∫ln(1+x)/(x(x²+1))dx 定积分0到1
分享一种解法。∵dx/[x(1+x²)]=dx[1/x-x/(1+x²)]=d[lnx-(1/2)ln(1+x²)]，∴原式=-(1/2)ln²2-∫(0,1)[lnx-(1/2)ln(1+x²)]dx/(1+x)。
而，∫(0,1)lnxdx/(1+x)=∑[(-1)^n]∫(0,1)(x^n)lnxdx=-∑[(-1)^n]/(n+1)²=-π²/12①。
∴原式=-(1/2)ln²2+π²/12+(1/2)∫(0,1)ln(1+x²)dx/(1+x)②。
设I(α)=∫(0,1)ln(1+αx²)dx/(1+x)。∴I(0)=0，I(1)=∫(0,1)ln(1+x²)dx/(1+x)。显然，在α∈(0,1)，I(α)是连续函数。∴对α求导，有I'(α)=∫(0,1)x²dx/[(1+x)(1+αx²)。
∴I'(α)=[1/(1+α][ln2-(2/α)ln(1+α)-(1/√α)arctan(√α)]。∴I(1)=∫(0,1)I'(α)dα=(3/4)ln²2-∫(0,1)lnαdα/(1+α)-π²/16③。
∴综合①、②、③式，原式=(7/96)π²-(1/8)ln²2。
供参考。
如下过程及结果供题主参考
结果为：(7/96)π²-(1/8)ln²2
解题过程如下：
∵dx/[x(1+x²)]=dx[1/x-x/(1+x²)]=d[lnx-(1/2)ln(1+x²)]
∴原式=-(1/2)ln²2-∫(0,1)[lnx-(1/2)ln(1+x²)]dx/(1+x)
而，∫(0,1)lnxdx/(1+x)=∑[(-1)^n]∫(0,1)(x^n)lnxdx=-∑[(-1)^n]/(n+1)²=-π²/12
∴原式=-(1/2)ln²2+π²/12+(1/2)∫(0,1)ln(1+x²)dx/(1+x)
设I(α)=∫(0,1)ln(1+αx²)dx/(1+x)
∴I(0)=0，I(1)=∫(0,1)ln(1+x²)dx/(1+x)
α∈(0,1)，I(α)是连续函数
∴对α求导，有I'(α)=∫(0,1)x²dx/[(1+x)(1+αx²)
∴I'(α)=[1/(1+α][ln2-(2/α)ln(1+α)-(1/√α)arctan(√α)]
∴I(1)=∫(0,1)I'(α)dα=(3/4)ln²2-∫(0,1)lnαdα/(1+α)-π²/16
∴=(7/96)π²-(1/8)ln²2
扩展资料
求函数积分的方法：
设F（x）是函数f（x）的一个原函数，我们把函数f（x）的所有原函数F（x）+C（C为任意常数）叫做函数f（x）的不定积分，记作，即∫f（x）dx=F（x）+C。
其中∫叫做积分号，f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。
积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说，对于一个给定的实函数f（x），在区间[a，b]上的定积分。
若f（x）在[a,b]上恒为正，可以将定积分理解为在Oxy坐标平面上，由曲线（x，f（x））、直线x=a、x=b以及x轴围成的面积值（一种确定的实数值）。
答：先计算不定积分 ∫ x/(x2+1) dx =(1/2) ∫ 1/(x2+1) d(x2+1) =(1/2) ln(x2+1)+C 0---1的定积分=(1/2)*[ln(1+1)-ln(0+1)]=(ln2)/2
分享一种解法。∵dx/[x(1+x²)]=dx[1/x-x/(1+x²)]=d[lnx-(1/2)ln(1+x²)]，∴原式=-(1/2)ln²2-∫(0,1)[lnx-(1/2)ln(1+x²)]dx/(1+x)。
而，∫(0,1)lnxdx/(1+x)=∑[(-1)^n]∫(0,1)(x^n)lnxdx=-∑[(-1)^n]/(n+1)²=-π²/12①。
∴原式=-(1/2)ln²2+π²/12+(1/2)∫(0,1)ln(1+x²)dx/(1+x)②。
设I(α)=∫(0,1)ln(1+αx²)dx/(1+x)。∴I(0)=0，I(1)=∫(0,1)ln(1+x²)dx/(1+x)。显然，在α∈(0,1)，I(α)是连续函数。∴对α求导，有I'(α)=∫(0,1)x²dx/[(1+x)(1+αx²)。
∴I'(α)=[1/(1+α][ln2-(2/α)ln(1+α)-(1/√α)arctan(√α)]。∴I(1)=∫(0,1)I'(α)dα=(3/4)ln²2-∫(0,1)lnαdα/(1+α)-π²/16③。
∴综合①、②、③式，原式=(7/96)π²-(1/8)ln²2。
供参考。
∫(1,0)ln(1+x)dx =xln(1+x)(1,0)-∫(1,0)x/(x+1) dx =ln2-∫(1,0)dx+∫(1,0)dx/(x+1) =ln2-1+ln(x+1)(1,0) =ln2-1+ln2 =2ln2-1.
ln(1+x)的图像
ln(1+x）的图像如下图：y=ln(1+x）是由y=lnx的函数图像向左边平移一个单位得到的。即y=lnx向左平移1单位，x变成x+1，其他地方不变。根据这个定义立刻可以知道 并且根据可导必连续的性质，lnx在(0,+∞)上处处连续、可导。其导数为1\/x>0，所以在(0,+∞)单调增加。
ln(1+x)收敛区间是什么?
您好，答案如图所示：注意收敛区间和收敛域的分别。
x=ln(1+x)可以有几种解法?
如图所示，可以画图或者直接解 望采纳
ln(1-x)展开泰勒多项式是啥?
ln(1-x)的泰勒级数展开是：ln(1-x)=ln=Σ（-1)^(n+1)(-x)^n\/n=Σx^n\/n，－1≤x。泰勒展开f（x）＝f（0）＋f′（0）x+f″（0）x²。泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。...
ln(1+x)的幂级数展开式,图片中两种展开式有什么区别?考试中是不是通用...
这样的两个式子 实际上就是没有区别的 只不过前一个的n从1开始 (-1)的n-1次方，乘以x的n次方，再除以n 而后一个的n从0开始 (-1)的n次方，乘以x的n+1次方，再除以n+1 那二者就是一回事的
ln(1+ x)的泰勒展开式是怎样的?
泰勒展开式是函数在某一点的无穷级数展开，通常用来近似计算复杂函数的值。对于自然对数函数 ln(1+x)，其泰勒展开式可以在 x=0 处得到，并被广泛运用于数学和工程领域。自然对数函数 ln(1+x) 在 x=0 处的泰勒展开式为：ln(1+x) = x - x^2\/2 + x^3\/3 - x^4\/4 + ... + (-1)...
ln(1+ x)的泰勒公式是什么?
对数ln(1-x)的泰勒公式是：ln(1+x)=x-x^2\\2+x^3\\3-x^4\\4+...+(-1)^(n-1)x^n\\n+O(x^(n+1))泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数...
ln(1+x)的积分怎么求
如 图 片 ：
袁葛泻痢： 分部积分法: ∫ln(1 + x) dx = x * ln(1 + x) - ∫x dln(1 + x) = xln(1 + x) - ∫x / (1 + x) dx = xln(1 + x) - ∫(1 + x - 1) / (1 + x) dx = xln(1 + x) - ∫ dx + ∫ dx / (1 + x) = xln(1 + x) - x + ln|1 + x| + C
谢通门县13494504095： ∫ln(1+x)/x=? 有原函数吗?谢谢 - ？
袁葛泻痢： ln(1+x)/x存在原函数,但原函数不是有限形式.也就是说任何初等函数的导数都不是这个函数. 这个函数的某些定积分可以求得.你是否在做定积分的时候遇到了这个问题?这类问题的解决不是通过求这个函数的不定积分解决的.有些和幂级数有关,因为幂级数可以逐项积分和逐项求导.
谢通门县13494504095： 不定积分∫ln(1+x)dx的过程 - ？
袁葛泻痢：[答案] 分部积分法:∫ln(1 + x) dx= x * ln(1 + x) - ∫x dln(1 + x)= xln(1 + x) - ∫x / (1 + x) dx= xln(1 + x) - ∫(1 + x - 1) / (1 + x) dx= xln(1 + x) - ∫ dx + ∫ dx / (1 + x)= xln(1 + x) - x + ln|1 + x| + C...
谢通门县13494504095： 求不定积分∫5xln(1+x)dx,请帮手解说 - ？
袁葛泻痢： 分部积分 ∫5xln(1+x)dx =(5/2)∫ln(1+x)d(x^2) =(5/2)(x^2)*ln(1+x)-(5/2)∫(x^2)/(1+x)dx =(5/2)(x^2)*ln(1+x)-(5/2)∫(x^2-1+1)/(1+x)dx =(5/2)(x^2)*ln(1+x)-(5/2)∫(x-1)dx-(5/2)∫1/(1+x)dx =(5/2)(x^2)*ln(1+x)-(5/4)x^2+(5/2)x-(5/2)ln|1+x|+C
谢通门县13494504095： 计算积分∫In(1+x)/(x∧2)dx - ？
袁葛泻痢： 解:原式=-ln(1+x)/x+∫dx/[x(1+x)] (应用分部积分法) =-ln(1+x)/x+∫[1/x-1/(1+x)]dx =-ln(1+x)/x+ln│x│-ln(1+x)+C (C是任意常数).
谢通门县13494504095： ∫ln(1+x²)/x³dx的不定积分 - ？
袁葛泻痢：[答案] ∫ln(1+x²)/x³dx= -1/2∫ln(1+x²)d(1/x²)=-1/2(ln(1+x²))/x²)+1/2∫1/(x²(1+x²))dx²=-1/2(ln(1+x²))/x²)+1/2∫(1/x²-1/(1+x²))dx...
谢通门县13494504095： 求不定积分∫{[ln(1+x)]/√x}dx - ？
袁葛泻痢：[答案] 详细过程如下∫ln(1+x)dx/√x=2∫ln(1+x)d√x√x=u=2∫ln(1+u^2)du=2u ln(1+u^2) -2∫u*(2u)du/(1+u^2)=2uln(1+u^2)-4∫du+4∫du/(1+u^2)=2uln(1+u^2)-4u+4arctan(1+u^2)+C=2√xln(1+x)-4√x+4arctan(1+x)+C...
谢通门县13494504095： ∫㏑(1+x)dx=? - ？
袁葛泻痢： 先凑微分,之后用分部积分法做. 原式=∫ln(x+1)d(x+1) =(x+1)ln(x+1)-∫(x+1)d(ln(x+1)) =(x+1)ln(x+1)-∫dx =(x+1)ln(x+1)-x+C
谢通门县13494504095： ∫dx/(x(1+x))求过程! - ？
袁葛泻痢： ∫dx/(x(1+x))=∫(1/x-1/(1+x))dx =∫(1/x)dx-∫(1/(1+x))dx =lnx-ln(1+x)x>0
谢通门县13494504095： ∫x/(1+x*x)dx - ？
袁葛泻痢： ∫xdx/(1+x²) =1/2*∫d(1+x²)/(1+x²) =1/2*ln(1+x²)+C =ln√(1+x²)+C
