如何用定义求极限的问题

利用极限定义求极限的问题~

对任意ε>0，要使|(x^2-2x)/(x+2) - 3|<ε
即|(x^2-2x-3x-6)/(x+2)|<ε
也即|x+1|*|x-6|/|x+2|<ε
首先限定：-1.5<x<-0.5
即有：-7.5<x-6<-6.5；0.5<x+2<1.5
则，|x+1|*|x-6|/|x+2|<7.5*|x+1|/0.5=15*|x+1|<ε
那么，|x+1|<ε/15
因此，不妨就取δ=min{ε/15，0.5}，故有：
任意ε>0，存在δ>0，使当|x+1|<δ，都有|(x^2-2x)/(x+2) - 3|<ε成立
故由ε-δ定义得，x趋向-1时,lim(x^2-2x)/(x+2)=3

任给ε>0，因为ε可任意小，所以不妨设ε<1 当|x|<ε/2时，1/2<1+x<2 所以|y|<2|x|<ε 所以x趋于0时，y趋于0

用定义求数列（或者函数）极限问题，一般分为三个步骤，如果你严格按照这三个步骤来计算，那么解题思路就很清晰了。
1,首先作差，对任意ε，如果要使得|f(x)-A|<ε，
2,其次求出表达式，对绝对值化简：主要就是消去分子中的x。
得出x关于ε的表达式，
3，写出x的取值范围：具体问题具体分析：如果是趋于无穷大，存在X,则得到|x|>X=[g(ε)]
,如果是趋于某个值，比如a,则得到表达式|x|<a+δ=h(ε)+a的形式。
得出结论，存在某δ或者X，使得|f(x)-A|<ε.(所谓的存在逻辑上意思就是至少有一个满足条件)

极限的本质是对于任意小的ε，都能找到一个N，当n>N是，通项1/n-0的绝对值<ε
因此关键就是找出来那个和ε有关的N到底取什么，当然了，这个取法不唯一的
通项1/n-0的绝对值<ε这个不等式可以结出来n>1/ε，因此可以取N=[1/ε]（这个符号的意思是1/ε取整），这样就构造出N了，只要n>N，通项1/n-0的绝对值就能<ε

其实上面这就是定义的重现，意思就是，只要n足够大，通项1/n就可以和n做过接近，接近到什么程度呢？——1/n和0的距离，能比任意给定的ε还要小，只要n>N=[1/ε]

看你的^表示什么了
如果你的是平方
0<1/n^2<ε
两边求倒数，不等号反向
n^2>1/ε
n>1/根号ε
所以只需取
N=1/根号ε
即可得n>N时
|1/n^2-0|<ε
所以极限为0

如果你的^不是平方也没关系
如果是k次方，就开k次根
即1/n^k<ε
n^k>1/ε
n>1/k次根号ε
取N=1/k次根号ε即可

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九里区17534297765： 如何用定义求极限的问题例题是这样的.根据定义证明lim1/n^=0其实开始的步骤我差不多知道先是求1/n^ - 0的绝对值,因为n^大于0,所以就是1/n^ - ？
塞凝消咳：[答案] 用定义求数列(或者函数)极限问题,一般分为三个步骤,如果你严格按照这三个步骤来计算,那么解题思路就很清晰了. 1,首先作差,对任意ε,如果要使得|f(x)-A|X=[g(ε)] ,如果是趋于某个值,比如a,则得到表达式|x|

九里区17534297765： 函数极限用定义证明常用方法,还有极限的定义的解析也写写 - ？
塞凝消咳：[答案] 求函数极限,是求这个函数在某个过程中的极限值,包括两种: 一、当自变量x趋于一个定值x0时函数的极限 二、当自变量x趋于无穷大时函数的极限 它们的方法是不一样的. 一、如果是趋于一个定值的情况,首先如果极限存在,等于A,那么说明当x...

九里区17534297765： 用定义求极限n^(1/n)用ε - N定义求极限n^(1/n)→1当n→+∞时 最好写个过程给出N表达式 - ？
塞凝消咳：[答案] 对于任意ε>0, 存在N>0使得 当n>N时有ln(1+ε)>(lnn)/n (因为(lnn)/n单调递减) 那么 1+ε>n^(1/n) 又1-ε故 1-ε-ε|n^(1/n)-1|那么对于任意ε>0,存在N>0,使得当n>N时 |n^(1/n)-1|故lim (n->∞) n^(1/n)=1 注:这个N的值其实是反着求出来的.

九里区17534297765： 一个极限问题:求 lim 0.99999999(n个9)的极限是什么,用定义证明. - ？
塞凝消咳：[答案] 用严格的极限定义进行证明,如下 证明 0.999…9}n个9=1-0.1^n 任取一个正数ε,令 |1-0.1^n-1|=0.1^n即1/10^n10^n>1/ε z左右同时取log,得n>log(1/ε) 取N=[log(1/ε)]+1 则对于任意给出的一个正数ε都存在一个正数δ,使得n>N时 |1-0.1^n-1|命题得证

九里区17534297765： 利用极限定义求极限的问题用定义证明Lim (x+3) / (x^2 - 3x+2) 在x-->1时趋向于无穷大用定义证明A=1不是函数在点a= - 3时的极限,函数为 f(x)= (3+x) / (x^2 - 3x... - ？
塞凝消咳：[答案] 对任意ε>0,要使|(x^2-2x)/(x+2) - 3|

九里区17534297765： 用定义求极限 - ？
塞凝消咳： 对任意ε,存在M=㏒2(ε),对任意x

九里区17534297765： 请问如何用定义证明极限?？
塞凝消咳： 楼主,该问题应该属于基础概念部分.对于极限的问题分为两类:1.对数列而言 2.对函数而言 .而你所给的应该是对函数而言的.根据极限的定义可概括为:对于任意的M>0,(M可以取无穷大也可以无穷小),,使得当lx-x.l<M 成立.其几何意义为在x.的去心领域内的恒成立,收敛半径为M.

九里区17534297765： 如何利用极限的分析性定义证明极限问题 - ？
塞凝消咳：[答案] 1.指最大的限度.2.数学名词.在高等数学中,极限是一个重要的概念.极限可分为数列极限和函数极限,编辑本段数列极限定义:设|Xn|为一数列,如果存在常数a对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正整数N,使得当n>N...

九里区17534297765： 用定义法如何证明数列极限 - ？
塞凝消咳：该数列有极限的,极限为 1.证明如下:对任意ε>0,要使 |cos(1/n)-1| = |-2{sin[(1/n)/2]}^2]| < 2*[(1/n)/2]}^2 < 1/n^2 < 1/n< ...

九里区17534297765： 高数求极限的方法 - ？
塞凝消咳： 1、利用定义求极限: 例如:很多就不必写了! 2、利用柯西准则来求! 柯西准则:要使{xn}有极限的充要条件使任给ε>0,存在自然数N,使得当n>N时,对于 任意的自然数m有|xn-xm|<ε. 3、利用极限的运算性质及已知的极限来求! 如:lim(x+x...