求函数f(x)=arctan(x^2)关于x的幂级数展开式

将函数f(x)=arctan(2x)展开为幂级数,并求收敛域~

f(x)=arctan(2x)
f'(x)=2/(1+x^2)=2Σ(0,+∞)(-x^2)^n=2Σ(0,+∞)(-1)^n * x^(2n) |x|<1
积分得：f(x)=2Σ(0,+∞)(-1)^n/(2n+1) * x^(2n+1)
当x=1和-1时，为收敛的交错级数。
故：f(x)=2Σ(0,+∞)(-1)^n/(2n+1) * x^(2n+1) |x|《1

都要加起始项，不然后边x→0，那么后边的式子都是无穷小了。
泰勒展开式(幂级数展开法): 　
　f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+...

希望对你有帮助O(∩_∩)O~

实用幂级数(Maclaurin 展开式）
　　e^x= 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+xn/n!+Rn(x） 　　
ln(1+x)= x-x^2/2+x^3/3-...(-1)^(k-1)*x^k/k+Rn(x)(|x|<1) 　　
sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-...(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+Rn(x)(-∞<x<∞) 　　
cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-...(-1)^k*x^(2k)/(2k)!+... (-∞<x<∞) 　　
arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ... (|x|<1) 　　
arccos x = π - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ... ) (|x|<1) 　　
arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 - ... (x≤1) 　　sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+...(-1)k-1*x^(2k-1)/(2k-1)!+... (-∞<x<∞) 　　
cosh x = 1+x^2/2!+x^4/4!+...(-1)k*x^(2k)/(2k)!+... (-∞<x<∞) 　　
arcsinh x = x - 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 - ... (|x|<1) 　　
arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ... (|x|<1)

利用已知幂级数

1/(1+x) = Σ(n=0~∞)[(-1)^n](x^n)，-1<x<1。

这样，

1/(1+x^2) = Σ(n=0~∞)[(-1)^n](x^2n)，-1<x<1。

arctanx = ∫[0,x][1/(1+t^2)]dt

= Σ(n=0~∞) ∫[0,x][(-1)^n](t^2n)dt

= Σ(n=0~∞)[(-1)^n][x^(2n+1)]/(2n+1)，-1<x<1。

则函数

f(x) = arctan(x^2)

= Σ(n=0~∞)[(-1)^n][x^2(2n+1)]/(2n+1)，-1<x<1。

简介

幂级数，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。

利用已知幂级数
1/(1+x) = Σ(n=0~∞)[(-1)^n](x^n)，-1<x<1。
这样，
1/(1+x^2) = Σ(n=0~∞)[(-1)^n](x^2n)，-1<x<1。
arctanx = ∫[0,x][1/(1+t^2)]dt
= Σ(n=0~∞) ∫[0,x][(-1)^n](t^2n)dt
= Σ(n=0~∞)[(-1)^n][x^(2n+1)]/(2n+1)，-1<x<1。
则函数
f(x) = arctan(x^2)
= Σ(n=0~∞)[(-1)^n][x^2(2n+1)]/(2n+1)，-1<x<1。

---

普洱市17770359200： 求函数f(x)=arctan(x^2)关于x的幂级数展开式 - ？
红轰降脂：[答案] 利用已知幂级数 1/(1+x) = Σ(n=0~∞)[(-1)^n](x^n),-1

普洱市17770359200： 三角函数f(x)=arctan x 求f(x)的导函数我求到了 (cos (arctan x))^2 这一步 怎么就等于那个了呀? - ？
红轰降脂：[答案] 先对其逆函数x=tan y 求导,得到1/(cos y )^2,把y=arctan x代入,再求倒数得到 (cos (arctan x))^2, 然后,想象一个直角三角形,tan A=x,得到三边:1,x,(1+x^2)^0.5 cos A=1/(1+x^2)^0.5,代入得到1/(1+x^2). 结束,

普洱市17770359200： 求函数f(x)=arctan(x)的n阶导数函数f(x)的一阶导数我算出来为1/(1+x^2)下面的就麻烦你呢 - ？
红轰降脂：[答案] arctan(x)的导数(arctan(x))'=1/(1+x^2) (1) 然后由1/(1-x)=1+x+x^2+x^3.(2)(当x趋近于0时)这个可以对右边用等比数列求和公式求出 右边=1*(1-x^n)/(1-x)=1/(1-x)这样我们就证明了(2)式在趋近于0时是成立的.(为什么要趋近于0,这是由于麦克劳林公式...

普洱市17770359200： 帮忙求下函数的导数(求完整导数过程)f(x)=cos(lnx)f(x)=sin(cos(lnx).e^2xf(x)=arctan(x^w)f(x)=ln(x+x^2) - ？
红轰降脂：[答案] f'(x)=sin(lnx)*(lnx)'=sin(lnx)/x f'(x)=[sin(cos(lnx)]'*e^2x+sin(cos(lnx)*(e^2x)'=-cos(cos(lnx)*sin(lnx)/x*e^2x+2e^2x*sin(cos(lnx) 其它的一样直接套公式啦

普洱市17770359200： 证明题,关于反三角函数及其导函数的,求证步骤完美的话有加分^.^已知,f(x)=arctan(x)函数满足,(x^2+1)*f'(x)=1求证(x^2+1)f^(k+1)(x)+2kxf^(k)(x)+... - ？
红轰降脂：[答案] 用数学归纳法可证. 当n = 1时,对(x^2+1)*f'(x)=1求导,得 (x^2+1)*f＂(x)+2x f'(x) = 0, 命题成立. 设n = k 时,命题成立,即 (x^2+1)f^(k+1)(x)+2kxf^(k)(x)+k(k-1)f^(k-1)(x) = 0, 则n = k+1 时,对上式再求一次导数,得………… ...

普洱市17770359200： 已知f根号x=arctanx,则导函数f'(x)等于 麻烦网友们给一个具体步骤,谢谢 - ？
红轰降脂： 设sqrt(x)=t,于是x=t^2. 改函数可以变为f(t)=arctan(t^2). 重新用x表示就是f(x)=arctan(x^2),因此 f'(x)=2x/(1+x^4)

普洱市17770359200： 用微分求arctan1.05的近似值,谁能教教我我吗? - ？
红轰降脂：[答案] arctan1.05构造函数f(x)=arctanx取x0=1,△x=1.05-1=0.05f(x0)=arctan1=π/4f'(x)=1/(1+x^2)f'(x0)=1/(1+1^2)=0.5f(x+△x)≈f(x0)+f'(x0)△xarctan1.05≈π/4+0.5*(0.05)=π/4+0.025

普洱市17770359200： y=arctan|x|求定义域和值域 谢谢!!! - ？
红轰降脂： f(x)=arctanx的定义域是R;值域是(-π/2,π/2) 因为|x|≥0,所以函数f(x)=arctan|x|的定义域为R;值域为[0,π/2)

普洱市17770359200： 求该函数的间断点,并判断其类型.f(x)=arctan(1/x^2 - 3x+2) - ？
红轰降脂：[答案] x^2-3x+2 = (x-1)(x-2) = 0 => x=1, x=2 x->1- , 1/( x^2-3x+2) -> +∞, arctan(1/x^2-3x+2) -> π/2 x->1+ , 1/( x^2-3x+2) -> -∞, arctan(1/x^2-3x+2) -> -π/2 =》 x=1 为第一类跳跃间断点 x->2- , 1/( x^2-3x+2) -> -∞, arctan(1/x^2-3x+2) -> - π/2 x->1+ , 1/( x^2-3x+2) -> +∞, ...

普洱市17770359200： 如何证明f(x)=arctanx在指定的区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理 - ？
红轰降脂：[答案] (f(1)-f(0))/(1-0)=pai/4 f'(x)=1/(1+x^2)=pai/4 得x=(4/pai-1)^(1/2)属于区间(0,1) 即得证