一元二次方程怎么解~
一元二次方程四中解法。一、公式法。二、配方法。三、直接开平方法。四、因式分解法。公式法1先判断△=b_-4ac,若△0,原方程的解为:X=((-b)±√(△))/(2a)。配方法。先把常数c移到方程右边得:aX_+bX=-c。将二次项系数化为1得:X_+(b/a)X=-c/a,方程两边分别加上(b/a)的一半的平方得X_+(b/a)X+(b/(2a))_=-c/a+(b/(2a))_方程化为:(b+(2a))_=-c/a+(b/(2a))_。5①、若-c/a+(b/(2a))_0,原方程的解为X=(-b)±√((b_-4ac))/(2a)。
一元二次方程公式解
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法: 1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法。 1、直接开平方法: 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)²=n (n≥0)的 方程,其解为x=±√n+m . 例1.解方程(1)(x-2)²=9(2)9x²-24x+16=11 分析:(1)此方程显然用直接开平方法好做,(2)方程左边是完全平方式(3x-4)²,右边=11>0,所以此方程也可用直接开平方法解。 (1)解:(x-2)²=9 ∴x-2=±√9 ∴x-2=±3 ∴x1=3+2 x2=-3+2 ∴x1=5 x2=1 ∴原方程的解为x?=﹙√7﹣1﹚/3,x?=﹙﹣√7-1﹚/3 (2)解: 9x²-24x+16=11 ∴(3x-4)²=11 ∴3x-4=±√11 ∴x=﹙ 4±√11﹚/3 ∴原方程的解为x?=﹙4﹢√11﹚/3,x?= ﹙4﹣√11﹚/3 2.配方法:用配方法解方程ax²+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边:ax²+bx=-c 将二次项系数化为1:x²+b/ax=- c/a 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方:x²+b/ax+( b/2a)²=- c/a+( b/2a)²; 方程左边成为一个完全平方式:(x+b/2a )²= -c/a﹢﹙b/2a﹚²; 当b²-4ac≥0时,x+b/2a =±√﹙﹣c/a﹚﹢﹙b/2a﹚²; ∴x=﹛﹣b±[√﹙b²﹣4ac﹚]﹜/2a(这就是求根公式) 例2.用配方法解方程 3x²-4x-2=0 解:将常数项移到方程右边 3x²-4x=2 将二次项系数化为1:x²-﹙4/3﹚x= ? 方程两边都加上一次项系数一半的平方:x²-﹙4/3﹚x+( 4/6)²=? +(4/6 )² 配方:(x-4/6)²= ? +(4/6 )² 直接开平方得:x-4/6=± √[? +(4/6 )² ] ∴x= 4/6± √[? +(4/6 )² ] ∴原方程的解为x?=4/6﹢√﹙10/6﹚,x?=4/6﹣√﹙10/6﹚ . 3.公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b²-4ac的值,当b²-4ac≥0时,把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a) , (b²-4ac≥0)就可得到方程的根。 例3.用公式法解方程 2x²-8x=-5 解:将方程化为一般形式:2x²-8x+5=0 ∴a=2, b=-8, c=5 b²-4ac=(-8)²-4×2×5=64-40=24>0 ∴x=[(-b±√(b²-4ac)]/(2a) ∴原方程的解为x?=,x?= . 4.因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 例4.用因式分解法解下列方程: (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x²+3x=0 (3) 6x²+5x-50=0 (选学) (4)x2-2( + )x+4=0 (选学) (1)解:(x+3)(x-6)=-8 化简整理得 x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零) (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式) ∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。 (2)解:2x2+3x=0 x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) ∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=0,x2=-是原方程的解。 注意:有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解。 (3)解:6x2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) ∴2x-5=0或3x+10=0 ∴x1=, x2=- 是原方程的解。 (4)解:x2-2(+ )x+4 =0 (∵4 可分解为2 ·2 ,∴此题可用因式分解法) (x-2)(x-2 )=0 ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。 小结: 一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般形式,同时应使二次项系数化为正数。 直接开平方法是最基本的方法。 公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法),在使用公式法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程是否有解。 配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法 解一元二次方程。但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一,一定要掌握好。(三种重要的数学方法:换元法,配方法,待定系数法)。 例5.用适当的方法解下列方程。(选学) (1)4(x+2)2-9(x-3)2=0 (2)x2+(2-)x+ -3=0 (3) x2-2 x=- (4)4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 分析:(1)首先应观察题目有无特点,不要盲目地先做乘法运算。观察后发现,方程左边可用平方差公式分解因式,化成两个一次因式的乘积。 (2)可用十字相乘法将方程左边因式分解。 (3)化成一般形式后利用公式法解。 (4)把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0,然后可利用十字相乘法因式分解。 (1)解:4(x+2)2-9(x-3)2=0 [2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0 (5x-5)(-x+13)=0 5x-5=0或-x+13=0 ∴x1=1,x2=13 (2)解: x2+(2- )x+ -3=0 [x-(-3)](x-1)=0 x-(-3)=0或x-1=0 ∴x1=-3,x2=1 (3)解:x2-2 x=- x2-2 x+ =0 (先化成一般形式) △=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0 ∴x= ∴x1=,x2= (4)解:4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0 [2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0 2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0 ∴x1= ,x2= 例6.求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (选学) 分析:此方程如果先做乘方,乘法,合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐,仔细观察题目,我们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体,则方程左边可用十字相乘法分解因式(实际上是运用换元的方法) 解:[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0 即 (5x-5)(2x-3)=0 ∴5(x-1)(2x-3)=0 (x-1)(2x-3)=0 ∴x-1=0或2x-3=0 ∴x1=1,x2=是原方程的解。 例7.用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0 解:x2+px+q=0可变形为 x2+px=-q (常数项移到方程右边) x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方) (x+)2= (配方) 当p2-4q≥0时,≥0(必须对p2-4q进行分类讨论) ∴x=- ±= ∴x1= ,x2= 当p2-4q<0时,<0此时原方程无实根。 说明:本题是含有字母系数的方程,题目中对p, q没有附加条件,因此在解题过程中应随时注意对字母取值的要求,必要时进行分类讨论。 练习: (一)用适当的方法解下列方程: 1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3 3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0 5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0 (二)解下列关于x的方程 1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0 练习参考答案: (一)1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2 3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2= 6.解:(把2x+3看作一个整体,将方程左边分解因式) [(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0 即 (2x+9)(2x+2)=0 ∴2x+9=0或2x+2=0 ∴x1=-,x2=-1是原方程的解。 (二)1.解:x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解:x2-(+ )ax+ a· a=0 [x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0 ∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0 ∴x1= +b,x2= -b是 ∴x1= a,x2=a是 原方程的解。 原方程的解。 测试 选择题 1.方程x(x-5)=5(x-5)的根是( ) A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5 2.多项式a2+4a-10的值等于11,则a的值为( )。 A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7 3.若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次项系数,一次项系数和常数项之和等于零,那么方程必有一个根是( )。 A、0 B、1 C、-1 D、±1 4. 一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是零的条件为( )。 A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0 C、b=0且c=0 D、c=0 5. 方程x2-3x=10的两个根是( )。 A、-2,5 B、2,-5 C、2,5 D、-2,-5 6. 方程x2-3x+3=0的解是( )。 A、 B、 C、 D、无实根 7. 方程2x2-0.15=0的解是( )。 A、x= B、x=- C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=- 8. 方程x2-x-4=0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是( )。 A、(x-)2= B、(x- )2=- C、(x- )2= D、以上答案都不对 9. 已知一元二次方程x2-2x-m=0,用配方法解该方程配方后的方程是( )。 A、(x-1)2=m2+1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m+1 答案与解析 答案:1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D 解析: 1.分析:移项得:(x-5)2=0,则x1=x2=5, 注意:方程两边不要轻易除以一个整式,另外一元二次方程有实数根,一定是两个。 2.分析:依题意得:a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7. 3.分析:依题意:有a+b+c=0, 方程左侧为a+b+c, 且具仅有x=1时, ax2+bx+c=a+b+c,意味着当x=1时,方程成立,则必有根为x=1。 4.分析:一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一个根为零, 则ax2+bx+c必存在因式x,则有且仅有c=0时,存在公因式x,所以 c=0. 另外,还可以将x=0代入,得c=0,更简单! 5.分析:原方程变为 x²-3x-10=0, 则(x-5)(x+2)=0 x-5=0 或x+2=0 x1=5, x2=-2. 6.分析:Δ=9-4×3=-3<0,则原方程无实根。 7.分析:2x²=0.15 x2= x=± 注意根式的化简,并注意直接开平方时,不要丢根。 8.分析:两边乘以3得:x2-3x-12=0,然后按照一次项系数配方,x2-3x+(-)2=12+(- )2, 整理为:(x-)2= 方程可以利用等式性质变形,并且 x2-bx配方时,配方项为一次项系数-b的一半的平方。 9.分析:x2-2x=m, 则 x2-2x+1=m+1 则(x-1)2=m+1.
楼主,您好:
要学会解一元二次方程,首先要先知道一元二次方程。一元二次方程的一般式为:ax²+bx+c=0(a、b、c为常数,a≠0)。
解一元二次方程一共有4种解法:
①直接开平方:如x²=2,x是2的平方根,
∴x=正负√2
∴x1=√2,x2=-√2.
②配方法:只要把一个一元二次方程变形为(x+h)²=k的形式(其中h、k是常数),若K≥0,再通过直接开平方就可得出。
③:公式法:次方法只要带公式b²-4ac算就行了,若≥0,则可解,反之无解,用x=-b正负√(b²-4ac)/2a,代入就出x1、x2即可;
④:因式分解法:这个最好解了,只要等于0就行了,不做具体介绍了。
以上就是解一元二次方程的基本方法,希望对你偶帮助,谢谢采纳!~
3种方法
ax*x+bx+c=0
1.配方法
(x+b/2a)平方=n(常数,大于等于0时方有实根)
有实根时用直接开平方法解决。(一定是两个根,即使相等也得写是两个)
无实根直接写方程无实根。
2.公式法
x=[-b±√ ̄(b*b-4ac)]/(2a)
需要先判断判别式的正负。判别式为正方有实根
3.十字交叉法,分解因式
化解成这样形式(x-x1)(x-x2)=0
则x1,x2为所求实根
原创!
分解因式
如何解一元二次方程?
一元二次方程的5种解法有:直接开平方法;配方法;公式法;因式分解法;图像解法。1、直接开平方法:依据的是平方根的意义,步骤是:①将方程转化为x=p或(mx+n)=p的形式;②分三种情况降次求解:①当p>0时;②当p=0时;③当p<0时,方程无实数根。需要注意的是:直接开平方法只适用于部分的...
一元二次方程怎么解?
用公式法解一元二次方程的公式如下:1、公式法。在一元二次方程y=ax?+bx+c(a、b、c是常数)中,当△=b?-4ac>0时,方程有两个解,根据求根公式x=(-b±√(b?-4ac))\/2a即刻求出结果;△=b?-4ac=0时,方程只有一个解x=-b\/2a;△=b?-4ac<0时,方程无解。2、配方法。将一...
一元二次方程的5种解法
1、直接开平方法。对于直接开平方法解一元二次方程时注意一般都有两个解,不要漏解,如果是两个相等的解,也要写成x1=x2=a的形式,其他的都是比较简单。2、配方法。在化成直接开平方法求解的时候需要检验方程右边是否是非负的,如果是则利用直接开平方法求解即可,如果不是,原方程就没有实数解。3...
一元二次方程怎么解?
一元二次方程有5种解法,即 直接开平方法、 配方法、 公式法、因式分解法。 十字相乘法配方法:首先将二次项系数a化为1,然后把常数项移到等号的右边,最后在等号两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方,左边配成 完全平方式,再 开方就得解了。3.公式法可以解任何一元二次方程。因式分解法,必...
一元二次方程4种解法
解一元二次方程的常见方法有以下四种:1.因式分解法:通过对方程进行因式分解,将方程转化为两个一次方程的乘积等于0的形式,然后分别解这两个一次方程。例如,对于方程x^2+5x+6=0,可以因式分解为(x+2)(x+3)=0,从而得到x=-2和x=-3两个解。2.完全平方式:对于一元二次方程ax^2+bx+c=0...
一元二次方程的四种解法例题和过程和方法
1、直接开平方法:直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的 方程,其解为x=m± .例1.解方程(1)(3x+1)2=7 (2)9x2-24x+16=11 分析:(1)此方程显然用直接开平方法好做,(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2,右边=11>0,...
一元二次方程有几种解法
一元二次方程有四种解法,它们分别是直接开平方法,配方法,公式法和因式分解法。一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax²+bx+c=0(a≠0)。其中ax²叫作二次项,a是二次项系数;bx叫作一次项,b是一次项系数;c叫作常数项。只含有一个未知数(一元),并且未知数项的最高次数是2...
一元二次方程怎么解?
数学一元二次方程如下:(1)x^2-9x+8=0 答案:x1=8 x2=1 (2)x^2+6x-27=0 答案:x1=3 x2=-9 (3)x^2-2x-80=0 答案:x1=-8 x2=10 (4)x^2+10x-200=0 答案:x1=-20 x2=10 (5)x^2-20x+96=0 答案:x1=12 x2=8 (6)x^2+23x+76=0 答案:x1=-19 x2=-4 (...
一元二次方程怎么解?
公式法解一元二次方程的公式ax²+bx+c=0(a≠0)。只含有一个未知数(一元),并且未知数项的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax+bx+c=0(a≠0)。其中ax叫作二次项,a是二次项系数;bx叫作一次项,b是一次项系数;c叫作常数...
一元二次方程的解法有哪些?
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灞桥区15938945077:
一元二次方程怎么解的谢谢 - ?
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灞桥区15938945077:
一元二次方程的解法公式(三个) - ?
柞独佳福:[答案] 一般来说,一元二次方程的解法有:(注:以下 ^ 是平方的意思.) 一、直接开平方法.如:x^2-4=0 x^2=4 x=±2(因为x是4的平方根) ∴x1=2,x2=-2 二、配方法.如:x^2-4x+3=0 x^2-4x=-3 配方,得(配一次项系数一半的平方) x^2-2*2*x+2^2=-3+2^2...
灞桥区15938945077:
解一元二次方程的方法 - ?
柞独佳福:[答案] 1、直接开平方法 直接开平方法解形如(x-m)^2=n (n≥0)的方程,其解为x=±√n +m 2、配方法 就是将方程合成(x±m)^2=n的形式,再用直接开平方法,一般解方程不用,但是解应用题或者一元二次图像的时候又很重要. 3、公式法 此法为一切一元...
灞桥区15938945077:
一元二次方程如何解 - ?
柞独佳福: -b ± √(b……2 – 4ac) x1, x2 = -------------------2ab^2 - 4ac < 0 复数解
灞桥区15938945077:
求解一元二次方程有4种解法例题每种方法5个例题(解一元二次方程:简单的,详细过程) - ?
柞独佳福:[答案] 一元二次方程的解法有如下几种: 第一种:运用因式分解的方法,而因式分解的方法有:(1)十字相乘法(又包括二次项系数为1的和二次项系数不为1,但又不是0的),(2)公式法:(包括完全平方公式,平方差公式,).(3)提取公因式 例...
灞桥区15938945077:
数学一元二次方程怎么解? 最好说详细点 - ?
柞独佳福: 1、直接开平方法2、配方法3、因式分解法4、求根公式法直接开平方时,要注意正负号.配方时,两边都要加上1次项系数一半 的平方.因式分解时,要注意使右边的数为0.求根公式法,要注意分母为2a,而分子为-b +\- 根号b^2-4ac . 先算b^2-4ac结果要大于等于0,才有实数根.给偶分具体过程 还要自己学习...
灞桥区15938945077:
怎样求1元2次方程的解!最好通俗点! - ?
柞独佳福:[答案] .分析:依题意得:a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7. 3.分析:依题意:有a+b+c=0, 方程左侧为a+b+c, 且具仅有x=1时, ax2+bx+c=a+b+c,意味着当x=1 时,方程成立,则必有根为x=1. 4.分析:一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一个根为零, 则ax2+...
灞桥区15938945077:
一元二次方程怎么解?要简便的方法,适合于中考. - ?
柞独佳福: 1.一元二次方程的定义 一元二次方程有三个特点:(1)只含有一个未知数;(2)未知数的最高次数是2;(3)是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理.如果能整理为(a≠0)的形式,则这...
灞桥区15938945077:
一元二次方程怎么解?我听说好像有一个万能公式吧.最好能结合例题讲讲. - ?
柞独佳福:[答案] 万能公式就是先求出▽=b05-4ac 那么解就是[-b+根号▽]/(2a)和[-b-根号▽]/(2a)能算所有的二次方程,不过有些题目计算量很大
灞桥区15938945077:
一元二次方程怎么解 - ?
柞独佳福: 楼主你好! 一般解法 1.配方法 (可解全部一元二次方程) 如:解方程:x^2+2x-3=0 解:把常数项移项得:x^2+2x=3 等式两边同时加1(构成完全平方式)得:x^2+2x+1=4 因式分解得:(x+1)^2=4 解得:x1=-3,x2=1 用配方法解一元二...