在三角形ABC中,AB=2AC,AD是A的角平分线,且AD=kAC

在三角形ABC中，AB=2AC,AD是∠A的平分线，且AD=kAC1求k的取值范围2若S三角形abc=1,问k取何值时，BC最短~

做 CE⊥AD BH⊥AD分别交AD和AD延长线于点F、H.
设AC=a, CD=b, AD=c
1, ∠EAF=∠CAF CE⊥AD
AE=AC EF=CF 点E为AB中点
EF//BH, EF/BH=AE/AB, EF=BH/2
CF=EF, CF=BH/2
CF//BH, CD/BD=CF/BH, CD=BD/2, BD=2b
AB=2AC=2a
BD^2=AB^2+AD^2-2AB*AD*cos1
4b^2=4a^2+c^2-4ac*cos1 (1)
CD^2=AC^2+AD^2-2AC*AD*cos1
b^2=a^2+c^2-2ac*cos1 (2)
(2)*4-(1) 得 3c^2-4ac*cos1=0
c≠0 c=(4cos1/3)*a 即AD=(4cos1/3)*AC
k=4cos1/3 0 <∠BAC<180 0<∠1<90
故0<k<4/3
2, S(ABC)=AB*AC*sin(2∠1)/2
=2a^2sin1cos1 (k=4cos1/3 cos1=3k/4)
1=3ka^2sin1/2 a^2=2/3ksin1
BC^2=AB^2+AC^2-2AB*AC*cos(2∠1)
=4a^2+a^2-4a^2[1-2(sin1)^2]
=a^2+8a^2(sin1)^2 (a^2=2/3ksin1)
=2/3ksin1+16sin1/3k (k=4cos1/3)
=1/2sin1cos1+4sin1/cos1
=[1+8(sin1)^2]/(2sin1cos1)
=[(3sin1)^2+(cos1)^2]/(2sin1cos1)
≥6sin1cos1/2sin1cos1=3 (当3sin1=cos1时取最小值)
BC最小值为√3
3sin1=cos1 tan1=1/3 cos1=3√10/10
k=4cos1/3
=2√10/5

取ab的中点为e，连接de，则ae=ac=1/2ab，∠bac=∠dac，ad=ad，∴△dae≌△dac，∴∠adc=∠ade，∵de是等腰△abd的中线，三线合一，∴de平分∠adb，又有∠bac=∠dac，∴角adb=2角adc

（不添加任何辅助线）

(1)由已知条件及角平分线定理有BD/DC=AB/AC=2，BD=2DC

     再由三角形余弦定理有BD^2=AB^2+AD^2-2AB*AD*cos(A/2)，

     CD^2=AD^2+AC^2-2AD*AC*cos(A/2)，

    将AD=kAC，AB=2AC，BD=2DC代入上面两式，再两边分别相除可得

    4+k^2-4k*cos(A/2)=4(k^2+1-2k*cos(A/2))，

    整理得，3k^2=4k*cos(A/2)，k=（4/3）*cos(A/2)

    因为0 <A<180°，0<A/2<90°，0<cos(A/2)<1， 故0<k<4/3

（2）由已知条件及面积公式有，（1/2）AB*AC*sinA=1，AC^2*sinA=1，AC^2=1/sinA

再由三角形余弦定理有

BC^2=AB^2+AC^2-2AB*AC*cosA

        =5AC^2-4AC^2*cosA

        =（5-4cosA)/sinA

将cosA=1-2sin^2(A/2)，代入上式整理得

BC^2=（1+8sin^2(A/2))/sinA

        =（sin^2(A/2)+cos^2(A/2)+8sin^2(A/2))/sinA

        =（9sin^2(A/2)+cos^2(A/2))/sinA

        ≥ 6sin(A/2)*cos(A/2)/sinA=3

 当9sin^2(A/2)=cos^2(A/2)时等号成立，BC取最小值√3，

在9sin^2(A/2)=cos^2(A/2)两边同时加9cos^2(A/2)，得10cos^2(A/2)=9

cos(A/2)=3√10/10，再由（1）中，k=（4/3）*cos(A/2)=2√10/5

做 CE⊥AD BH⊥AD分别交AD和AD延长线于点F、H。

设AC=a, CD=b, AD=c

1, ∠EAF=∠CAF CE⊥AD

   AE=AC EF=CF  点E为AB中点

EF//BH, EF/BH=AE/AB, EF=BH/2

  CF=EF, CF=BH/2

CF//BH, CD/BD=CF/BH, CD=BD/2, BD=2b

AB=2AC=2a

BD^2=AB^2+AD^2-2AB*AD*cos1

4b^2=4a^2+c^2-4ac*cos1  (1)

CD^2=AC^2+AD^2-2AC*AD*cos1

b^2=a^2+c^2-2ac*cos1  (2)

(2)*4-(1) 得 3c^2-4ac*cos1=0

c≠0  c=(4cos1/3)*a  即AD=(4cos1/3)*AC

k=4cos1/3   0 <∠BAC<180   0<∠1<90

故0<k<4/3

2, S(ABC)=AB*AC*sin(2∠1)/2

               =2a^2sin1cos1   (k=4cos1/3   cos1=3k/4)

            1=3ka^2sin1/2         a^2=2/3ksin1

BC^2=AB^2+AC^2-2AB*AC*cos(2∠1)

        =4a^2+a^2-4a^2[1-2(sin1)^2]

         =a^2+8a^2(sin1)^2    (a^2=2/3ksin1)

         =2/3ksin1+16sin1/3k   (k=4cos1/3)

         =1/2sin1cos1+4sin1/cos1

         =[1+8(sin1)^2]/(2sin1cos1)

         =[(3sin1)^2+(cos1)^2]/(2sin1cos1)

         ≥6sin1cos1/2sin1cos1=3      (当3sin1=cos1时取最小值)

BC最小值为√3

          3sin1=cos1   tan1=1/3   cos1=3√10/10

          k=4cos1/3

            =2√10/5

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宁晋县18232905416： 在 三角形ABC中,若AB=2AC,则AC是最小边,且AC大于三角形ABC周长的1/6,而小于三角形ABC周长的1/4,请说 - ？
许汪三七： 因为 AB=2AC又因为AB-AC < BC<AB+AC 也就是AC<BC<3AC 周长=AB+AC+BC=3AC+BC 所以3AC+AC<AB+BC+AC<3AC+3AC4 AC< 周长<6AC 所以 AC大于三角形ABC周长的1/6小于三角形ABC周长的1/4

宁晋县18232905416： 如图,在△ABC中,AB=2AC - ？
许汪三七： 延长AC到E,使AC=CE,连接DE AB=AE,AD是∠BAC的角平分线,AD=AD,三角ABD和AED全等 AD=BD,所以AD=ED 等腰三角形AED中,因为AC=CE,所以DC为角ADE的平分线,即∠ADE=2∠ADC 因为角ADB=ADE,即∠ADB=2∠ADC

宁晋县18232905416： 在三角形ABC中,AB=2AC,若三角形ABC的 最短边与三角形的周长之比为K,则K的取值范围是 - ？
许汪三七： 设 AC 长度是1个单位,AB=2 设 BC = x 根据三角形两边之和大于第3边,差小于第三边,则1 < x < 3 因此 AC 始终是最短边 三角形的周长 S = AB+AC+BC = 2 + 1 + x 因此 4 < S < 6 K = S/AC = S/1 = S 因此 4 < K < 6

宁晋县18232905416： 超简单```已知:在三角形ABC中,AB=2AC,求证:AC - ？
许汪三七：[答案] 1 证明:因为 AB+AC 》BC AB=2AC所以 2AC+AC》BC即 3AC》BCBC《3AC ————1因为 AC+BC》ABAB=2AC所以 AC+BC》2AC即 BC》AC ————2由1,2得 AC《BC〈3AC 2证明:求证什么没看明白啊!汗一个3证明:连接OA证明三角...

宁晋县18232905416： 超简单```已知:在三角形ABC中,AB=2AC,求证:AC<BC<3AC？
许汪三七： 1 证明:因为 AB+AC 》BC AB=2AC 所以 2AC+AC》BC 即 3AC》BC BC《3AC ————1 因为 AC+BC》AB AB=2AC 所以 AC+BC》2AC 即 BC》AC ————2 由1,2得 AC《BC〈3AC 2证明:求证什么没看明白啊!汗一个 3证明:连接OA 证明三角形全等 步骤就不写了

宁晋县18232905416： 在三角形ABC中,角C=90度,AB=2AC求角A,角B的度数 - ？
许汪三七： 连接C与AB中点D ∠ACB=90,AB为斜边,所以CD为斜边上中线 因此CD=BD=AD=AB/2 AC=AB/2,所以AC=AD=CD △ACD三边相等,因此为等边三角形,∠A=60 ∠B=90-∠A=30

宁晋县18232905416： 在直角三角形ABC中,角C是90度,AB=2AC,求角A,角B的度数 - ？
许汪三七： AB=2AC 直角三角形斜边 等于直角边长度2倍,则B = 30° A = 60°

宁晋县18232905416： 在直角三角形ABC中 角C=90°AB=2AC - ？
许汪三七： 在AC边上找到中点D,连接CD,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以推出CD=AD=BD,又AB=2AC推出AC=AD=BD,推出AC=AD=CD,三角形ACD是等边三角形,就得到角A=60度,又角A+角B=90度,那么角B=90度-60度=30度.角A的度数是60度,角B的度数是30度.

宁晋县18232905416： 在直角三角形abc中,角c=90°ab=2ac求角a角b度数? - ？
许汪三七： 角c=90°ab=2ac,AC=1/2AB ,而AB为角C所对的斜边,在直角三角形中,30度所对的直角边等于斜边的一半.角B=30度,角A=60度.

宁晋县18232905416： 在三角形ABC中,若AB=2AC,则AC是最小边,且AC大于三角形ABC周长的六分之一,而小于三角形ABC周长的四分之一,请说明这是为什么？
许汪三七： 三角形任意两边之和大于第三边,所以BC若小于或等于AC,就够不成三角形.若AC小于三角形ABC周长的六分之一,AB=2AC,那么AB小于三角形ABC周长的三分之一,则BC大于三角形ABC周长的一半,就够不成三角形.若AC大于ABC周长的四分之一,则AB大于ABC周长的二分之一,就够不成三角形.