各种形的面积和公式

各种形状物体的体积和面积的计算公式是什么？~

1. 长方形的周长=（长+宽）×2 正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽
2. 正方形的面积=边长×边长 三角形的面积=底×高÷2 平行四边形的面积=底×高
3. 梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径= 圆周率×半径×2
4. 圆的面积=圆周率×半径×半径 长方体的表面积= （长×宽+长×高＋宽×高）×2 长方体的体积 =长×宽×高
5. 正方体的表面积=棱长×棱长×6 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 圆柱的侧面积=底面圆的周长×高
6. 圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积 圆柱的体积=底面积×高 圆锥的体积=底面积×高÷3 长方体（正方体、圆柱体) 的体积=底面积×高
平面图形
名称 符号 周长C和面积S
正方形 a—边长 C＝4a
S＝a2
长方形 a和b－边长 C＝2(a+b) S＝ab
三角形 a,b,c－三边长
h－a边上的高 s－周长的一半 A,B,C－内角
其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2 ＝ab/2·sinC
＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 ＝a2sinBsinC/(2sinA)
四边形 d,D－对角线长
α－对角线夹角 S＝dD/2·sinα
平行四边形 a,b－边长
h－a边的高
α－两边夹角 S＝ah ＝absinα
菱形 a－边长
α－夹角
D－长对角线长
d－短对角线长 S＝Dd/2 ＝a2sinα
梯形 a和b－上、下底长
h－高
m－中位线长 S＝(a+b)h/2 ＝mh
圆 r－半径
d－直径 C＝πd＝2πr S＝πr2 ＝πd2/4
扇形 r—扇形半径
a—圆心角度数
C＝2r＋2πr×(a/360) S＝πr2×(a/360)
弓形 l－弧长
b－弦长 h－矢高 r－半径
α－圆心角的度数 S＝r2/2·(πα/180-sinα) ＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2 ＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2 ＝r(l-b)/2 + bh/2 ≈2bh/3
圆环 R－外圆半径
r－内圆半径 D－外圆直径
d－内圆直径 S＝π(R2-r2)
＝π(D2-d2)/4
椭圆 D－长轴
d－短轴 S＝πDd/4
立方图形
名称 符号 面积S和体积V
正方体 a－边长 S＝6a2
V＝a3
长方体 a－长
b－宽
c－高 S＝2(ab+ac+bc) V＝abc
棱柱 S－底面积
h－高 V＝Sh
棱锥 S－底面积
h－高 V＝Sh/3
棱台 S1和S2－上、下底面积
h－高 V＝h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3
拟柱体 S1－上底面积
S2－下底面积 S0－中截面积
h－高 V＝h(S1+S2+4S0)/6
圆柱 r－底半径
h－高
C—底面周长 S底—底面积 S侧—侧面积
S表—表面积 C＝2πr S底＝πr2 S侧＝Ch
S表＝Ch+2S底 V＝S底h ＝πr2h
空心圆柱 R－外圆半径

扇形公式

在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S=πR^2，所以圆心角为n°的扇形面积：

比如：半径为1cm的圆，那么所对圆心角为135°的扇形的周长：

C=2R+nπR÷180

=2×1+135×3.14×1÷180

=2+2.355

=4.355(cm)=43.55(mm)

扇形的面积：

S=nπR^2÷360

=135×3.14×1×1÷360

=1.1775(cm^2)=117.75(mm^2)

扇形还有另一个面积公式

其中l为弧长，R为半径 [1] 

扇环面积

圆环周长:外圆的周长+内圆的周长(圆周率X(大直径+小直径))

圆环面积:外圆面积-内圆面积(圆周率X大半径的平方-圆周率X小半径的平方\圆周率X(大半径的平方-小半径的平方)

用字母表示：

S内+S外（πR方）

S外—S内=π(R方-r方）

还有第二种方法：

S=π[(R-r)×(R+r)]

R=大圆半径

r=圆环宽度=大圆半径-小圆半径

还有一种方法：

已知圆环的外直径为D，圆环厚度（即外内半径之差）为d。

d=R-r，

D-d=2R-（R-r）=R+r，

可由第一、二种方法推得 S=π[(R-r)×(R+r)]=π(D-d)×d，

圆环面积S=π(D-d)×d

这是根据外直径和圆环厚度（即外内半径之差）得出面积。这两个数据在现实易于测量，适用于计算实物，例如圆钢管。 

三角形公式

海伦公式

任意三角形的面积公式（海伦公式）：S^2=p(p-a)(p-b)(p-c), p=（a+b+c）/2, a.b.c为三角形三边。

证明： 证一 勾股定理

分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。

证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得: x = y = ha = = = ∴ S△ABC = aha= a× = 此时S△ABC为变形④，故得证。

证二：斯氏定理

分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。

斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D， 若BD=u，DC=v,AD=t.则 t 2 = 证明：由证一可知，u = v = ∴ ha 2 = t 2 = － ∴ S△ABC = aha = a × = 此时为S△ABC的变形⑤，故得证。

证三：余弦定理

分析：由变形② S = 可知，运用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 对其进行证明。

证明：要证明S = 则要证S = = = ab×sinC 此时S = ab×sinC为三角形计算公式，故得证。

证四：恒等式 分析：考虑运用S△ABC =r p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。 恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○那么 tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1 证明：如图，tg = ① tg = ② tg = ③ 根据恒等式，得： + + = ①②③代入，得： ∴r2(x+y+z) = xyz ④ 如图可知：a+b－c = (x+z)+(x+y)－(z+y) = 2x ∴x = 同理：y = z = 代入 ④，得： r 2 · = 两边同乘以 ，得： r 2 · = 两边开方，得： r · = 左边r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①，故得证。

证五：半角定理 半角定理：tg = tg = tg = 证明：根据tg = = ∴r = × y ① 同理r = × z ② r = × x ③ ①×②×③,得： r3 = ×xyz [3] 

坐标公式

1：△ABC，三顶点的坐标分别为 A(a1,a2),B(b1,b2)C(c1,c2),

S△ABC=∣a1b2+b1c2+c1a2-a1c2-c1b2-b1a2∣/2.

2:空间△ABC，三顶点的坐标分别为A(a1,a2,a3),B(b1,b2,b3)C(c1,c2c3),面积为S，则

S^2=（a1b2+b1c2+c1a2-a1c2-c1b2-b1a2)^2+(a2b3+b2c3+c2a3-a2c3-c2b3-b2a3)^2+

(a1b3+b1c3+c1a3-a1c3-c1b3-b1a3)^2. [4] 

圆公式

设圆半径为 ：r, 面积为 ：S .

则 面积 S= π·r^2 ; π 表示圆周率

即 圆面积 等于 圆周率 乘以 圆半径的平方

弓形公式

设弓形AB所对的弧为弧AB，那么：

当弧AB是劣弧时，那么S弓形=S扇形－S△AOB（A、B是弧的端点，O是圆心）。

当弧AB是半圆时，那么S弓形=S扇形=1/2S圆=1/2×πr^2。

当弧AB是优弧时，那么S弓形=S扇形+S△AOB（A、B是弧的端点，O是圆心）

计算公式分别是：

S=nπR^2÷360－ah÷2

S=πR^2/2

S=nπR^2÷360+ah÷2

椭圆公式

椭圆面积公式： S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。

椭圆面积公式应用实例

椭圆的长半轴为8cm，短半轴为6cm，假设π=3.14，求该椭圆的面积。
答：S=πab=3.14*8*6=150.72（cm²）

菱形公式

定理简述及证明

菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2

菱形的面积也可=底乘高

抛物线弓形面积公式

抛物线弦长公式及应用

本文介绍一个公式,可以简捷准确地求出直线被抛物线截得的弦长,还可以利用它来判断直线与抛物线位置关系及解决一些与弦长有关的题目.方法简单明了,以供参考.

抛物线弓形面积公式等于：以割线为底，以平行于底的切线的切点为顶点的内接三角形的3/4，即：

抛物线弓形面积=S+1/4*S+1/16*S+1/64*S+……=4/3*S

定理 直线y=kx+b(k≠0)被抛物线y^2=2Px截得的弦AB的长度为

∣AB∣= ①

证明 由y=kx+b得x=代入y^2=2Px得y2－+=0

∴ y1+y2=,y1y2=.

∣y1－y2∣==2,

∴∣AB∣=∣y1－y2|=

当直线y=kx+b(k≠0)过焦点时,b=－,代入①得∣AB∣=P(1+k2),

于是得出下面推论:

推论1 过焦点的直线y=kx－（k ≠0）被抛物线y^2=2Px截得的弦

AB的长度为

∣AB∣=P(1+k2) ②

在①中,由容易得出下面推论:

推论2 己知直线l: y=kx+b(k≠0)及抛物线C:y^2=2Px

Ⅰ)当P>2bk时,l与C交于两点(相交);

Ⅱ)当P=2bk时,l与C交于一点(相切);

Ⅲ)当P<2bk时,l与C无交点(相离).

定理应用

下面介绍定理及推论的一些应用:

例1 (课本P.57例1)求直线y=x+被抛物线y=x^2截得的线段的长?

分析:题中所给方程与定理中的方程形式不一致,可把x看成y用①即可.

解 曲线方程可变形为x^2=2y则P=1,直线方程可变形为x=y－,

即k=1,b=－.由①得∣AB∣=4.

例2 求直线2x+y+1=0到曲线y^2－2x－2y+3=0的最短距离.

分析:可求与已知直线平行并和曲

线相切的直线,二直线间距离即为要求的最短距离.

解 曲线可变形为(y－1)^2=2(x－1)则P=1,由2x+y+1=0知k=－2.由推论2,令2bk=P,解得b=－.∴所求直线方

程为y－1=－2(x－1)－,即2x+y－=0. ∴.

故所求最短距离为.

例3 当直线y=kx+1与曲线y=－1有交点时,求k的范围.

解 曲线可变形为(y+1)^2=x+1

(x≥－1,y≥－1) ,则P=1/2.直线相应地可变为 y+1=k(x+1)－k+2,∴b=2-k.由推论2,令2bk≤P,即2k(2－k)≤,解得k≤1－或k≥1+.故k≤1－或k≥1+时直线与曲线有交点.

注:曲线作怎样变形,直线也必须作相应平移变形,否则会出现错误.

例4 抛物线y^2=2Px内接直角三角形,一直角边所在直线为y=2x,斜边长为5.求抛物线的方程.

解 设直角三角形为AOB.由题设知kOA=2,kOB=－.由①, |OA|=,

|OB|=4P.由|OA|2+|OB|2=|AB|2,得P=.∴抛物线方程为y^2=x.

例5设O为抛物线的顶点,F为焦点,PQ为过的弦,己知∣OF∣=a,∣PQ∣=b,.求SΔOPQ

解 以O为原点,OF为x轴建立直角坐标系(见图),依题设条件,抛物线方程为y^2=4ax(P=2a),设PQ的斜率为k,由②|PQ|=,

已知|PQ|=b,k^2=.∵k^2=tg2θ∴sin2θ=.即sinθ=,

∴SΔOPQ=SΔOPF+SΔOQF =a|PF|sinθ+a|FQ|sin(π－θ)=ab sinθ=.

常见的面积定理

1． 一个图形的面积等于它的各部分面积的和；

2． 两个全等图形的面积相等；

3． 等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底的和相等）的面积相等；

4． 等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积比等于其所对应的高（或底）的比；

5． 相似三角形的面积比等于相似比的平方；

6． 等角或补角的三角形面积的比，等于夹等角或补角的两边的乘积的比；等角的平行四边形面积比等于夹等角的两边乘积的比；

7. 任何一条曲线都可以用一个函数y=f（x）来表示，那么，这条曲线所围成的面积就是对X求积分

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茌平县17754884512： 所有形状的面积公式 - ？
芮才茶苯： 正方形:S=a2 三角形(a,b,c-三边长):s=(a+b+c)/2 四边形:(d,D对角线长,α对角线夹角):S=dD/2·sinα 几何图形 几何图形,即从实物中抽象出的各种图形,可帮助人们有效的刻画错综复杂的世界.生活中到处都有几何图形,我们所...

茌平县17754884512： 各个图形面积的公式 - ？
芮才茶苯： 圆面积=圆周率*半径*半径S=3.14*r*r 长方形面积=长*宽S=ab 正方形面积=边长*边长S=a·a=a2 平形四边形面积=底*高 S=ah 三角形面积=底*高÷2S=ah÷2 梯形面积=(上底 +下底*高÷2S=(a+b)h÷2

茌平县17754884512： 小学的求各种图形面积的公式? - ？
芮才茶苯： 小学数学图形计算公式 : 1、正方形,面积=边长*边长 2、长方形 ,面积=长*宽 3、三角形,面积=高x底÷2 4、 平行四边形 面积=底*高 5、梯形 面积=(上底+下底)*高÷2 6、 圆形 面积=∏*半径*半径

茌平县17754884512： 各种图形的面积公式 - ？
芮才茶苯：[答案] 长方形周长=(长+宽)*2 C=2(a+b) 正方形周长=边长*4 C=4a 圆的周长=圆周率*直径 C=πd C =2πr 半圆的周长=圆周长的一半+直径 πr+d 面积公式:长方形面积=长*宽 S=ab 正方形面积=边长*边长 S=a2 平行四边形面...

茌平县17754884512： 所有图形的面积公式 - ？
芮才茶苯： 长方形的面积=长*宽 正方形的面积=边长*边长 三角形的面积=底*高÷2 平行四边形的面积=底*高 梯形的面积=(上底+下底)*高÷2 圆的面积=圆周率*半径*半径

茌平县17754884512： 正方形的面积公式是什么正方形,长方形,平形四边形,三角形,梯形的面积和周长的公式是什么, - ？
芮才茶苯：[答案] 正方形面积=边长*边长,周长=边长*4 长方形面积=长*宽,周长=(长+宽)*2 平行四边形面积=底*高 三角形面积=底*高÷2 梯形面积=(上底+下底)*高÷2

茌平县17754884512： 所有图形的体积 面积 周长文字公式 - ？
芮才茶苯： 圆形面积为S = π * r*r; 周长是 L = 2 *π *r 其中r代表半径椭圆形周长是S = 2πb+4(a-b) 椭圆的面积是S=πab 用a表示椭圆长半轴的长,b表示椭圆短半轴的长,且a>b>0

茌平县17754884512： 各种图形的 面积的公式 - ？
芮才茶苯： 三角形=底X高/2 圆=半径的平方Xπ 矩形=长X宽 正方形=边长的平方 梯形=(上底+下底)X高/2

茌平县17754884512： 各种图形的面积周长体积的公式长方形和圆形等平面图形的周长面积和体积的计算公式 - ？
芮才茶苯：[答案] 长方形周长=(长+宽)*2 C=2(a+b) 正方形周长=边长*4 C=4a 圆的周长=圆周率*直径 C=πd C =2πr 半圆的周长=圆周长的一半+直径 πr+d 面积公式:长方形面积=长*宽 S=ab 正方形面积=边长*边长 S=a2 平行四边形面...

茌平县17754884512： 正方形,长方型,扇形,梯形,圆锥形,三角形,面积公式各是什么?还有其他形,请补充全面下. - ？
芮才茶苯：[答案] 长方形 S=ab 面积=长*宽 正方形 S=aa 面积=边长*边长 平行四边形 S=ah 面积=底*高 三角形 S=ah/2 面积=底*高/2 梯形S=(a+b)h/2 面积=(上底+下底)*高/2 扇形S=nπR^2÷360 长方体 V=abh 体积=长*宽*高 S=(ab+ah+bh)*2 表面积=(长*宽+长*高+宽*...