0.9循环和1有什么区别?

~ 0.9循环严格等于1，不是什么"无限逼近"“无限趋近于”，在数学里面，0.999....只是一种写法，一种记数方式，在数学家眼里，0.9循环就是1，只是写法不同。
小学课程中，会学到追赶问题的应用题，我以这个为例
甲乙两人相距100米，同向前进，乙在后追赶甲，
已知甲的速度1m/s，乙的速度2m/s，问多长时间后乙追上甲?
小学老师会告诉你这样解题，两者速度差是1m/s，相距100米就需要100秒来追上
2m/s-1m/s=1m/s
100m÷1m/s=100s
答：100秒后乙追上甲。
好，如果我们换个方式思考，乙要追上甲，首先要追到甲原来的位置，乙速度2米每秒，相距100米，需要50秒的时间追到甲原来的位置，但是同时甲也向前前进50秒了，也就是前进了50米，乙又要继续追到乙的位置，也就是还要前进50米，需要再花25秒，甲又前进了25米，乙又要花12.5秒追赶，以此类推，不断的追赶，总共需要的时间为
50+25+12.5+6.25+3.125+......整理一下式子为
100*(1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+......)
也就是说，乙在不断接近甲原来的位置，需要的时间越来越短，到几秒，零点几秒，那这样乙到底能不能追到甲呢？
等你上了高中，老师会教你等比数列求和的算法，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
100*(1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+......)
=100*[(1/2) /(1-1/2)]
=100
嗯，看来高中老师和小学老师的答案是一样的，他们都没有骗你。
好，回到0.9循环的问题上，0.9循环可以看成是是一个等比数列的和
0.9+0.09+0.009+0.0009+...
=9/10+9/100+9/1000+9/10000+...
=9(1/10+1/100+1/1000+1/10000+...)
等比数列求和Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
=9[(1/10)/(1-1/10)]
=9*1/9
=1
也许以上的式子，你可能看不太懂，但是你只要记住一点，乙在100秒的时刻刚好追上甲，0.9循环就是等于1，
如果认为0.9循环是无限趋近于1，不能等于1
就相当于认为乙永远追上不甲，认为乙只能无限趋近于甲，这个是十分可笑的！

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凤翔县18547697147： 0.9循环与1的大小怎么比较0.9循环貌似是0.后面无数个9 也就是无限接近1 但似乎又比1小一点而且0.9循环分类是无限循环小数 但0.9循环可以看成0.1循环*9... - ？
贡符氨酚：[答案] 不对,0.10.1循环*9虽然我不知道*9是神马意思- -我想楼主的意思应该是乘90.1循环=0.1+0.1*2+0.1*3+……+0.1*n(n趋近无穷)=lim(0.1乘以(1-0.1*n)除以(1-0.1))=九分之一这样就好往下顺理成章地证明0.9的循环等于1...

凤翔县18547697147： 1和0.9的循环一样吗??????????????? - ？
贡符氨酚： 他们是相等的. 理由如下: :∵ 0.9999....=0.3333....+0.3333....+0.3333....(1=1/3+1/3+1/3)=1/3+1/3+1/3=1 ∴ 1=0.9999......

凤翔县18547697147： 1和0.9循环 - ？
贡符氨酚： 你说的抽象思维并不抽象,而是我们自己的直观想法,我们自己总认为看上去大的就大,所以你说1要大于0.9(9的循环). 事实上,0.9(9的循环)和1.0(0的循环)就是1的两种表示方法,而任何其他的数(不等于1)都不能为这两个无限循环小数所...

凤翔县18547697147： 普及一下.为什么0.9的循环不等于1 - ？
贡符氨酚： 0.9999……不等于1在数学上是不争的事实,就像1+1=2一样. 要说清楚这个问题,必须要从实数的定义说起,定义实数的方式有三种,戴德金分割、柯西基本列和十进位小数,不管是在哪一种定义下,0.9999……和1都是同一个数. 有兴趣的可以去研读《陶哲轩实分析》,451页陶哲轩有给出证明,但单看这个证明你是看不出什么的,必须要结合前面几章对实数的构造以及附录的十进制才能完全看懂,需要下不少工夫.

凤翔县18547697147： 比较1和0.9的循环 - ？
贡符氨酚： 1>0.9的循环

凤翔县18547697147： 比较1和0.9的循环？
贡符氨酚： 1=1/3*3 0.9999....=0.333....*3 而0.3333....=1/3 1=0.9

凤翔县18547697147： 0.9循环更1,那个大!! - ？
贡符氨酚： 1和0.9循环相等!!! 因为他们比大小要有一个介数,而在1和0.9循环中找不到 所以他们俩相等......... 你能问出这么有深意的问题(即使我知道),值得表扬!!!!!!

凤翔县18547697147： 0.9循环和1比较,哪个大?哪个小?还是一样大?最好有证明过程!谢谢! - ？
贡符氨酚： 0.99...=1 注意,这里是等于,而不是约等于.其实如果想很清楚的说明这个问题,需要很高深的知识,至少要从戴金斯的实数构造理论阐述,通俗一点说,无限循环小数是可以化成分数的,至少大家能够承认这样一个事实,那就是无限循环小数与对应的分数是绝对相等的,如果说的再深入一些,无限循环小数可以看作某等比数列的收敛性的和,是一个极限,请注意,极限本来就是指某一个变化的趋势,而不一定非要达到,我们直观上认为前者小于后者,其实就是因为没有本质上理解极限.根据Weistrass的理论,无限便是对于实现给定的任意一个参照都能对于该参照保持一个特定的关系. 这样证明给你看看吧,我们设a=0.99.... b=1,假设a

凤翔县18547697147： 0.9 循环于1一样大吗? - ？
贡符氨酚： 1).一样大 1=三分之一*3 0.9999……=0.3333……*3 因为1/3=0.3333…… 所以相等2).1大. 因为:0.9,9循环无限趋近于1.但是永远不会到达1,所以1始终是大的.

凤翔县18547697147： ...因为1除三等于1/3即0.3的循环,而0.9的循环除3也是0.3的循环.所以1等于0.9的循环.我觉得是不对的,但又不知道该怎么反驳.0.3的循环和0.3333的循环有... - ？
贡符氨酚：[答案] 以上理由不充分: 比如你怎么知道:1/3=0.333333333333... 你说除出来的,那你除完了吗? 请看我的证明: 设 A=0.99999999999999. 那么 10A=9.99999999999999. 而 10A-A=9 9A=9 A=1 所以 A=0.9999999999999...=1