已知数列{an}满足a1=1/3,a2=7/9,an+2=4/3an+1-1/3an (1)求{an}的通项公式 (2)求数列{nan}的前n项和Sn
a(n+2)-a(n+1)=(1/3)[a(n+1)-a(n)],
{a(n+1)-a(n)}是首项为a(2)-a(1)=7/9 - 1/3 = 4/9,公比为(1/3)的等比数列.
a(n+1)-a(n) = (4/9)(1/3)^(n-1) = 4/3^(n+1),
a(n+1)3^(n+1) = 3a(n)3^(n) + 4,
2+a(n+1)3^(n+1) = 3[2 + a(n)3^n]
{2+a(n)3^(n)}是首项为2+3a(1)=2+1=3,公比为3的等比数列.
2+a(n)3^n = 3*3^(n-1)=3^n,
a(n) = 1 - 2/3^n
na(n) = n - 2n/3^n
s(n) = 1-2/3 + 2-2*2/3^2 + ... +(n-1)-2(n-1)/3^(n-1) + n-2n/3^n
=1+2+...+(n-1)+n - 2[1/3 + 2/3^2 + ... + (n-1)/3^(n-1) + n/3^n]
=n(n+1)/2 - 2t(n).
t(n) = 1/3 + 2/3^2 + ... + (n-1)/3^(n-1) + n/3^n
3t(n) = 1 + 2/3 + ... + (n-1)/3^(n-2) + n/3^(n-1)
2t(n) = 3t(n) - t(n) = 1 + 1/3 + ... + 1/3^(n-2) + 1/3^(n-1) - n/3^n
=[1-1/3^n]/(1-1/3) - n/3^n
= (3/2)[1-1/3^n] - n/3^n
s(n)=n(n+1)/2 - 2t(n)
=n(n+1)/2 -(3/2)[1-1/3^n] + n/3^n
3*a(n+2)-4*a(n+1)+an=0,
特征方程3x^2-4x+1=0两特征根为x=1或1/3..
这样有3a(n+2)-a(n+1)=3a(n+1)-an,
继续写,有3a(n+1)-an=3an-a(n-1)=…=3a2-a1=7/3-1/3=2,
因此对于任意的正整数n,有3a(n+1)-an=2,
3*a2=a1+2,
3^2*a3=3*a2+2*3,
3^3*a4=3^2*a3+2*3^2,
…
3^(n-1)*an=3^(n-2)*a(n-1)+2*3^(n-2),
对于n>2,将各式相加,有:
3^(n-1)*an=a1+2[1+3+…+3^(n-2)]=1/3+3^(n-1)-1=3^(n-1)-2/3,
an=1-2/(3^n),
经检验,a1,a2均满足该公式,
因此,对于任意的正整数n,有an=1-2/(3^n)..
Sn=a1+…+an=[1-2/(3^1)]+…+[1-2/(3^n)]
=n-2/3*(1-1/3^n)/(1-1/3)=n-1+1/(3^n)..
∵an+2=4/3an+1-1/3an
∴a(n+2)-a(n+1)=1/3[a(n+1)-an]
∴[a(n+2)-a(n+1)]/[a(n+1)-an] =1/3
则{a(n+1)-an} 为等比数列,公比为1/3
∴a(n+1)-an=(a2-a1)(1/3)^(n-1)=4/9 (1/3)^(n-1)
a(n+1)-an=4/9 (1/3)^(n-1)
n≥2时
a2-a1=4/9
a3-a2=4/9*1/3
a4-a3=4/9*(1/3)^2
...............................
an-an-1=4/9*(1/3)^(n-2)
an-a1=4/9+4/9*1/3+.............+4/9*(1/3)^(n-2)
=4/9[1-1/3^(n-1)]/(1-1/3)=2/3[1-1/3^(n-1)]
an=2/3[1-1/3^(n-1)]+1/3=1-2/3^n
当n=1时,上式也成立
所以, an=1-2/3^n
2. nan=n-2n/3^n 每项由两部分构成,可分别单独求和
令 Pn=2/3+4/3^2+6/3^3+......+2n/3^n (1)
1/3Pn=2/3^2+4/3^3+......+2(n-1)/3^n+2n/3^(n+1) (2)
(1)-(2): 2/3Pn=2/3+2/9+2/27+......+2/3^n-2n/3^(n+1)
=(2/3)[1-1/3^n]/(1-1/3)-2n/3^(n+1)
=1-1/3^n-2n/3^(n+1)=1-(2n+3)/3^(n+1)
Pn=3/2-(2n+3)/(2*3^n)
令Qn=1+2+3+.....+n=n(n+1)/2
数列(nan}前n项和
Tn=Pn+Qn=n(n+1)/2+3/2-(2n+3)/(2*3^n)
我觉得没错 可以做啊 错位相减
已知数列{an}满足a1=1,an=an-1+n(n≥2)。(1)求a2,a3的值 (2)求数列{...
a2=a1+1=1+1=2 a3=a2+2=2+2=4 an=a(n-1)+n an-a(n-1)=n ...a3-a2=3 a2-a1=2 以上等式相加得 an-a1=2+3+...+n an-a1=(2+n)(n-1)\/2 an-1=(2+n)(n-1)\/2 an=(2+n)(n-1)\/2+1 an=(n^2+n-2+2)\/2 an=(n^2+n)\/2 an=n(n+1)\/2 1\/an=2...
已知数列{an}满足a1=0,an+1-an=n,(1)求数列{an}的通项公式,(2)求数列...
(1)a2-a1=1 a3-a2=2 a4-a3=3 ...an-an-1=n-1 上面n-1个式子左右分别相加得到:an-a1=1+2+3+...(n-1)所以an=(1+n-1)(n-1)\/2=n(n-1)\/2 2、1\/an=2\/[n(n-1)]=2\/(n-1)-2\/n sn=2[1-1\/2+1\/2-1\/3+1\/3-1\/4+...+1\/(n-1)-1\/n]=2(1-1\/n)...
已知数列{An}满足:A1=5 An+1=2An+3(n∈N*)求an的通项公式
解
已知数列{an}满足a1=1,a(n+1)=an\/(2an+1)。归纳推测an,并用数学归纳法...
由递推公式可得 a1=1 ,a2=1\/3 ,a3=1\/5 ,a4=1\/7 ,推测 an=1\/(2n-1) 。证明:(1)当 n=1 时,显然成立 ,(2)设当 n=k 时有 ak=1\/(2k-1)(k>=1) ,则当 n=k+1 时有 a(k+1)=ak\/(2ak+1)=[1\/(2k-1)] \/ [2\/(2k-1)+1]=[1\/(2k-1)] \/ [(2k+1...
已知数列{an}满足Sn+an=2n+1.求an
两式相减:Sn-S(n-1)+an-a(n-1)=2 => an+an-a(n-1)=2 => 2an-a(n-1)=2 2(an-2)=a(n-1)-2 => {an-2}为等比数列 S1+a1=2a1=3 =>a1=3\/2 an-2=-1\/2 *(1\/2)^(n-1)=-1\/2^n an=-1\/2^n + 2 除法的法则:被除数和除数同时乘或者除以相同的数(零除外...
已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+3*2^n求an
a1\/2⁰=1\/1=1 数列{an\/2ⁿ⁻¹}是以1为首项,3为公差的等差数列 an\/2ⁿ⁻¹=1+3(n-1)=3n-2 an=(3n-2)·2ⁿ⁻¹n=1时,a1=(3·1-2)·2⁰=1,a1=1同样满足表达式 数列{an}的通项公式为an=(3n-2)·2...
已知数列{an}满足
累加法求解:an-an-1=3(n-1)+2 an-1-an-2=3(n-2)+2 an-2-an-3=3(n-3)+2 ……a2-a1=3*1+2=5 所以全部加合为:(注意,等式左边只剩下an和a1这两项,其他都消去了)an-a1=5+……+3(n-3)+2+3(n-2)+2+3(n-1)+2=2(n-1)+(n-1)(3+3n-3)\/2=3n(n-1)\/...
已知数列{an}满足a1=1,a2=3Sn为数列an的前n项和,Tn为数列{an+an+1}的...
我理解您的问题是:已知数列{an},其中a1=1,a2=3,Sn表示数列{an}的前n项和,Tn表示数列{an+an+1}的前n项和,请问这个数列符合什么规律?首先可以得出数列的前四项为:a1=1, a2=3, a3=6, a4=10。由此可得,第n项可以表示为:an = n(n-1)\/2。接着计算{an+an+1}的前n项和,得到...
已知数列{an}满足a1=1,an+1-2an=2的n次方,求an?
解:不知你学过等差、等比数列没?这里用递推的方法求解!因为:a(n+1)=2an+2^n 所以:an=2a(n-1)+2^(n-1)=2[2a(n-2)+2^(n-2)]+2^(n-1)=2²a(n-2)+2^(n-1)+2^(n-1)=2²a(n-2)+2*2^(n-1)=2²[2a(n-3)+2^(n-3)]+2*2^(n-1)=...
已知数列{an}满足1\/3an≤an+1≤3an,n∈N*,a1=1.(1)若a2=2,a3=x,a4=...
第一问中,根据题意得,1\/3a2小于等于a3小于等于3a2,1\/3a3小于等于a4小于等于3a3,代入即可 解:(1)由题意可得:1\/3a2小于等于a3小于等于3a2,所以2\/3小于等于x小于等于6;详细答案看这里http:\/\/gz.qiujieda.com\/exercise\/math\/803980数列{an}满足1\/3an≤an+1≤3an,n∈N*,a1=1.(1...
平黎联苯: (1) an=(a(n-1))/(((-1)^n)a(n-1)-2) (-1)^n(an.a(n-1)) - 2an = a(n-1) (-1)^n - 2/a(n-1) = 1/an -2( 1/(an-1) + (-1)^(n-1)) = 1/an +(-1)^n [1/an +(-1)^n]/( 1/(an-1) + (-1)^(n-1)) = -2 [1/an +(-1)^n]/(1/a1-1)=(-2)^(n-1) 1/an +(-1)^n = (3). (-2)^(n-1) an =1/[3. (-2)^(n-1) ...
中宁县15244666358: 已知数列{an}满足a1=1/4 , an=an - 1/[( - 1)∧n·an - 1 - 2] (n≥2,n - ?
平黎联苯: a(n+1) = a(n)/[(-1)^(n+1)a(n)-2],若a(n+1)=0,则a(n)=0, ..., a(1)=0,与a(1)=1/4矛盾.因此,a(n)不为0.1/a(n+1) = [(-1)^(n+1)a(n)-2]/a(n) = (-1)^(n+1) - 2/a(n) = -(-1)^n -2/a(n)= (-2)*(-1)^n + (-1)^n - 2/a(n),1/a(n+1) - (-1)^n = -2/a(n) -2*(-1)^n,1/a(n+1)...
中宁县15244666358: 已知数列an满足a1=1.a2=3,an+2=3an+1 - 2an(3)若数列bn满足4^(b1 - 1)*4^(b2 - 1)…4^(bn - 1)=(an+1)^bn,证明bn是等差数列 - ?
平黎联苯:[答案] a(n+2)=3*a(n+1)-2*an a(n+2)-a(n+1)=2*(a(n+1)-an) a2-a1=3-1=2 a(n+1)-an=2^n a(n+2)-2a(n+1)=a(n+1)-2*an a2-2*a1=3-2=1 a(n+1)-2*an=1 an=2^n-1 4^(b1-1)*4^(b2-1)*…*4^(bn-1)=4^(b1+b2+…+bn-n) an+1=2^n 4^(b1+b2+…+bn-n)=(an+1)^bn=4^(n...
中宁县15244666358: 已知数列an满足a1=1,a2=4.an+2+2an=3an+1 - ?
平黎联苯:[答案] 由an+2+2an-3an+1=0 得an+2-an+1=2(an+1-an), ∴数列{an+1-an}是以a2-a1=3为首项,公比为2的等比数列 ∴an+1-an=3·2n-1, ∴n≥2时,an-an-1=3·2n-2,…,a3-a2=3·2,a2-a1=3, 累加得an-a1=3·2n-2+…+3·2+3=3(2n-1-1), ∴an=3·2n-1-2...
中宁县15244666358: 已知数列{an}满足a1=1,a(n+1)=2an+1(n∈N)(1)求数列{an}的通项公式(2)若数列{bn}满足4^(b1 - 1).4^(2b2 - 1).4^(3b3 - 1)…4^(nbn - 1)=(an+1)^n,求数列{bn}的... - ?
平黎联苯:[答案] a(n+1)=2an+1 a(n+1)+1=2[an+1] [a(n+1)+1]/[an+1]=2等比公比为2首项2 an+1=2*2(n-1)=2^n an=2^n-1 (2) 4^(b1+2b2+3b3+……+nbn-n) =(2^n)^n=2^n*n 2(b1+2b2+3b3+……+nbn-n)=n^2 Bn=b1+2b2+3b3+……+nbn=1/2*n^2+n Bn-Bn-1=nbn=n+1/2 ...
中宁县15244666358: 已知数列{an}满足a1=4,an=4 - 4/an - 1 - ?
平黎联苯: an=4-4/a(n-1) an-2=2-4/a(n-1)=2{[a(n-1)-2]/a(n-1)}1/(an-2)=1/2+1/[a(n-1)-2]、1/(a1-2)=1/2 bn=1/(an-2)=1/2+b(n-1) bn-b(n-1)=1/2 所以数列{bn}是以1/2为首项,以1/2为公关的等差数列,bn=n/21/(an-2)=n/2 得an=(2/n)+2 wangcai3882这个人是粘贴的,大家别理他
中宁县15244666358: 已知数列an满足a1=1/4,an=a[n - 1]/( - 1)^n•a[n - 1] - 2已知数列{a[n]}满足a1=1/4,an=a[n - 1]/( - 1)^n•a[n - 1] - 2(n大于等于2,n属于N)⑴求数列{a[n]}的通项公式a[n]⑵设... - ?
平黎联苯:[答案] 1.an=a[n-1]/(-1)^n•a[n-1]-2(n大于等于2,n属于N) 1/a(n)=(-1)^n-2/a(n-1) 1/a(n+1)=(-1)^(n+1)-2/a(n) 1/a(n+1)+1/a(n)=-2(1/a(n-1)+1/a(n)) [1/a(n+1)+1/a(n)]/[1/a(n-1)+1/a(n)]=-2 所以数列{1/a(n+1)+1/a(n)}为等比数列,公比q=-2 1/a(n+1)+1/a(n)=[1/a(2)+1/a(...
中宁县15244666358: 已知数列{an}满足a1=1,a2=4,a(n+2)+2an=3a(n+1),(n∈N*) - ?
平黎联苯: (1)a(n+2)+2an=3a(n+1)变形为a(n+2)-a(n+1)=2[a(n+1)-an],因此新数列{a(n+1)-an}是首项为3,公比为2的等比数列,所以a(n+1)-an=3*2^(n-1),两边同时减去3*2^n,整理得:a(n+1)-3*2^n=an-3*2^(n-1)=a1-3=-2,所以an=3*2^(n-1)-2 (2)由于an...
中宁县15244666358: 已知数列{an}满足:a1=1,a2=x(x∈N*),an+2=|an+1 - an|,若前2014项中恰好含有667项为0,则x的值为---- - ?
平黎联苯: 当x=1时,数列数列{an}的各项为1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0…,所以在前2010项中恰好含有2014 3 =6711 3 项为0,即有671项为0;当x=2时,数列数列{an}的各项为1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0…,所以在前2014项中恰好含有2014?2 3 =6702 3 项为0,即有...
中宁县15244666358: 等差数列已知数列{an}满足a1=4,an+1=4 - (4/an)(n大于等于1),令bn=1/(an - 2) - ?
平黎联苯: an+1=4-(4/an) a(n+1)-2=2- 4/an b(n+1)=1/(a(n+1)-2)=1/(2-4/an)=an/(2an-4)=an/2(an-2) bn=1/(an-2) 所以:b(n+1)-bn=[1/(an-2)]*(an-2)/2=1/2 所以数列{bn}是等差数列 2 bn=1/(an-2)为等差数列,首项b1=1/(a1-2)=1/2 公差为1/2 所以:bn=1/2+(1/2)*(n-1)=n/2 所以1/(an-2)=n/2 an-2=2/n an=2+2/n 当n=1时也成立!所以数列{an}的通项公式为an=2+2/n