求数列通项公式an和前n项和Sn的方法

数列 求通项公式(an) 和前n项和(sn)方法~

sn
an=n
s（n-1）
a（n-1）=n-1
两式相减得sn-s（n-1）
an-a（n-1）=1，即2an-a（n-1）=1
即2an-2-a（n-1）
1=0
2（an-1）-（a（n-1）-1）=0
则an-1/a（n-1）-1=1/2
所以数列｛an-1｝是以1/2为公比的等比数列
又因为：s1
a1=2a1=1，所以a1=1/2，所以a1-1=-1/2
所以an-1=-1/2*（1/2）^n-1=-(1/2)^n
所以an=1-(1/2)^n

求数列通项公式常用以下几种方法：
一、题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列,直接用其通项公式.
例：在数列{an}中,若a1=1,an+1=an+2(n1),求该数列的通项公式an.
由an+1=an+2(n1)及已知可推出数列{an}为a1=1,d=2的等差数列.所以an=2n-1.此类题主要是用等比、等差数列的定义判断,是较简单的基础小题.
二、已知数列的前n项和,用公式
S1
(n=1)
Sn-Sn-1
(n2)
例：已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5
(A)
9
(B)
8
(C)
7
(D)
6
∵an=Sn-Sn-1=2n-10,∴5

1，等差数列

an=a1+(n-1)d;an=Sn-S(n-1)

Sn=a1n+((n*(n-1))/2)d

2，等比数列

an=a1*q^(n-1);an=Sn/S(n-1)

Sn=(a1(1-q^n))/1-q

扩展材料

思路

基本思路与方法： 复合变形为基本数列（等差与等比）模型 ； 叠加消元 ；连乘消元

思路一： 原式复合 （ 等比形式）

可令an+1 - ζ = A * (an - ζ )········① 是原式☉变形后的形式，即再采用待定系数的方式求出 ζ 的值， 整理①式 后得an+1 = A*an + ζ - A*ζ , 这个式子与原式对比可得，

ζ - A*ζ = B

即解出 ζ = B / (1-A)

回代后，令 bn =an - ζ ,那么①式就化为bn+1 =A*bn , 即化为了一个以（a1 - ζ )为首项，以A为公比的等比数列，可求出bn的通项公式，进而求出 {an} 的通项公式。

思路二： 消元复合（消去B）

由 an+1 = A *an + B ········☉ 有

an = A* an-1 +B ··········◎

☉式减去◎式可得 an+1 - an = A *（ an - an-1）······③

令bn = an+1 - an 后， ③式变为bn = A*bn-1 等比数列，可求出bn 的通项公式，接下来得到 an - an-1 =  

(其中 为关于n的函数）的式子， 进而使用叠加方法可求出 an。

参考资料来源 数列通项公式-百度百科

1、等差数列

an=a1+(n-1)d;an=Sn-S(n-1)。

Sn=a1n+((n*(n-1))/2)d。

2、等比数列

an=a1*q^(n-1);an=Sn/S(n-1)。

Sn=(a1(1-q^n))/1-q。

按一定次序排列的一列数称为数列，而将数列{a} 的第n项用一个具体式子（含有参数n）表示出来，称作该数列的通项公式。这正如函数的解析式一样，通过代入具体的n值便可求知相应a 项的值。

概念

不妨将数列递推公式中同时含有an 和an+1的情况称为一阶数列，显然，等差数列的递推式为

an=an-1 + d , 而等比数列的递推式为 an =an-1 * q ； 这二者可看作是一阶数列的特例。故可定义一阶递归数列形式为： an+1 = A *an + B ········☉ , 其中A和B 为常系数。那么，等差数列就是A=1 的特例，而等比数列就是B=0 的特例。

等差数列：
公差通常用字母d表示，前N项和用Sn表示

通项公式an
an=a1+(n-1)d
an=Sn-S(n-1) (n≥2)
an=kn+b(k,b为常数)

前n项和
Sn=n(a1+an)/2

等比数列：公比通常用字母q表示
通项公式
　　an=a1q^(n-1)
　　an=Sn-S(n-1) (n≥2)
前n项和
　当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为 　　Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) 　　
当q=1时，等比数列的前n项和的公式为 　　Sn=na1

当n>＝2时，a（n）＝S（n+1）－S（n）
当n＝1时，a（n）＝S（n)
注：最后需要将n＝1代入n>＝2时所求出的式子，如果满足，则结论为a（n）＝S（n+1）－S（n）n属于N+ 如果不满足，则n>＝2时与n＝1时需分开写，用大括号连接！！！！！！
求S（n）的方法有很多种，公示法（就不用说了，用公式）、分组求和法（适用于通项公式可以拆成几部分）、裂项求和法（Cn＝1/a（n）a（n＋1）an为等差）、错位相减法（Cn＝anbn an为等差，bn为等比）、倒推相加法（有对称性的数列） 等，这些在网上是讲不明白，但是都要观察通项公式的特点来选择！！！
这些都是我的老师讲的，不知道你能不能用的上～～！！！

sn
an=n
s（n-1）
a（n-1）=n-1
两式相减得sn-s（n-1）
an-a（n-1）=1，即2an-a（n-1）=1
即2an-2-a（n-1）
1=0
2（an-1）-（a（n-1）-1）=0
则an-1/a（n-1）-1=1/2
所以数列｛an-1｝是以1/2为公比的等比数列
又因为：s1
a1=2a1=1，所以a1=1/2，所以a1-1=-1/2
所以an-1=-1/2*（1/2）^n-1=-(1/2)^n
所以an=1-(1/2)^n

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余江县19376487536： 数列{an}的通项an与前n项和Sn之间的关系: - ？
雀萍新快：[答案] ∵Sn=a1+a2+⋅⋅⋅+an-1+an,① ∴当n=1时,a1=S1. 当n≥2时,Sn-1=+a2+⋅⋅⋅+an-1,② ∴①-②得Sn−Sn−1=an, 即an=Sn-Sn-1,n≥2. 故数列{an}的通项an与前n项和Sn之间的关系为an= S1,n=1Sn−Sn−1,n≥2.

余江县19376487536： 求数列通项公式an和前n项和Sn的方法 - ？
雀萍新快： 等差数列: 公差通常用字母d表示,前N项和用Sn表示 通项公式an an=a1+(n-1)d an=Sn-S(n-1) (n≥2) an=kn+b(k,b为常数) 前n项和 Sn=n(a1+an)/2 等比数列:公比通常用字母q表示 通项公式 an=a1q^(n-1) an=Sn-S(n-1) (n≥2) 前n项和当q≠1时,等比数列的前n项和的公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)当q=1时,等比数列的前n项和的公式为 Sn=na1

余江县19376487536： 数列{An}的通项公式为An=n.n!求其前N项和Sn=? - ？
雀萍新快： ∵An=n*n!=[(n+1)-1]*n!=(n+1)!-n!.∴Sn=A1+A2+A3+...+An=(2!-1!)+(3!-2!)+(4!-3!)+...+[(n+1)!-n!]=(n+1)!-1.即Sn=(n+1)!-1.

余江县19376487536： 已知数列{an}的前n项和为Sn,求{an}的通项公式.(1)Sn=2n² - 3n+k (2)Sn=3²已知数列{an}的前n项和为Sn,求{an}的通项公式.(1)Sn=2n² - 3n+k ... - ？
雀萍新快：[答案] (1)因为Sn=2n2-3n+k a1=S1 =k-1 n>1时 an=sn-s(n-1) =2n2-3n+k-(2(n-1)2-(3n-1)+k) =n+1 即an=k-1(n=1) an=n+1(n>1) (2)题有问题!

余江县19376487536： 已知:sn为数列{an}的前n项和,sn=n^2+1,求通项公式an. - ？
雀萍新快：[答案]a1=S1=1^2+1=2 Sn=n^2+1 Sn-1=(n-1)^2+1 an=n^2+1-(n-1)^2-1=2n-1 n=1时,a1=1,与a1=2矛盾,n=1时,a1=2 数列{an}的通项公式为 an=2 (n=1) =2n-1 (n>1)

余江县19376487536： 求数列通项公式和前n项和的方法有什么? - ？
雀萍新快：[答案] 根据公式: 数列通项公式:an=1/2n 等差数列前n项和:Sn=n(a1+an)/2 或 Sn=na1+ n(n-1)/2 *d 等比数列前n项和:Sn=a1(1-qˆn)/1-q 或 Sn=a1-anq/1-q 或 Sn=na1

余江县19376487536： 数列{an}通项公式为2次函数,前n项和Sn怎么求?数列{an}通项公式为2次函数,前n项和Sn的通项公式怎么求?比如an=n^2+3n+2,求{an}的前n项和Sn的通... - ？
雀萍新快：[答案] a1=1^2+3*1+2 a2=2^2+3*2+2 …… an=n^2+3n+2 所以Sn=(1^2+2^2+……+n^2)+3*(1+2+……+n)+2*n =n(n+1)(2n+1)/6+3*n(n+1)/2+2n =n[(n+1)(2n+1)/6+3(n+1)/2+2] =n(n^2+6n+11)/3

余江县19376487536： 数列{an}的前n项和为Sn,且A1=1,An+1=3/1Sn,求数列{an}的通项公式 - ？
雀萍新快：[答案] 1.n=1时,A1+1=S1/3 即A1=-3/2 2.n>1时,Sn=3An+3 S(n-1)=3A(n-1)+3 所以An=Sn-S(n-1)=3An-3A(n-1) An=(3/2)A(n-1) 所以{An}是公比为3/2的等比数列 故通项公式An=(-3/2)*(3/2)^(n-1)=-(3/2)^n

余江县19376487536： (数列)已知普通数列中Sn和an的关系,怎么求通项公式an如:在数列{an}中,an>0,前n项和满足:2根号Sn=an +1(+1非角标)求an和Sn麻烦顺便讲解一下... - ？
雀萍新快：[答案] 平方得4Sn=(an+1)² n=1时,4S1=(a1+1)²,解得a1=1 因为4S(n-1)=[a(n-1)+1]²,n≥2 所以4an=an²+2an-a(n-1)²-2a(n-1) an²-a(n-1)²-2[an+a(n-1)]=0 [an+a(n-1)]*[an-a(n-1)-2]=0 因为an>0,所以an-a(n-1)=2,n≥2 {an}是公差为2的等差数列. an=1+...

余江县19376487536： 数列前N项和与数列通项公式的关系如题补充两个题说明一下已知数列{an}的前n项和Sn,求{an}的通项公式(1)Sn=2n^2 - 3n=k(2)Sn=3^n+b在下感激不尽 - ？
雀萍新快：[答案] {a(n)}的前n项和为S(n),则a(1)=S(1),且a(n+1)=S(n+1)-S(n),n=1,2,... 1, S(n)=2n^2-3n-k,a(1)=S(1)=2-3-k=-k-1, S(n+1)=2(n+1)^2-3(n+1)-k, a(n+1)=S(n+1)-S(n)=2(2n+1)-3=4n-1, 通项公式为, a(1)=-k-1, a(n)=4(n-1)-1=4n-5,n=2,3,... 2, S(n)=3^n+b,a(1...