-2n+1 所以an=Sn-S(n-1)=2an-2a(n-1)-2 即an=2a(n-1)+2 an+2=2(a(n-1)+2) 又a1=S1=2a1-3,即a1=3 所以{an+2}为首项为a1+2=5,公比为2的等比数列 an+2=5*2^(n-1),即an=5*2^(n-1)-2 Tn=5[1*1+...
壤塘县13022115907: 已知数列{an}的前n项和为Sn且满足Sn=2an - n(n1求a1.a2.a3.2求证数列{an+1}是等比数列. - ?
佟贸小眉:[答案] 1s1=a1=2a1-1a1=1s2=a1+a2=2a2-2a2=3s3=a1+a2+a3=2a3-3a3=72Sn=2an-nS(n-1)=2a(n-1)-(n-1)Sn-S(n-1)=an=2an-n-[2a(n-1)-(n-1)]an=2a(n-1)+1an+1=2[a(n-1)+1](an+1)/[a(n-1)+1]=2得证