如图，已知圆O上的两点A,B，延长BA到P，使PA=AB=6cm，连接OP交圆O于点C，且OP=12cm，求

已知:如图,PA、PB是⊙O的切线,A、B是切点,OP交AB于C点,AB=8,AB的弦心距为3,求PA的长。~

解；连接OA，OB，
∵PA、PB是⊙O的切线,A、B是切点,
∴OA⊥AP,OB⊥PB
∵OP=OP,OA=OB,
∴Rt⊿PAO≌Rt⊿PBO
∴∠APO=∠BPO,AP=BP
∴PO⊥AB.
∵OP交AB于C点,AB=8,AB的弦心距为3,
∴在Rt⊿AOC中，OA²=OC²＋AC²
∴OA=5
又∵∠AOC=∠POA,∠ACO=∠PAO=90°
∴Rt⊿AOC∽Rt⊿POA,
∴OC／OA=AC／PA
∴PA=20／3

方法很多，为了便于说明在此用勾股定理：
过圆心做AB的垂直线交点为C，C同时也是AB的中点，即AC=5,CP=1,
利用勾股定理:
AC=(OA^2-AC^2)^0.5=24^0.5;
OP=(AC^2+CP^2)^0.5=5
所以OP长为5

1. 连接OA OB
余弦定理：
cosP=(PA^2+OP^2-AO^2)/2PA*OP=(PB^2+OP^2-OB^2)/2PB*OP
PB=2PA
2(PA^2+OP^2-AO^2)=PB^2+OP^2-OB^2
2(6^2+12^2-r^2)=12^2+12^2-r^2
2*6^2-2r^2=-r^2
r^2=2*6^2
r=6sqr(2)
2. 做OD垂直AB于DE，AD=BD=3
OD^2=r^2-3^2=2*6^2-9=63=7*3^2
OD=3sqr(7)
△PBO的面积=1/2*PB*OD=18sqr(7)

连接0A、OB,过点O作AB的垂线交AB于D。
①在Rt△OPD中，OP=12cm，PD=PA+1/2AB=9cm，根据勾股定理得OD=3√7cm。在Rt△OAD中，OA是斜边，所以OA=6√2cm。
即圆O的半径是6√2cm。
②S△PBO=1/2*PB*OD=18√7cm2。

根号83

从图上量，大概是8

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黄岛区19423074616： 如图,A、B是圆O上的两点,∠AOB=120°,C是AB的中点.(1)求证:AB平分∠OAC;(2)延长OA至P,使得OA=AP,连接PC,若圆O的半径R=1,求PC的长. - ？
寿文奋乃：[答案] (1)证明:连接OC, ∵∠AOB=120°,C是AB弧的中点, ∴∠AOC=∠BOC=60°, ∵OA=OC, ∴△ACO是等边三角形, ∴OA=AC,同理OB=BC, ∴OA=AC=BC=OB, ∴四边形AOBC是菱形, ∴AB平分∠OAC; (2) 连接OC, ∵△OAC是等边三角形,OA=...

黄岛区19423074616： 如图,A、B是圆O上的两点,∠AOB=120°,C是AB弧的中点.(1)求证:AB平分∠OAC;(2)延长OA至P使得OA=AP,连接PC,若圆O的半径R=1,求PC的长. - ？
寿文奋乃：[答案] 选修4-1:几何证明选讲 (1)证明:连接OC,∵∠AOB=120°,C是AB弧的中点,∴∠AOC=∠BOC=60°,∵OA=OC,∴△ACO是等边三角形,∴OA=AC,同理OB=BC,∴OA=AC=BC=OB,∴四边形AOBC是菱形,∴AB平分∠OAC;…(5分)...

黄岛区19423074616： 如图,如图,A,B是圆O上的两点,且OA⊥OB,OA=2,C为OA的中点,连接BC并延长交圆O于点D,则CD=______. - ？
寿文奋乃：[答案] 如图,∵A,B是圆O上的两点,且OA⊥OB,OA=2, C为OA的中点,连接BC并延长交圆O于点D, ∴OC=CA=1,OB=2, ∴BC= 22+12= 5, ∴由相交弦定理得(2+1)•(2-1)=BC•CD, ∴CD= 3 5= 35 5. 故答案为: 35 5.

黄岛区19423074616： 如图,点A、B在圆O上,△OAB是等边三角形,延长OA到C,使得AC=OA,连接BC.？
寿文奋乃： 有,且有两个 设圆的半径为R,因为三角形OAB是等边三角形,所以∠AOB=60°,又因为AC=OA,所以CO=2R,又因为OB=R,根据余弦定理可知,△OCB是RT△, 因为在圆O内直径所对的角为直角,延长BO交圆O于点E,则在EB两侧个有一个点D,,做BD=R,连接BD,因为DE=OB=R,EB=OC=2R,且∠E=∠AOB=60°所以RT△EDB≌RT△OBC,即BD=BC 你可以画图,这样更容易做题目,我不确定我的回答是否正确,不过我个人认为大概是这样吧!

黄岛区19423074616： 如图已知圆O1、圆O2相交于A、B两点,连接AO1并延长交圆O1于C,连CB并延长交圆O2于D,若圆心距O1O2=2,求CD长？
寿文奋乃： 连结AD 因为AC为圆O1直径 所以AB垂直CD 所以AD为圆O2的直径 因为AB为公共弦 所以AB垂直O1O2 所以O1O2 // CD 又AO=OC 所以O1O2 为三角形ACD的中位线 所以CD=2O1O2=4

黄岛区19423074616： 如图,已知圆O中,弦AB=CD,延长BA,DC相交于点P,E是弧DB上的一点,CE交BD于点F.求证PA=PC - ？
寿文奋乃： 【题不完整,点E、F用不上.先证明PA=PC】 证明:∵AB=CD ∴弧AB=弧CD(等弦对等弧) ∴弧AB+弧AC=弧CD+弧AC 即弧BC=弧AD ∴∠D=∠B(等弧对等角) ∴PB=PD ∴PB-AB=PD-CD 即PA=PC

黄岛区19423074616： 如图,点A、B、C都在圆O上,过点C作AC‖BD交OB延长线于A,连接CD,且角CDB=角OBD=30°求证:AC是切线.点B、C、D都在圆O上 第一句是错误的~ - ？
寿文奋乃：[答案] 证明: 连接OC,OD ∵OB=OD ∴∠ODB=∠OBD=30° ∵∠BCD=30° ∴△OCD是等边三角形 ∴DO=DC ∴BD⊥OC ∵AC‖BD ∴AC⊥OC ∴AC是切线

黄岛区19423074616： 已知圆O1圆O2相交于A,B两点,连接AO1并延长交圆O1于C.连接CB并延长交圆O2于D若圆心如图所示,圆O1、圆O2相交于A、B两点,连接AO1再延长交... - ？
寿文奋乃：[答案] 连接AB,AD 因为AC是⊙O1的直径 所以∠ABC=90度 所以∠ABD=90度 所以AD为⊙O2的直径 所以AO1=COA,AO2=DO2 所以O1O2是三角形ACD的中位线 所以CD=2O1O2=4

黄岛区19423074616： 如图,A,B是圆O上的两个点,角AOB等于120度,C是AB的中点,求证,AB平分角OAC,延长O - ？
寿文奋乃： 【C是弧AB的中点】 ①证明:连接OC ∵C是弧AB的中点 ∴弧AC=弧BC ∴∠AOC=∠BOD=1/2∠AOB =60° ∵OA =OC =OB ∴△OAC和△OBC都是等边三角形 ∴OA=OB=BC=AC ∴四边形OACB是菱形 ∴AB平分∠OAC(菱形对角线平分对角) ②解:∵△OAC是等边三角形 ∴∠OAC=60°,OA=AC ∵OA=AP ∴AP=AC ∴∠P=∠ACP=1/2∠OAC =30° 则∠OCP=90° ∵OP=OA+AP=2,OC =1 ∴PC=√3

黄岛区19423074616： 如图,已知圆O1与圆O2相交于A,B两点,延长圆O1直径CA交圆O2与点D,延长圆O1的弦CB交圆O2于点E……？
寿文奋乃：CO2垂直AD 延长AO2交圆O2于E,连接AB,延长CO2交AD于F 因为 在圆O1中 角O2CB与角O2AB同弧O2B 所以 角O2CB=角O2AB 因为 在圆O2中 角ADB与角AEB同弧AB 所以 角ADB=角AEB 因为 AE是圆O2的直径 所以 角O2AB 角AEB=90...