利用笛沙格定理证明三角形的三条中线交于一点
利用笛莎格定理证明三角形的三条中线交于一点回答如下：
设三角形的顶点分别为A、B和C，而D、E和F分别是BC、AC和AB上的中点。首先，连接AD、BE和CF，我们可以发现DE和AC是平行的，因为D和E是AC的中点。
同样地，我们还可以发现EF和AB是平行的，因为E和F是AB的中点。综上所述，DE和EF是平行的。其次，根据笛莎格定理，我们知道DE的长度等于AC的一半，同时EF的长度等于AB的一半。
由于三角形的两边之间存在线段比例关系，我们可以得出DE和EF的长度相等。综上所述，我们可以得出结论：DE与EF既平行又等长，这意味着DE和EF实际上是同一条线段。因此，三角形的三条中线AD、BE和CF交于一点，这个交点即为三角形的重心。
根据笛莎格定理，我们可以得到以下关系式：
AD^2+CF^2=2(AB^2+AC^2)BC^2BE^2+AF^2=2(BC^2+AB^2)AC^2CF^2+BE^2=2(AC^2+BC^2)-AB^2现在我们需要证明AD^2+CF^2+BE^2=0。
为了简化表达，我们可以用a、b、c代表三角形的边长，即AB=c,AC=b,BC=a。代入上述三个关系式，我们得到AD^2+CF^2=2(b^2+c^2)a^2BE^2+AF^2=2(a^2+b^2)c^2CF^2+BE^2=2(b^2+a^2)-c^2将上述三个关系式相加，
得到：AD^2+CF^2+BE^2+AF^2+CF^2+BE^2=6(a^2+b^2+c^2)-3c^2-3c^2-3c^2简化后得到：2(AD^2+BE^2+CF^2)+AF^2+BF^2+CF^2=6(a^2+b^2+c^2)-9c^2
AF^2+BF^+CF^2=3a^2+3b^2+3c2(AD^2+BE^2+CF^2)+3a^2+3b^2+c^2=6(a^2+b^2+c^2)-9c^2继续简化：2(AD^2+BE^2+CF^2)+3a^2+3b^2+3c^2=6(a^2+b^2c^2-9c^2
移项得到：2(AD^2+BE^2+CF^2)=3a^2+3b^2+6c^2再次移项得到AD^2+BE^2+CF^2=(3a^2+3b^2+6c^2)/2由于a、b、c均为正数，因此等式右侧大于0。而AD^2+BE^2+CF^2对应三条中线的平方和，因此我们证明了AD、BE和CF交于一点。
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给定面积中为什么六边形的周长最短
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本定理可推广为：圆锥曲线内接六边形的三双对边(所在直线)的交点共线。证明引理1：两圆交于A、B，分别过A、B的直线交两圆于C、D,E、F,则CE\/\/DF. 画图即证。引理2：两三角形的对应边都平行，则对应点的连线共点。证法1.利用相似三角形，采用同一法证明。证法2.直接应用笛沙格定理。正式证明...
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能用笛沙格定理证帕普斯定理么?怎么证?
什么定理啊，研究生的啊？？我上大学四年是没有听说过这个，定理太多了，你要是真想得到答案就把定理解释一下具体的说一下，不然很少有人会记住定理的名字
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布莱斯·帕斯卡在哪些领域做出了突出贡献?
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商城县18058591788： 怎样证明三角形的三条中线、三条高线、三条角平分线总是交于一点? - ？
袁茂复方： 1、证明三角形的三条角平分线交于一点: (1)由其中两个内角的交点向三条边作垂线段; (2)在根据角平分线的性质定理及逆定理就可获证. 2、 证明三角形的三条边的垂直平分线交于一点: (1)作两条边的垂直平分线的交点K; (2)连结K...
商城县18058591788： 怎么样证明三角形的三条中线共点 - ？
袁茂复方： 明三角形的三条中线交于一点 (1)作一、二中线的交点G,二、三中线的交点G'与G'重合即可; (2)由中位线定理、相似三角形性质、同一法证明G.
商城县18058591788： 证明:三角形的三条中线共点 - ？
袁茂复方： 有中位线定理啊证明:设△ABC的两条中线BD、CE交于点G,连结AG并延长交BC于M(我们只要能证明点M是BC的中点即可), 作BN‖CE交AM延长线于N,连结CN.因为E是AB中点,BN‖CE,所以点G是AN中点(平行线等分线段定理),又因为点D是AC的中点,所以GD‖CN (三角形中位线定理),因此四边形BNCG是平行四边形,所以BC、GN互相平分,即点M是BC的中点,AM是BC边上的中线. 由于中线具有唯一性,这就证明了△ABC的三条中线AM、BD、CE交于所设点G.
商城县18058591788： 三角形的三条中线的交点为什么是重合的 怎么证明 - ？
袁茂复方： 1、证明三角形的三条 交于一点: (1)由其中两个内角的交点向三条边作 ; (2)在根据 的性质定理及 就可获证. 2、 证明三角形的三条边的 交于一点: (1)作两条边的 的交点K; (2)连结K及个顶点; (3)在根据线段 的性质定理及 就可获...
商城县18058591788： 证明:三角形的三条中线交于一点,且这个交点是中线的一个三等分点. - ？
袁茂复方： 利用塞瓦定理 假设三角形ABC中线AD,BE交点P,连接CP延长交AB与F 塞瓦定理 AF/FB*BD/DC*CE/EA=1 所以:AF/FB=1 所以:CF为AB边中线 所以:三角形的三条中线交于一点 延长AD到Q做DQ=PD 因为:BD=DC 所以:PBQC为平行四边形,CF平行BQ 因为:F为AB中点 所以:P为AQ中点,AP=PQ 所以:PD=1/2PQ=1/2AP=1/3AD 交点是中线的一个三等分点.
商城县18058591788： 三角形中位线的证明!!急需!! - ？
袁茂复方： 三角形中位线定理:三角形中位线平行于第三边,并且等于它的一半. 这个定理的证明方法很多,关键在于如何添加辅助线,当一个命题有多种证明方法时,要选用比较简捷的方法证明 (l)延长DE到F,使 ,连结CF,由 可得AD FC.(2)延长...
商城县18058591788： 怎么证明三角形的三条角平分线、三条高线、三条中线交于一点. - ？
袁茂复方： 解:三角形的三条中线必交于一点 已知:△ABC的两条中线AD、CF相交于点O,连结并延长BO,交AC于点E. 求证:AE=CE 证明:延长OE到点G,使OG=OB ∵OG=OB,∴点O是BG的中点 又∵点D是BC的中点∴OD是△BGC的一条中位...
商城县18058591788： 三角形三条中线交于一点怎么证明 - ？
袁茂复方： 在三角形ABC中,BD为AC中线,CE为AB中线,BD、CE交于点O,求证BC的中线AF过点O. 延长AO交BC于F' 作BG平行EC交AO延长线于G 则因E为AB中点,所以O为AG中点 连接GC,则在三角形AGC中,OD是中位线 BD平行GC 所以BOCG为平行四边形 F'平分BC F'与F重合 BC的中线AF过点O. 另一条一样
