求初中数学动点问题的题目及答案！354631366

初二数学动点问题（含答案）~

25．（本题8分）如图,直线y = kx+6与x轴y轴分别相交于点E,F.
点E的坐标为(- 8, 0), 点A的坐标为(- 6,0). 点P（x,y）是第二象限内的直线上的一个动点。
(1).求K的值；
(2).当点P运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3).探究：当P运动到什么位置（求P的坐标）时，△OPA的面积为27／8，并说明理由

关于动点问题的总结

“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静
关键:动中求静.
数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想
一、建立函数解析式
函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,和动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,
一、应用勾股定理建立函数解析式
例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上,有一个动点P,PH⊥OA,垂足为H,△OPH的重心为G.
(1)当点P在弧AB上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.
(2)设PH ,GP ,求 关于 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量 的取值范围).
H
M
N
G
P
O
A
B
图1


(3)如果△PGH是等腰三角形,试求出线段PH的长.
解:(1)当点P在弧AB上运动时,OP保持不变,于是线段GO、GP、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH= NH= OP=2.
(2)在Rt△POH中, , ∴ .
在Rt△MPH中,

.

∴ =GP= MP= (0< <6).
(3)△PGH是等腰三角形有三种可能情况:
①GP=PH时, ,解得 . 经检验, 是原方程的根,且符合题意.
②GP=GH时, ,解得 . 经检验, 是原方程的根,但不符合题意.
③PH=GH时, .
综上所述,如果△PGH是等腰三角形,那么线段PH的长为 或2.
二、应用比例式建立函数解析式
例2（2006年·山东）如图2,在△ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动.设BD= CE= .
(1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定 与 之间的函数解析式；
A
E
D
C
B
图2
(2)如果∠BAC的度数为 ,∠DAE的度数为 ,当 , 满足怎样的关系式时,(1)中 与 之间的函数解析式还成立?试说明理由.
解:(1)在△ABC中,∵AB=AC,∠BAC=30°,
∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.
∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°,
又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°,
∴∠CAE=∠ADB,
∴△ADB∽△EAC, ∴ ,
∴ , ∴ .
O
●
F
P
D
E
A
C
B
3(1)
(2)由于∠DAB+∠CAE= ,又∠DAB+∠ADB=∠ABC= ,且函数关系式成立,
∴ = , 整理得 .
当 时,函数解析式 成立.
例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O是边AC上的一个动点,以点O为圆心作半圆,与边AB相切于点D,交线段OC于点E.作EP⊥ED,交射线AB于点P,交射线CB于点F.
●
P
D
E
A
C
B
3(2)
O
F
(1)求证: △ADE∽△AEP.
(2)设OA= ,AP= ,求 关于 的函数解析式,并写出它的定义域.
(3)当BF=1时,求线段AP的长.
解:(1)连结OD.
根据题意,得OD⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.
又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE∽△AEP.
(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD∥BC, ∴ , ,
∴OD= ,AD= . ∴AE= = .
∵△ADE∽△AEP, ∴ , ∴ . ∴ ( ).
(3)当BF=1时，
①若EP交线段CB的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.
∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE,
∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE.
∴5- =4,得 .可求得 ,即AP=2.
②若EP交线段CB于点F,如图3(2), 则CF=2.
类似①,可得CF=CE.
∴5- =2,得 .
可求得 ,即AP=6.
综上所述, 当BF=1时,线段AP的长为2或6.
三、应用求图形面积的方法建立函数关系式
A
B
C
O
图8
H
例4（2004年·上海）如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC= ,⊙A的半径为1.若点O在BC边上运动(与点B、C不重合),设BO= ,△AOC的面积为 .
(1)求 关于 的函数解析式,并写出函数的定义域.
(2)以点O为圆心,BO长为半径作圆O,求当⊙O与⊙A相切时,
△AOC的面积.
解:(1)过点A作AH⊥BC,垂足为H.
∵∠BAC=90°,AB=AC= , ∴BC=4,AH= BC=2. ∴OC=4- .
∵ , ∴ ( ).
(2)①当⊙O与⊙A外切时,
在Rt△AOH中,OA= ,OH= , ∴ . 解得 .
此时,△AOC的面积 = .
②当⊙O与⊙A内切时,
在Rt△AOH中,OA= ,OH= , ∴ . 解得 .
此时,△AOC的面积 = .
综上所述,当⊙O与⊙A相切时,△AOC的面积为 或 .
二：动态几何题
动态几何特点----问题背景是特殊图形，（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值
一、以动态几何为主线的题
（一）点动问题．
1．如图， 中， ， ，点 在边 上，且 ，以点 为顶点作 ，分别交边 于点 ，交射线 于点 ．
（1）当 时，求 的长；
（2）当以点 为圆心 长为半径的⊙ 和以点 为圆心 长为半径的⊙ 相切时，
求 的长；
（3）当以边 为直径的⊙ 与线段 相切时，求 的长．
[题型背景和区分度测量点]
解：（1） 证明 ∽ ∴ ，代入数据得 ，∴AF=2
（2）　设BE= ,则 利用（1）的方法 ，
相切时分外切和内切两种情况考虑： 外切， ， ；
内切， ， ．
∴当⊙ 和⊙ 相切时， 的长为 或 ．
（3）当以边 为直径的⊙ 与线段 相切时， ．
（二）线动问题
在矩形ABCD中，AB＝3，点O在对角线AC上，直线l过点O，且与AC垂直交AD于点E.(1)若直线l过点B，把△ABE沿直线l翻折，点A与矩形ABCD的对称中心A＇重合，求BC的长；
A
B
C
D
E
O
l
A′
(2)若直线l与AB相交于点F，且AO＝ AC，设AD的长为 ，五边形BCDEF的面积为S.①求S关于 的函数关系式，并指出 的取值范围；
②探索：是否存在这样的 ，以A为圆心，以 长为半径的圆与直线l相切，若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由．
(1)∵A’是矩形ABCD的对称中心∴A’B＝AA’＝ AC
∵AB＝A’B，AB＝3∴AC＝6
(2)① ， ， ，
∴ ，
( )
②若圆A与直线l相切，则 ， (舍去)， ∵ ∴不存在这样的 ，使圆A与直线l相切．
（三）面动问题
如图，在 中， ， 、 分别是边 、 上的两个动点（ 不与 、 重合），且保持 ，以 为边，在点 的异侧作正方形 .
（1）试求 的面积；
（2）当边 与 重合时，求正方形 的边长；
（3）设 ， 与正方形 重叠部分的面积为 ，试求 关于 的函数关系式，并写出定义域；
（4）当 是等腰三角形时，请直接写出 的长．
解：（1） .
（2）令此时正方形的边长为 ，则 ，解得 .
（3）当 时， ，
当 时， .
（4） .
A
B
F
D
E
M
N
C

已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=30º，BC=6，点D在边BC上，点E在线段DC上，DE=3，△DEF是等边三角形，边DF、EF与边BA、CA分别相交于点M、N．
　 （1）求证：△BDM∽△CEN；
　　　　　　（2）设BD= ，△ABC与△DEF重叠部分的面积为 ，求 关于 的函数解析式，并写出定义域．
（3）当点M、N分别在边BA、CA上时,是否存在点D，使以M为圆心, BM为半径的圆与直线EF相切, 如果存在，请求出x的值；如不存在，请说明理由．
例1：已知⊙O的弦AB的长等于⊙O的半径，点C在⊙O上变化（不与A、B）重合，求∠ACB的大小 .
分析：点C的变化是否影响∠ACB的大小的变化呢?我们不妨将点C改变一下,如何变化呢？可能在优弧AB上，也可能在劣弧AB上变化，显然这两者的结果不一样。那么，当点C在优弧AB上变化时，∠ACB所对的弧是劣弧AB，它的大小为劣弧AB的一半，因此很自然地想到它的圆心角，连结AO、BO，则由于AB=OA=OB，即三角形ABC为等边三角形，则∠AOB=600，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠ACB= ∠AOB=300，
当点C在劣弧AB上变化时，∠ACB所对的弧是优弧AB，它的大小为优弧AB的一半，由∠AOB=600得，优弧AB的度数为3600-600=3000，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠ACB=1500，
因此，本题的答案有两个，分别为300或1500.
专题三：双动点问题
点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点，现采撷几例加以分类浅析，供读者欣赏.
1 以双动点为载体，探求函数图象问题 　　
　　例1 (2007年杭州市)在直角梯形ABCD中，∠C=90°，高CD=6cm(如图1). 动点P，Q同时从点B出发，点P沿BA，AD，DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，两点运动时的速度都是1cm/s. 而当点P到达点A时，点Q正好到达点C. 设P，Q同时从点B出发，经过的时间为t(s)时，△BPQ的面积为y(cm)2(如图2). 分别以t，y为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点P在AD边上从A到D运动时，y与t的函数图象是图3中的线段MN.
　　(1)分别求出梯形中BA，AD的长度；
　　(2)写出图3中M，N两点的坐标；
　　(3)分别写出点P在BA边上和DC边上运动时，y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围)，并在图3中补全整个运动中y关于x的函数关系的大致图象.
　　　　 2 以双动点为载体，探求结论开放性问题
　　 例2 (2007年泰州市)如图5，Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30°.它的顶点A的坐标为(10，0)，顶点B的坐标为(5，53)，AB=10，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D(0，2)出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒.
　　(1)求∠BAO的度数.
　　(2)当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S(平方单位)与时间t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分，(如图6)，求点P的运动速度.
　　(3)求(2)中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标.
　　(4)如果点P，Q保持(2)中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点P沿这两边运动时，使∠OPQ=90°的点P有几个?请说明理由.
　　解 (1)∠BAO=60°.
　　(2)点P的运动速度为2个单位/秒. 　　
　
　　3 以双动点为载体，探求存在性问题 　　
　　例3 (2007年扬州市)如图8，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米(a>3).动点M，N同时从B点出发，分别沿B→A，B→C运动，速度是1厘米/秒.过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q.当点N到达终点C时，点M也随之停止运动.设运动时间为t秒.
　　(1)若a=4厘米，t=1秒，则PM=厘米；
　　(2)若a=5厘米，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；
　　(3)若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围；
　　(4)是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面积都相等?若存在，求a的值；若不存在，请说明理由. 　
　　
　4 以双动点为载体，探求函数最值问题 　　
　　例4 (2007年吉林省)如图9，在边长为82cm的正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，它们分别从点A、C同时出发，沿对角线以1cm/s的相同速度运动，过E作EH垂直AC交Rt△ACD的直角边于H；过F作FG垂直AC交Rt△ACD的直角边于G，连结HG、EB.设HE、EF、FG、GH围成的图形面积为S1，AE、EB、BA围成的图形面积为S2(这里规定：线段的面积为0).E到达C，F到达A停止.若E的运动时间为x(s)，解答下列问题：
　　(1)当0<X
　　(2)①若y是S1与S2的和，求y与x之间的函数关系式； (图10为备用图)
　　②求y的最大值.
　　解 (1)以E、F、G、H为顶点的四边形是矩形，因为正方形ABCD的边长为82，所以AC=16，过B作BO⊥AC于O，则OB=89，因为AE=x，所以S2=4x，因为HE=AE=x，EF=16-2x，所以S1=x(16-2x)， 当S1=S2时， 4x=x(16-2x)，解得x1=0(舍去)，x2=6，所以当x=6时， S1=S2.
　　(2)①当0≤x<8时，y=x(16-2x)+4x=-2x2+20x，
　　当8≤x≤16时，AE=x，CE=HE=16-x，EF=16-2(16-x)=2x-16，
　　所以S1=(16-x)(2x-16)， 所以y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256.
　　②当0≤x<8时，y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50，所以当x=5时，y的最大值为50.
　　当8≤x≤16时，y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82，
　　所以当x=13时，y的最大值为82.
　　综上可得，y的最大值为82.
　　评析 本题是以双动点为载体，正方形为背景创设的函数最值问题.要求学生认真读题、领会题意、画出不同情况下的图形，根据图形建立时间变量与其它相关变量的关系式，进而构建面积的函数表达式. 本题在知识点上侧重对二次函数最值问题的考查，要求学生有扎实的基础知识、灵活的解题方法、良好的思维品质；在解题思想上着重对数形结合思想、分类讨论思想、数学建模等思想的灵活运用.
四：函数中因动点产生的相似三角形问题
例题 如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。
⑴求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为 ）
⑵若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；
⑶连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

例1题图
图1
图2






分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB为边和对角线两种情况
2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径
① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。

好吧

加我啊
我下载下来了
准备发过去
图现在发不上去
qq传给你
初二动点问题
如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts．（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？（3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？

分析：
（1）四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ．（2）四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE．（3）四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC．所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可．
解答：
解：（1）∵四边形PQCD平行为四边形∴PD=CQ∴24-t=3t解得：t=6即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形．
（2）过D作DE⊥BC于E则四边形ABED为矩形∴BE=AD=24cm∴EC=BC-BE=2cm∵四边形PQCD为等腰梯形∴QC-PD=2CE即3t-（24-t）=4解得：t=7（s）即当t=7（s）时，四边形PQCD为等腰梯形．（3）由题意知：QC-PD=EC时，四边形PQCD为直角梯形即3t-（24-t）=2解得：t=6.5（s）即当t=6.5（s）时，四边形PQCD为直角梯形．
点评：
此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中．

如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．（1）试说明EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．

分析：
（1）根据CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．（3）利用已知条件及正方形的性质解答．
解答：
解：（1）∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC，同理，OC=OF，∴OE=OF．（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．如图AO=CO，EO=FO，∴四边形AECF为平行四边形，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE= ∠ACB，同理，∠ACF= ∠ACG，∴∠ECF=∠ACE+∠ACF= （∠ACB+∠ACG）= ×180°=90°，∴四边形AECF是矩形．（3）△ABC是直角三角形∵四边形AECF是正方形，∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，∵MN∥BC，∴∠BCA=∠AOM，∴∠BCA=90°，∴△ABC是直角三角形．
点评：
本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论（1），再利用结论（1）和矩形的判定证明结论（2），再对（3）进行判断．解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用．

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．（1）求NC，MC的长（用t的代数式表示）；（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形；（3）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（4）探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形．

分析：
（1）依据题意易知四边形ABNQ是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD已知，DQ就是t，即解；∵AB∥QN，∴△CMN∽△CAB，∴CM：CA=CN：CB，（2）CB、CN已知，根据勾股定理可求CA=5，即可表示CM；四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解；（3）可先根据QN平分△ABC的周长，得出MN+NC=AM+BN+AB，据此来求出t的值．然后根据得出的t的值，求出△MNC的面积，即可判断出△MNC的面积是否为△ABC面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t值．（4）由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论：①当MP=MC时，那么PC=2NC，据此可求出t的值．②当CM=CP时，可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值．③当MP=PC时，在直角三角形MNP中，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的值．综上所述可得出符合条件的t的值．
解答:
解：（1）∵AQ=3-t∴CN=4-（3-t）=1+t在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42∴AC=5在Rt△MNC中，cos∠NCM= = ，CM= ．（2）由于四边形PCDQ构成平行四边形∴PC=QD，即4-t=t解得t=2．（3）如果射线QN将△ABC的周长平分，则有：MN+NC=AM+BN+AB即： （1+t）+1+t= （3+4+5）解得：t= （5分）而MN= NC= （1+t）∴S△MNC= （1+t）2= （1+t）2当t= 时，S△MNC=（1+t）2= ≠ ×4×3∴不存在某一时刻t，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分．
（4）①当MP=MC时（如图1）则有：NP=NC即PC=2NC∴4-t=2（1+t）解得：t= ②当CM=CP时（如图2）则有：（1+t）=4-t解得：t= ③当PM=PC时（如图3）则有：在Rt△MNP中，PM2=MN2+PN2而MN= NC= （1+t）PN=NC-PC=（1+t）-（4-t）=2t-3∴[ （1+t）]2+（2t-3）2=（4-t）2解得：t1= ，t2=-1（舍去）∴当t= ，t= ，t= 时，△PMC为等腰三角形
点评：
此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质．考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．

如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．
（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．
分析：
以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合，此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm；或者点Q、M重合且点P、N不重合，此时AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC=BC即x+3x=20cm．所以可以根据这两种情况来求解x的值．
以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧．当点P在点N的左侧时，AP=MC，BQ=ND；当点P在点N的右侧时，AN=MC，BQ=PD．所以可以根据这些条件列出方程关系式．
如果以P，Q，M，N为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm，AP=ND即2x=x2，BQ=MC即x=3x，x≠0．这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形．
解答：
解：（1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形．①当点P与点N重合时，由x2+2x=20，得x1= -1，x2=- -1（舍去）．因为BQ+CM=x+3x=4（ -1）＜20，此时点Q与点M不重合．所以x= -1符合题意．②当点Q与点M重合时，由x+3x=20，得x=5．此时DN=x2=25＞20，不符合题意．故点Q与点M不能重合．所以所求x的值为 -1．（2）由（1）知，点Q只能在点M的左侧，①当点P在点N的左侧时，由20-（x+3x）=20-（2x+x2），解得x1=0（舍去），x2=2．当x=2时四边形PQMN是平行四边形．②当点P在点N的右侧时，由20-（x+3x）=（2x+x2）-20，解得x1=-10（舍去），x2=4．当x=4时四边形NQMP是平行四边形．所以当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．（3）过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F．由于2x＞x，所以点E一定在点P的左侧．若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，则点F一定在点N的右侧，且PE=NF，即2x-x=x2-3x．解得x1=0（舍去），x2=4．由于当x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形．
点评：
本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点．

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，点M从点A开始，沿边AD向点D运动，速度为1cm/s；点N从点C开始，沿边CB向点B运动，速度为2cm/s、点M、N分别从点A、C出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，四边形MNCD是平行四边形？（2）当t为何值时，四边形MNCD是等腰梯形？
分析：
（1）根据平行四边形的性质，对边相等，求得t值；（2）根据等腰梯形的性质，下底减去上底等于12，求解即可．
解答：
解：（1）∵MD∥NC，当MD=NC，即15-t=2t，t=5时，四边形MNCD是平行四边形；（2）作DE⊥BC，垂足为E，则CE=21-15=6，当CN-MD=12时，即2t-（15-t）=12，t=9时，四边形MNCD是等腰梯形
点评：
考查了等腰梯形和平行四边形的性质，动点问题是中考的重点内容．

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动时间为t（s）．（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系；（2）当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？

分析：
（1）若过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形，得出PM=DC=12，由QB=16-t，可知：s= PM×QB=96-6t；（2）本题应分三种情况进行讨论，①若PQ=BQ，在Rt△PQM中，由PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，将各数据代入，可将时间t求出；②若BP=BQ，在Rt△PMB中，由PB2=BM2+PM2，BP=BQ，将数据代入，可将时间t求出；③若PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，将数据代入，可将时间t求出．
解答：
解：（1）过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形．∴PM=DC=12，∵QB=16-t，∴s= •QB•PM= （16-t）×12=96-6t（0≤t≤ ）．（2）由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况
： ①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2得t2+122=（16-t）2，解得 ； ②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=（16-2t）2+122，由PB2=BQ2得（16-2t）2+122=（16-t）2，此方程无解，∴BP≠PQ．③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16-2t）2+122得 ，t2=16（不合题意，舍去）．综上所述，当 或 时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．
点评：
本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．

直线y=- 34x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O⇒B⇒A运动．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t（秒），△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当S= 485时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．
分析：
（1）分别令y=0，x=0，即可求出A、B的坐标；（2））因为OA=8，OB=6，利用勾股定理可得AB=10，进而可求出点Q由O到A的时间是8秒，点P的速度是2，从而可求出，当P在线段OB上运动（或0≤t≤3）时，OQ=t，OP=2t，S=t2，当P在线段BA上运动（或3＜t≤8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，作PD⊥OA于点D，由相似三角形的性质，得 PD=48-6t5，利用S= 12OQ×PD，即可求出答案；（3）令S= 485，求出t的值，进而求出OD、PD，即可求出P的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出M的坐标．
解答：

解：（1）y=0，x=0，求得A（8，0）B（0，6），（2）∵OA=8，OB=6，∴AB=10．∵点Q由O到A的时间是 81=8（秒），∴点P的速度是 6+108=2（单位长度/秒）．当P在线段OB上运动（或O≤t≤3）时，OQ=t，OP=2t，S=t2．当P在线段BA上运动（或3＜t≤8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，如图，做PD⊥OA于点D，由 PDBO=APAB，得PD= 48-6t5．∴S= 12OQ•PD=- 35t2+245t．（3）当S= 485时，∵ 485＞12×3×6∴点P在AB上当S= 485时，- 35t2+245t= 485∴t=4∴PD= 48-6×45= 245，AD=16-2×4=8AD= 82-(245)2= 325∴OD=8- 325= 85∴P（ 85， 245）M1（ 285， 245），M2（- 125， 245），M3（ 125，- 245）
点评：
本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．

1、（宁夏回族自治区）已知：等边三角形 的边长为4厘米，长为1厘米的线段 在 的边 上沿 方向以1厘米/秒的速度向 点运动（运动开始时，点 与点 重合，点 到达点 时运动终止），过点 分别作 边的垂线，与 的其它边交于 两点，线段 运动的时间为 秒．
1、线段 在运动的过程中， 为何值时，四边形 恰为矩形？并求出该矩形的面积；
（2）线段 在运动的过程中，四边形 的面积为 ，运动的时间为 ．求四边形 的面积 随运动时间 变化的函数关系式，并写出自变量 的取值范围．

2、如图，在梯形 中， 动点 从 点出发沿线段 以每秒2个单位长度的速度向终点 运动；动点 同时从 点出发沿线段 以每秒1个单位长度的速度向终点 运动．设运动的时间为 秒．
（1）求 的长．
（2）当 时，求 的值．
（3）试探究： 为何值时， 为等腰三角形．

3、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为(6，0)，点B的坐标为(4，3)，点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t(秒)．
(1)求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC？
(2)设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，
并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？
若有最小值，最小值是多少？
(3)连接AC，那么是否存在这样的t，使MN与AC互相垂直？
若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由．
2、（河北卷）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）．
（1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式；
（2）t为何值时，四边形PQBA是梯形？
（3）是否存在时刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PD⊥AB？若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若不存在，请简要说明理由．
3、（山东济宁）如图，A、B分别为x轴和y轴正半轴上的点。OA、OB的长分别是方程x2－14x＋48＝0的两根(OA＞OB)，直线BC平分∠ABO交x轴于C点，P为BC上一动点，P点以每秒1个单位的速度从B点开始沿BC方向移动。
(1)设△APB和△OPB的面积分别为S1、S2，求S1∶S2的值；
(2)求直线BC的解析式；
(3)设PA－PO＝m，P点的移动时间为t。
①当0＜t≤ 时，试求出m的取值范围；
②当t＞ 时，你认为m的取值范围如何(只要求写出结论)？

4、在 中， 现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点C移动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动。过点P作PE∥BC交AD于点E，连结EQ。设动点运动时间为x秒。
（1）用含x的代数式表示AE、DE的长度；
（2）当点Q在BD（不包括点B、D）上移动时，设 的面积为 ，求 与月份 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
（3）当 为何值时， 为直角三角形。

5、（杭州）在直角梯形 中， ，高 （如图1）。动点 同时从点 出发，点 沿 运动到点 停止，点 沿 运动到点 停止，两点运动时的速度都是 。而当点 到达点 时，点 正好到达点 。设 同时从点 出发，经过的时间为 时， 的面积为 （如图2）。分别以 为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点 在 边上从 到 运动时， 与 的函数图象是图3中的线段 。
（1）分别求出梯形中 的长度；
（2）写出图3中 两点的坐标；
（3）分别写出点 在 边上和 边上运动时， 与 的函数关系式（注明自变量的取值范围），并在图3中补全整个运动中 关于 的函数关系的大致图象。

6、（金华）如图1，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 在 正半轴上，且 ．动点 在线段 上从点 向点 以每秒 个单位的速度运动，设运动时间为 秒．在 轴上取两点 作等边 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）求等边 的边长（用 的代数式表示），并求出当等边 的顶点 运动到与原点 重合时 的值；
（3）如果取 的中点 ，以 为边在 内部作如图2所示的矩形 ，点 在线段 上．设等边 和矩形 重叠部分的面积为 ，请求出当 秒时 与 的函数关系式，并求出 的最大值．

7、两块完全相同的直角三角板ABC和DEF如图1所示放置，点C、F重合，且BC、DF在一条直线上，其中AC=DF=4，BC=EF=3．固定Rt△ABC不动，让Rt△DEF沿CB向左平移，直到点F和点B重合为止．设FC=x，两个三角形重叠阴影部分的面积为y．
（1）如图2，求当x= 时，y的值是多少？
（2）如图3，当点E移动到AB上时，求x、y的值；
（3）求y与x之间的函数关系式；

8、（重庆课改卷）如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成 和 两个三角形（如图2所示）.将纸片 沿直线 （AB）方向平移（点 始终在同一直线上），当点 于点B重合时，停止平移.在平移过程中， 与 交于点E, 与 分别交于点F、P.
（1）当 平移到如图3所示的位置时，猜想图中的 与 的数量关系，并证明你的猜想；
（2）设平移距离 为 ， 与 重叠部分面积为 ，请写出 与 的函数关系式，以及自变量的取值范围；
（3）对于（2）中的结论是否存在这样的 的值；使得重叠部分的面积等于原 面积的 ？若不存在，请说明理由.

1. 梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从点A开始，沿AD边，以1厘米/秒的速度向点D运动；动点Q从点C开始，沿CB边，以3厘米/秒的速度向B点运动。
已知P、Q两点分别从A、C同时出发，，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。假设运动时间为t秒，问：
（1）t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？
（2）在某个时刻，四边形PQCD可能是菱形吗？为什么？
（3）t为何值时，四边形PQCD是直角梯形？
（4）t为何值时，四边形PQCD是等腰梯形？

2. 如右图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点
P从A开始沿折线A—B—C—D以4cm/s的速度运动，点Q从C
开始沿CD边1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时
出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动，设运动
时间为t(s)，t为何值时，四边形APQD也为矩形？

3. 如图，在等腰梯形 中， ∥ ， ,AB=12 cm,CD=6cm , 点 从 开始沿 边向 以每秒3cm的速度移动，点 从 开始沿CD边向D以每秒1cm的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时运动停止。设运动时间为t秒。
（1）求证：当t= 时，四边形 是平行四边形；
（2）PQ是否可能平分对角线BD？若能，求出当t为何值时PQ平分BD；若不能，请说明理由；
（3）若△DPQ是以PQ为腰的等腰三角形，求t的值。

4. 如图所示，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过O作直线MN//BC，设MN交 的平分线于点E，交 的外角平分线于F。
（1）求让： ；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。
（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，且AEBC=62，求 的大小。

5. 如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠，点D落在点D’处，求重叠部分⊿AFC的面积.

6. 如图所示，有四个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动。
（1）试判断四边形PQEF是正方形并证明。
（2）PE是否总过某一定点，并说明理由。
（3）四边形PQEF的顶点位于何处时，
其面积最小，最大？各是多少？

7. 已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上一个动点（E点不与B、C两点重合），EF∥BD交AC于点F，EG∥AC交BD于点G.
⑴求证：四边形EFOG的周长等于2 OB；
⑵请你将上述题目的条件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论“四边形EFOG的周长等于2 OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明.

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，已知AD＝AB＝3，BC＝4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D 出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．
(1)求NC，MC的长(用t的代数式表示)；
(2)当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？
(3)是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
(4)探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形？
9、（山东青岛课改卷 ）如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90°，EG＝4cm，∠EGF＝90°，O 是△EFG斜边上的中点．
如图②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB方向平移，在△EFG 平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交 AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2)（不考虑点P与G、F重合的情况）．
（1）当x为何值时，OP∥AC ?
（2）求y与x 之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
（参考数据：1142 ＝12996，1152 ＝13225，1162 ＝13456
或4.42 ＝19.36，4.52 ＝20.25，4.62 ＝21.16）

10、已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点
P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移
动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两
点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形?
（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的
关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；

在三角形ABC中，角B等于90°，AB等于6，BC等于8，点Q从A点出发沿着AB,BC移动，点P从B点出发，沿着BC,AC移动，且T大于6，小于等于9，问三角形PQC的面积可以等于12.6么？如果可以求出T的值。
解：设经过的时间为t
当P在AB上，Q在BC上时，AP=t≤6，BQ=2t≤8，0≤t≤4
S[PCQ]
=(BC-BQ)*(AB-AQ)/2
=(8-2t)(6-t)/2=12.6
5(4-t)(6-t)=63
5t^2-50t+57=0
t=5-2√85/5
或t=5+2√85/5（舍去）

当P在BC上，Q在AC上时，6<t<14，8<2t<18，6<t<9
BP=t-6；CQ=2t-8
S[PCQ]
=(CQ/AC)*AB*(BC-BP)/2
=(2t-8)*6*(14-t)/20=12.6
即(t-4)*(14-t)=21
t=7或11（舍去）

所以当t=5-2√85/5秒或7秒时，三角形PCQ的面积等于12.6cm^2
回答者： abei_945 - 探花 十级 1-3 20:38
解：设经过t秒后，三角形PCQ的面积等于12.6cm^2.
过Q点作BC的垂线QD,交BC于D.
由已知条件可知,当t秒时,AP=t,BQ=2t;
又由勾股定理可知AC^2=8^2+6^2=100,AC=10;
而由以上可得:AQ=(10+8)-2t=18-2t,则QC=10-(18-2t)=2t-8;
PC=(6+8)-t=14-t.
由QD垂直于BC,角B=90度,可得QD‖AB,则得到:QD/AB=QC/AC,即
QD/6=(2t-8)/10,解得QD=3(2t-8)/5;
三角形PCQ的面积为:(1/2)*PC*QD=(1/2)*(14-t)*3(2t-8)/5=12.6,解方程即得t=11(秒)或T=7(秒).而因t=11秒时2t=22大于AC于BC之和,不符合条件.
所以,经过7秒后，使三角形PCQ的面积等于12.6cm^2.

能具体些吗？

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师丽绛糖： 1. 梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,动点P从点A开始,沿AD边,以1厘米/秒的速度向点D运动;动点Q从点C开始,沿CB边,以3厘米/秒的速度向B点运动. 已知P、Q两点分别从A、C同时出发,,当其中一点...

盐都区13973076952： 初中数学动点问题 在ABC中,D是BC边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°,求∠DAC的度数. - ？
师丽绛糖： 在三角形ABC中 D是BC边上的一点 ∠1=∠2 ∠3=∠4 ∠BAC=63° 求∠DAC的度数 已知:D是BC边上的一点∠1=∠2 ∠3=∠4 ∠BAC=63° 求:∠DAC的度数∠ 解: 标注∠DAC为∠5,∠BDA为∠6 ∵∠1=∠2 ∠3=∠4 ∠BAC=63° ∴在△ADB...

盐都区13973076952： <数学<动点问题.急需!初一知识的. - ？
师丽绛糖：[答案] 动点问题一般都是不变化,你求出比值就行

盐都区13973076952： 急!跪求初三动点数学题!! - ？
师丽绛糖： 1、A(-6,0) B(-4,2√3)C(0,2√3) D(2,0) 这个简单,不解释2、4秒后 P在 B上,支线DP 就是直线 DB ,面积也是,不解释.3、应该有两个答案,分别是1:2和2:1 很容易可以得出 t=4时,为2:1,也就是P在B点处时,所以不解释. 要得到1:2的结果...