在正三棱锥A BCD中用向量方法证明AB垂直CD

在四面体A-BCD中，AB=AD,CB=CD,试用向量方法证明:BD垂直AC~

向量法：
AC^2=(AB+BC)^2=(AD+DC)^2
则有：AB^2+2AB·BC+BC^2=AD^2+2AD·DC+DC^2
根据AB=AD,CB=CD
整理两式得：AB·BC=AD·DC；
AC·BD=(AD+DC)·(BC+CD)
=AD·BC+DC·BC+AD·CD-CD^2
=AD·BC+DC·BC-AB·BC-CD^2
=(AD-AB)·BC+DC·BC-CD^2
=BD·BC+DC·BC-CD^2
=BC^2-CD^2
=0
所以BD垂直AC

令向量AB=d,向量AC=c,向量AD=d
则向量CD=AD-AC=d-c, BC=AC-AB=c-b, BD=AD-AB=d-b
因为AB垂直CD，AD垂直BC
所以AB点乘CD=0，即b点乘（d-c）=0，就有b点乘d=b点乘c
同理，d点乘c=d点乘b
所以d点乘c=b点乘c
那么有，AC点乘BD=c点乘（d-b）=c点乘d-c点乘b=0
所以AC垂直BD

在正三棱锥ABCD中，设b=AB,c=AC, d=AD,且|b|=|c|=|d|, <b,c>=<b,d>（指∠CAB=∠DAB）
CD=d-c, AB*CD=b*(d-c)=b*d-b*c=|b|*|d|cos<b,d>-|b|*|c|cos<b,c>=0
所以AB⊥CD
(说明 为方便起见，以上都省略了“向量”二字)

设M是CD的中点，则CD⊥MB,CD⊥AM,所以CD⊥平面ABM,则CD⊥AB.
故AB⊥CD.

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星子县13768658222： 在三棱锥A - BCD中,若AB垂直于DC,AC垂直于BD.求证AD垂直于BC 用向量做... - ？
钮缪迪沙：[答案] 根据题意可知:向量AB*向量DC=0,向量AC*向量BD=0,向量AD*向量BC=(向量AC+向量CD)*(向量BD+向量DC).乘开来,就会发现也等于0,就可以证明垂直

星子县13768658222： 1.正方体中ABCD - A1B1C1D1,用向量法求证BD1⊥面A1CAB12.在三棱锥D - ABC中,DA⊥面ABC,∠ACB=90°,∠ABD=30°,求AB与AC所成角的大小,用... - ？
钮缪迪沙：[答案] (1)利用向量的数量积 BD1•AC=0,BD1•AB1=0,从而证明BD1⊥平面ACB1; 证明:(1)先证明BD1⊥AC. ∵ BD1= BC+ CD+ DD1,AC= AB+ BC, ∴ BD1• AC=( BC+ CD+ DD1)•( AB+ BC) = BC• BC+ CD• AB= BC• BC- AB• AB=| BC|2-| ...

星子县13768658222： 已知三棱锥A - BCD中,AB⊥CD,AC⊥BD,求证:AD⊥BC 用空间向量的数量积运算 - ？
钮缪迪沙：[答案] 因为 AB丄CD ,所以 AB*CD=0 ,同理 AC*BD=0 ,所以 AD*BC=(AB+BC+CD)*(AC-AB)=AB*AC+(BC+CD)*AC-(AB+BC)*AB-CD*AB=AB*AC+BD*AC-AC*AB-CD*AB=AB*AC+0-AC*AB-0=AB*AC-AB*AC=0 ,因此 AD丄BC .

星子县13768658222： 正三棱锥如果求异面直线的余弦值用空间向量怎么解 - ？
钮缪迪沙： 恩,这个问题好抽象,可能描述出来会不太清楚.考虑正三棱锥的问题,首先要了解正三棱锥的每个面都是正三角形.那么.底面也是一个正三角形,可知三线合一,即高线、垂线、中线重合.正三角形的中心,也是垂心和重心.重心分高线比...

星子县13768658222： 解一道几何题?三棱锥?？
钮缪迪沙： 分析:本题若想利用向量的方法解答,首先要先建立适当的直角坐标系,而所给的图形没有现成的垂直关系,但考虑到正三角形自身的对称性,不妨取AC中点O,连结OS、OB.这样就可以建立如图所示空间直角坐标系O-xyz. 要想证明AC⊥SB,...

星子县13768658222： 如图,在正三棱锥ABC - A1B1C1中,AB=AA1,D是BC的中点,P是CC1的中点.求证:(1)A1B∥平面AC1D(2)B1P⊥平面AC1D？
钮缪迪沙： 匆含羞请述三棱锥.向量法,建糸.'3'表3k开方.(0,0,0);C1(1,0,2);B(-1,0,0);B1(-1,0,2);A(0,'3',0);A1(0,'3',2);P(1,0,1).AC1D的法线Mm(a,b,c).m丄DA,m丄DC1,(a,b,c)(0,'3',0)='3'b=0,b=0;(a,b,c)(1,0,2)=a+2c=0,即m(2,0,-1);而B1P=(2,0,-1),B1P丄m即B1p//ADC1.mxBA1=(2,0,-1)(1,'3',2)=0,m丄BA1即BA1//AC1D

星子县13768658222： 在三棱锥A - BCD中,E,F分别是BC,AD的中点,证明:向量AB,向量EF,向量CD共面 - ？
钮缪迪沙： 取AC中点,过E做三角形ABC中位线,过F做ACD中位线,成三角形,所以共面

星子县13768658222： 在正三棱锥S - ABC中,记向量SA=向量a,向量SB=向量b,向? ？
钮缪迪沙： 1>.证明: ∵AO⊥侧面SBC 又∵SBC为等腰二角形 ∴O必在三角形SBC的中线上 即... ∴D为BC的中点 2>解: ∵AO⊥面SBC ∴AO⊥SD 在三角形SAD中 ∵向量SB =b , ...

星子县13768658222： 在正三棱锥A - BCD中,求证:AD垂直BC - ？
钮缪迪沙：[答案] 取AD中点E,连结BE、CE, ∵AE=DE,BA=BD, ∴BE⊥AD(等腰三角形三线合一) 同理CE⊥AD, ∴AD⊥平面BCE, ∴AD⊥BC

星子县13768658222： 在正三棱锥A - BCD中,求证:AD垂直BC 求过程 - ？
钮缪迪沙： 取AD中点E,连结BE、CE,∵AE=DE,BA=BD,∴BE⊥AD(等腰三角形三线合一)同理CE⊥AD,∴AD⊥平面BCE,∴AD⊥BC