已知Sn是首项为a的等比数列{an}的前n项的和,S3,S9,S6成等差数列

已知Sn是等比数列｛an｝的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，求证a2，a8，a5成等差数列。~

证明：
由Sn是等比数列｛an｝的前n项和，S3，S9，S6成等差数列（已知）可得
2* S9=S3+S6
设首项为a1,公比为q，
当q≠1时
等比数列的求和公式为：Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)
则2*(a1-a9×q)/(1-q)= (a1-a3×q)/(1-q)+ (a1-a6×q)/(1-q)
两边同乘1-q，上式可化简为
2*a9= a3+ a6
两边同除以q，上式可化简为
2*a8= a2+ a5
即：a2，a8，a5成等差数列
当q=1时
a1=a2=a3=a4=…=an
那么a2，a8，a5成公差为0的等差数列

解： 因为 an是等比数列
又因为 S3,S9，S6成等差数列
所以 2S9=S3+S6
（1）当q=1时，S3=3a1，S6=6a1，s9=9a1
因为 18a1不等于3a1+6a1
所以 q不等于1
（2）当q不等于1时，
S3= a1(1-q^3)/1-q
S6=a1(1-q^6)/1-q
S9=a1(1-q^9)/1-q
所以 a1(1-q^3)/1-q + a1(1-q^6)/1-q = 2a1(1-q^9)/1-q
即 a1q^3+a1q^6=2a1q^9
即 1+q^3=2q^6
令 q^3为x
则 2x^2-x-1=0
解得： （x-1）（2x+1）=0
即 x=1 或x= - 1/2
即 q^3=1(舍）或q^3= -1/2
所以 q^3= -1/2

Sn是首项为a的等比数列{an}的前n项的和,则Sn=a(1-q^n)/(1-q)
S3,S9,S6成等差数列,则S9-S3=S6-S9
即a[(1-q^9)-(1-q^3)]/(1-q)=a[(1-q^6)-(1-q^9)]/(1-q),q^3-q^9=q^9-q^6,
所以q-q^7=q^7-q^4,aq-aq^7=aq^7-aq^4,a2-a8=a8-a5
所以a2,a8,a5成等差数列

由上面推算过程可知1-q^6=q^6-q^3,2q^6-q^3-1=0,(2q^3+1)(q^3-1)=0,q^3=1或q^3=-1/2
Tn=a1+2a4+3a7+...+na(3n-2)=a[1+2q^3+3q^6+...+nq^(3n-3)]
当q^3=1,则q=1，Tn=a(1+2+3+..+n)=a(n+1)n/2
当q^3=-1/2,则Tn=a[1+2q^3+3q^6+...+nq^(3n-3)]
=a{[1+q^3+q^6+...+q^(3n-3)]+a[q^3+q^6+..+q^(3n-3)]+...+a[q^(3n-6)+q^(3n-3)]+aq^(3n-3)
=a[1-q^(3n)]/(1-q^3)+aq^3[1-q^(3n-3)]/(1-q^3)+..+aq^(3n-6)(1-q^6)/(1-q^3)+aq^(3n-3)(1-q^3)/(1-q^3)
=a{1-q^(3n)+q^3[1-q^(3n-3)]+...+q^(3n-6)(1-q^6)+q^(3n-3)(1-q^3)}/(1-q^3)
=a[1+q^3+q^6+...+q^(3n-6)+q^(3n-3)-nq^(3n)]/(1-q^3)
=a[1-q^(3n)]/(1-q^3)^2-naq^(3n)/(1-q^3)
=4a[1-(-1/2)^n]/9-2na(-1/2)^n/3

Sn是首项为a的等比数列{an}的前n项的和,则Sn=a(1-q^n)/(1-q)
S3,S9,S6成等差数列,则S9-S3=S6-S9
即a[(1-q^9)-(1-q^3)]/(1-q)=a[(1-q^6)-(1-q^9)]/(1-q),q^3-q^9=q^9-q^6,
所以q-q^7=q^7-q^4,aq-aq^7=aq^7-aq^4,a2-a8=a8-a5
所以a2,a8,a5成等差数列

由上面推算过程可知1-q^6=q^6-q^3,2q^6-q^3-1=0,(2q^3+1)(q^3-1)=0,q^3=1或q^3=-1/2
Tn=a1+2a4+3a7+...+na(3n-2)=a[1+2q^3+3q^6+...+nq^(3n-3)]
当q^3=1,则q=1，Tn=a(1+2+3+..+n)=a(n+1)n/2
当q^3=-1/2,则Tn=a[1+2q^3+3q^6+...+nq^(3n-3)]
=a{[1+q^3+q^6+...+q^(3n-3)]+a[q^3+q^6+..+q^(3n-3)]+...+a[q^(3n-6)+q^(3n-3)]+aq^(3n-3)
=a[1-q^(3n)]/(1-q^3)+aq^3[1-q^(3n-3)]/(1-q^3)+..+aq^(3n-6)(1-q^6)/(1-q^3)+aq^(3n-3)(1-q^3)/(1-q^3)
=a{1-q^(3n)+q^3[1-q^(3n-3)]+...+q^(3n-6)(1-q^6)+q^(3n-3)(1-q^3)}/(1-q^3)
=a[1+q^3+q^6+...+q^(3n-6)+q^(3n-3)-nq^(3n)]/(1-q^3)
=a[1-q^(3n)]/(1-q^3)^2-naq^(3n)/(1-q^3)
=4a[1-(-1/2)^n]/9-2na(-1/2)^n/3

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临城县13639021175： 已知Sn是首项为a的等比数列{an}的前n项的和,S3,S9,S6成等差数列 - ？
干轰小儿： Sn是首项为a的等比数列{an}的前n项的和,则Sn=a(1-q^n)/(1-q) S3,S9,S6成等差数列,则S9-S3=S6-S9 即a[(1-q^9)-(1-q^3)]/(1-q)=a[(1-q^6)-(1-q^9)]/(1-q),q^3-q^9=q^9-q^6,所以q-q^7=q^7-q^4,aq-aq^7=aq^7-aq^4,a2-a8=a8-a5 所以a2,a8,a5成等...

临城县13639021175： 已知Sn是首项为a的等比数列{an}的前n项和,S3,S9,S6成等差数列？
干轰小儿： 1)因为an=a*q;Sn=a*(1-q^n)/(1-q);S3=a*(1-q^3)/(1-q);S6=a*(1-q^6)/(1-q);S9=a*(1-q^9)/(1-q); 2*S9=S3+S6;约去公约数a/(1-q)得 2*(1-q^9)=(1-q^3)+(1-q^6) 2*(1-q^3)(1+q^3+q^6)=(1-q^3)+(1-q^3)(1+q^3) 所以 2*(1+q^3+q^6)=1+1+q^3 所以 q^3= -0...

临城县13639021175： 已知数列{an}是首项为a,且公比q不等于1的等比数列.Sn是前项的和,a1,2a7,3a4成等差数列.<1>证明 12S3,S6.S12 - S6成等差数列:<2>Tn=a1+2a4+3a7+.... - ？
干轰小儿：[答案] 基本思路: 由于数列{an}是等比数列,a1,2a7,3a4成等差数列.列出公式可以得到q的立方等于1或者-1/4.取消1得到q.把q和a看作是已知的定值,代入两个需要证明的数列中就可以得到需要计算的结果了.

临城县13639021175： 已知数列{An}是首项为a且公比q不等于1得等比数列,Sn是其前n项和,A1,2A7,3A4成等差数列.(1)证明,12S3,S6,S12 - S6成等差数列(2)求和:Tn=A1+... - ？
干轰小儿：[答案] An=A1*q^(n-1),2*2A7=A1+3A4得4A1*q^6=A1+3A1*q^3,所以 4q^6=1+3q^3,设q^3=t,则4t^2-3t-1=0,得t=-1/4或1(舍弃), 即q^3=-1/4,之后.不想写了,不好意思

临城县13639021175： 已知数列{an},an>0,它的前n项和记为sn,{an}是一个首项为a,公比为q(q>0)的等比数列 - ？
干轰小儿： 首先要观察到Gn是等比数列的和,其首项为a1^2,公比为q^2.等比数列的前n项和Sn=a1(1-q^n)/(1-q) 则limGn/Sn=lim (a1^2(1-q^2n)(1-q))/(a1(1-q^n)(1-q^2))=lim (a1(1+q^n))/(1+q) 当|q|>=1时,极限不存在;当|q|<1时,极限为a1/(1+q)

临城县13639021175： 已知数列{an} 的是一个各项为正数的等比数列,Sn为它的前n项和 - ？
干轰小儿： 设数列{An}首项为a,公比为q Sn=a(1-q^n)/(1-q) 数列{1/An}前n项和为Sn',首项为1/a,公比1/q Sn'=1/a*(1-(1/q)^n)/(1-(1/q))=q(1-(1/q^n))/a(q-1) Pn=A1A2A3……An =a^n*q^(0+1+2+……+n-1) =a^n*q^(n(n-1)/2) Sn/Sn'=[a(1-q^n)/(1-q)]÷[q(1-(1/q^n))/a(q-1)] 化简得 Sn/Sn'=a^2*q^(n-1) (Sn/Sn')^(n/2)=[a^2*q^(n-1)]^(n/2) =a^n*q^(n(n-1)/2) =Pn

临城县13639021175： 已知数列an是首项为a 且公比q不等于一1的等比数列 sn是其前n项和 a1 2a7 3a4成等差数列已证得12s3 s6 s12 - s6成等比数列,求和 Tn=a1+2a4+3a7+…+na(... - ？
干轰小儿：[答案] a1,a7,a4成等差数列 2a7=a1+a4 2a1q^6=a1+a1q^3 2q^6=1+q^3 2q^6-q^3-1=(2q^3+1)(q^3-1)=0 因为公比Q不等于1, 所以,q^3=-1/2, 2S3*(S12-S6) =2a1(1-q^3)/(1-q)*[a1(1-q^12)/(1-q)-a1(1-q^6)/(1-q)] =2a1(1+1/2)/(1-q)*[a1(1-1/16)/(1-q)-a1(1-1/4)/(1-...

临城县13639021175： 关于“数列”的一些问题已知数列{AN}是首项为A,且公比Q不等于1的等比数列,SN是前N项和,A1,2A7,3A4,成等差数列(1)证明12S3,S6,S12 - S6成等... - ？
干轰小儿：[答案] 4a7=a1+3a4 4a1*q^6=a1+3a1*q^3 4q^6=1+3q^3 4q^6-3q^3-1=0 (q^3-1)(4q^3+1)=0 q^3=-1/4 Sn=[a1(1-q^n)]/(1-q) S6/12S3=(1-q^6)/12(1-q^3)=(1-1/16)/12[1-(-1/4)]=1/16 (S12-S6)/S6=[(1-q^12)-(1-q^6)]/(1-q^6)=[1-1...

临城县13639021175： 已知数列an是首项为a且公比q不等于1的等比数列,Sn是其前n项和,a1,2a7,3a4成等差数列.1、证明12*S3、S6、S12 - S6成等比数列2、求和:Tn=a1+2a4+... - ？
干轰小儿：[答案] a1,a7,a4成等差数列 2a7=a1+a4 2a1q^6=a1+a1q^3 2q^6=1+q^3 2q^6-q^3-1=(2q^3+1)(q^3-1)=0 因为公比Q不等于1, 所以,q^3=-1/2, 2S3*(S12-S6) =2a1(1-q^3)/(1-q)*[a1(1-q^12)/(1-q)-a1(1-q^6)/(1-q)] =2a1(1+1/2)/(1-q)*[a1(1-1/16)/(1-q)-a1(1-1/4)/(1-...

临城县13639021175： 已知数列an是首项为a 且公比q不等于一1的等比数列 sn是其前n项和 a1 2a7 3a4成等差数列 - ？
干轰小儿： a1,a7,a4成等差数列2a7=a1+a42a1q^6=a1+a1q^32q^6=1+q^32q^6-q^3-1=(2q^3+1)(q^3-1)=0 因为公比Q不等于1,所以,q^3=-1/2,2S3*(S12-S6)=2a1(1-q^3)/(1-q)*[a1(1-q^12)/(1-q)-a1(1-q^6)/(1-q)]=2a1(1+1/2)/(1-q)*[a1(1-1/16)/(1-q)-a1(1-1/4)/(1-...