一道初中数学几何题
看三角形ABE跟BCF
这两个全等：90度，BF=BE，AB=BC
所以角BAE=角BCF
延长CD跟AG，相交于H
延长FD到G，使DG=DF，连结BG，EG
在△BDG与△CDF中
BD=CD，∠BDG=∠CDF，DG=DG
∴△BDG≌△CDF
∴BG=CF
而∠EDF
=∠EDA+∠FDA
=1/2∠ADB+1/2∠ADC
=1/2(∠ADB+∠ADC)
=180°×1/2
=90°
∴∠EDG
=∠EDB+∠BDG
=∠EDB+∠CDF
=180°-∠EDF
=180°-90°
=90°
在△EDF与△EDG中
ED=ED，∠EDF=∠EDG=90°，DF=DG
∴△EDF≌△EDG
∴EF=EG
在△EBG中
BE+BG>EG
即BE+CF>EF
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因为BD是角CBA的角平分线，所以，角CBD＝EDB，公共边BD，DE垂直与AB，所以三角形DEB和三角形DCB都是直角三角形，都有个90度的角，角EDB+DBE＝90度，角CDB+CDB＝90度，因为角CDB＝角EDB，所以角DBE＝CDB，所以，三角形DEB全等三角形DCB（SAS，边角边）所以，CD=DE。因为DE和CF都垂直于AB，所以DE平行CF，所以，角EDB=角FGB，角FGB=角DGC（对角相等）角EDB=CDB（前一个得出来，全等）所以，角CDB=角DGC，CD=CG（等腰三角形性质）最后，CD=DE=CG。
DE平行CF，所以角EDB=角BCF，角A=角BCF，所以角A=角EDB，，DE=DE（公共边），角DEA=角DEB，所以三角形DEA全等三角形DEB（AAS，角角边）所以，AD＝DB
已知三角形ABC为直角三角形且CF⊥AB，则三角形ABC相似于三角形CBF，所以角A等于角BCF
BD平分角CBA，所以三角形CBD全等于三角形EBD，所以CD=DE
因为角CDB+角CBD=90度，角BGF+角GBF=90度，且角GBF=角CBD，所以角CDB=角GBF=角CGD，所以三角形CGD是等腰三角形，所以CG=CD=DE。
AD=BD我没证出来。
简证：∠A+∠ACF=∠ACF+∠BCF ∴∠A=∠BCF
根据∠CGB和∠CGD是△ABD、△CGB的外角，∠CGD=∠CGB ∴CD=CG
根据角平分线的性质，DE=CD 从而CD=CG=DE
AD=BD不一定成立
因为∠A+∠ADE=90°（直角三角形两锐角互补）
又因为，DE⊥ABCF、是斜边AB上的高（已知）
所以，∠DEF=∠CFB=90°.
所以，DE平行于CF（同位角相等，两直线平行）
所以，∠ADE=∠DCF（两直线平行，同位角相等）
所以，∠A+∠DCF=90°（等量代换）
因为，∠DCF+∠BCF=90°（由题意和图像可得）
所以，∠A=∠BCF
证明：∵∠A+∠ABC=90 ∠BCF +∠ABC=90
∴∠A=∠BCF
∵BD是∠ABC的平分线
∴∠ABD=∠CBD 又∵∠ACB=∠DEB=90 DB=DB
∴△EBD≌△CBD ∴DE=CD ∠EDB=∠CDB
∵∠CGD=∠BGF=∠EDB ∴∠CGD=∠CDG
∴CD=CG=DE
AD=BD（此结论只有在∠A=30时成立）
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