如图所示,已知等腰△ABC中,AB=AC,P是底边BC上任意一点,过点P作PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为E,F过点B作BD
根据三角形定理得:
(1)如图,连接AP,则S△ABC=S△ABP+S△ACP,
所以,
1/2 AC•BD=1/2 AB•PF+1/2AC•PE,
∵AB=AC,
∴BD=PE+PF;
(2)连接AP,则S△ABC=S△ABP-S△ACP,
所以,1/ 2 AB•CD=1/ 2 AB•PF-1/2 AC•PE,
∵AB=AC,
∴CD=PF-PE.
扩展资料:
性质
1 、在平面上三角形的内角和等于180°(内角和定理)。
2 、在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)。
3、 在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。
推论:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4、 一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。
5、 在三角形中至少有一个角大于等于60度,也至少有一个角小于等于60度。
6 、三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。
7、 在一个直角三角形中,若一个角等于30度,则30度角所对的直角边是斜边的一半。
8、直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理)。
*勾股定理逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足a²+b²=c² ,那么这个三角形是直角三角形。
9、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
10、三角形的三条角平分线交于一点,三条高线的所在直线交于一点,三条中线交于一点。
11、三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。
12、 等底同高的三角形面积相等。
1、3 底相等的三角形的面积之比等于其高之比,高相等的三角形的面积之比等于其底之比。
14、三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。
15、等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高、底边上的中线在一条直线上(三线合一)。
16、 在同一个三角形内,大边对大角,大角对大边。
在三角形中 ,其中角α,β,γ分别对着边a,b,c。
17、 在斜△ABC中恒满足: 。
18、△ABC中恒有 。
19、三角形具有稳定性。
参考资料:百度百科——三角形
证明:过P作PG⊥BD于G,∵BD⊥AC,PF⊥AC,∴PG∥DF,GD∥PF(垂直于同一条直线的两条直线互相平行),∴四边形PGDF是平行四边形(两条对边互相平行的四边形是平行四边形);又∵∠GDF=90°,∴四边形PGDF是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形),∴PF=GD(矩形的对边相等)①∵四边形PGDF是矩形∴PG∥DF,即PG∥AC,∴∠BPG=∠C(两条直线平行,同位角相等),又∵AB=AC(已知)∴∠ABC=∠C(等腰三角形的两底角相等),∴∠BPG=∠ABC(等量代换)∵在△BPE与△PBG中,∠PEB=∠BGP∠BPG=∠ABCBP=PB,∴△BPE≌△PBG(AAS)∴PE=BG②①+②:PE+PF=BG+GD即PE+PF=BD.
(没配图,不会,请谅解!!!!!!!)这是一道常见的几何证明问题,难度不大,但很经典,证明方法也很多。
已知:等腰三角形ABC中,AB=AC,BC上任意点D,DE⊥AB,DF⊥AC,BH⊥AC
求证: DE+DF=BH
证法一:
连接AD
则△ABC的面积=AB*DE/2+AC*DF/2=(DE+DF)*AC/2
而△ABC的面积=BH*AC/2
所以:DE+DF=BH
即:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高
证法二:
作DG⊥BH,垂足为G
因为DG⊥BH,DF⊥AC,BH⊥AC
所以四边形DGHF是矩形
所以GH=DF
因为AB=AC
所以∠EBD=∠C
因为GD//AC
所以∠GDB=∠C
所以∠EBD=∠GDB
又因为BD=BD
所以△BDE≌△DBG(ASA)
所以DE=BG
所以DE+DF=BG+GH=BH
证法三:
提示:
过B作直线DF的垂线,垂足为M
运用全等三角形同样可证
另外运用面积方法和三角函数也能进行证明
解:
作BH⊥AC(即作等腰三角形一腰上的高)
1)
三者的关系是:DE+DF=BH
证法一:
连接AD
则△ABC的面积
=△ABD的面积+△ACD的面积
=AB*DE/2+AC*DF/2
因为AB=AC
所以AB*DE/2+AC*DF/2
=(DE+DF)*AC/2
而△ABC的面积=BH*AC/2
所以:DE+DF=BH
(即:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高)
证法二:
作DG⊥BH,垂足为G
因为DG⊥BH,DF⊥AC,BH⊥AC
所以四边形DGHF是矩形
所以GH=DF
因为AB=AC
所以∠EBD=∠C
因为GD//AC
所以∠GDB=∠C
所以∠EBD=∠GDB
又因为BD=BD
所以△BDE≌△DBG(ASA)
所以DE=BG
所以DE+DF=BG+GH=BH
证法三:
提示:
过B作直线DF的垂线,垂足为M
运用全等三角形同样可证
2)
如果D在BC或CB的延长线上,
有下列结论:|DE-DF|=BH
证明方法与上面的类同,下面将D在BC延长线的情形证明一下:
连接AD
则△ABC的面积
=△ABD的面积-△ACD的面积
=AB*DE/2-AC*DF/2
因为AB=AC
所以AB*DE/2-AC*DF/2
=(DE-DF)*AC/2
而△ABC的面积=BH*AC/2
所以:DE-DF=BH
(即:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之差等于腰上的高)
如果D在CB的延长线上,则结论是:DF-DE=BH
将此结论推广到等边三角形:等边三角形中任意一点到三边的距离的和等于等边三角形的一条高。证明的方法与上面的方法类似。这是两条很有用的性质。
如果点在三角形外部,结论形式有所不同,道理是一样的
如图,已知等边三角形ABC和点P,设点P到三角形ABC三边AB\AC\BC(或其延长线)的距离分别为h1、h2、h3,三角形ABC的高为h。
解答提示:
如图,过P作BC的平行线交AB、AC的延长线于G、H,作HQ⊥AG
先证明PD+PE=HQ
(见:)
而HQ=AN,FP=MN
所以PD+PE-PF
=AN-PF
=AM+MN-PF
=AM
即h1+h2-h3=h
另外一个变式问题:
已知:如图,在△ABC中,∠C=90°,点D、P分别在边AC、AB上,且BD=AD,PE⊥BD,PF⊥AD,垂足分别为点E、F。
(1)当∠A=30°时,求证:PE+PF=BC
(2)当∠A≠30°(∠A<∠ABC)时,试问以上结论是否依然正确?如果正确,请加以证明:如果不正确,请说明理由。
腰长5厘米 底边长6厘米 p是底边任意一点 pd垂直于ab pe垂直于ac 垂足为d e pd+pe=
解:
作底边BC上的高AM,设腰上的高=h,连接PA
因为AB=AC=5,BC=6
所以BM=CM=3
所以根据勾股定理得AM=4
因为S△ABC=BC*AM/2=AB*h/2=12
所以h=24/5
因为S△ABC=S△ABP+S△ACP
=AB*PD/2+AC*PE/2
所以5*PD/2+5*PE/2=12
所以PD+PE=24/5
如图,点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点,矩形的两天边长AB/BC分别为8和15,求点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和。
解:
设AC、BD交于O,作AE⊥BD,PM⊥AC,PN⊥BD,连接OP
因为AB=8,BC=AD=15
所以根据勾股定理得BD=17
因为S△ABC=AB*AD/2=AE*BD/2
所以可得AE=120/17
因为四边形ABCD是矩形
所以OA=OD
因为S△OAD=S△OPA+S△OPD
=OA*PM/2+OD*PN/2
=(PM+PN)*OD/2
S△OAD=AE*OD/2
所以PM+PN=AE=120/17
结论:底边上任意一点到两腰距离的和等于等腰三角形一腰上的高.
您帮别人解答呢
如图,已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDE,AC=BC,CD=CE,M、N分别为AE、BD的...
在直角三角形ACE和直角三角形BCD中 CE=CD AC=BC ∴直角三角形ACE≌直角三角形BCD ∴AE=BD ∵CM和CN分别是直角三角形ACE和直角三角形BCD的斜边AE、BD上的中线 而AE=BD ∴CM=CN 且CM=1\/2AE=EM ,CN=1\/2BD=BN ∴<MCE=<MEC <NCB=<MBC ∵<MEC=<BDC=90º-MBC ∴<MCE+<NCB=<MEC...
如图所示,已知:等腰三角形ABC中,∠C=90°,P是△ABC内一点,且PA:PB:PC...
额,题目出错了吧?应该是PA:PC:PB=1:2:3吧?因为PA:PC:PB=1:2:3,为方便起见,不妨设PA=1,PC=2,PB=3。把三角形CPA绕点C旋转90度,使点A与点B重合,点P至点Q处,得到三角形CQB,则三角形CQB全等三角形CPA,于是,角BQC=角APC,CQ=CP=2,AP=BQ=1。因为三角形CPQ是等腰直角三角...
如图,已知等腰RT△ABC和等腰RT△CDE,AC=BC,CD=CE,M,N分别为AE、BD的中 ...
(1)CN=CMCN⊥CM理由 因为 角ACB=角DCE=直角,所以 角ACB--角ECB=角DCE--角ECB,即: 角ACE=角BCD,因为 AC=BC,CD=CE,所以 三角形ACE全等于三角形BCD,所以 AE=BD, 角EAC=角DBC因为 M,N分别是AE,BD的中点,所以 AM=BN,又因为 AC=BC,所以 三角形AMC全等于三角形BNC,所以 CM=CN. 角...
如图,已知等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,D为BC延长线上一点,连AD,以AD为...
1)连接BF 过E作EM⊥CB 过E作EH⊥BF 过A作AN⊥CB 我说下大概的过程吧 ∵△ABN是等腰直角三角形 ∴可以证明△ADN≌△DEM ∴DN=EM MB=DN=EM ∴△EMB是等腰直角三角形 即∠EBM=∠ABN=45° ∴AB⊥EB 3)∵四边形EMBN是正方形 ∴DN=EM=BM=√3 ∴EH=√3 FH=1 FB=1+√3 S△EBF=3...
如图所示,已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20c...
(1)AM=20-2t,则重叠部分面积y=12(20?2t)2; (2)当y=8时,12(20?2t)2=8,解得t1=8,t2=12(舍去)故经过8秒钟重叠部分面积等于8cm2.
如图,已知等腰Rt△ABC,D为斜边BC的中点,过D作DM⊥DN,分别交AB、AC于M...
郭敦顒回答:已知等腰Rt△ABC,D为斜边BC的中点,过D作DM⊥DN,分别交AB、AC于M、N.(1)当M、N分别在线段AB、AC上时,求证:DM=DN;证明:∵∠B=∠BAD=∠CAD=∠ACB=45°,∠ADB=∠NDM=90° 在△AND与△BDM中,AD=BD,∠B=∠BAD,∠AND=∠BDM(同角∠ADM的余角相等)∴△AND≌△BDM...
已知等腰三角形△ABC的 底边BC=8cm,腰是4√5cm,求它的外接圆直径_百度...
如图。AB=4√5, BD=4, 由勾股定理可得AD=8。COS∠BAD=8\/4√5=2√5\/5 设F是外接圆圆心,则AF=BF,AE=BE=2√5, COS∠EAF=COS∠BAD=2√5\/5 AF=AE\/COS∠BAD=2√5\/(2√5\/5)=5 即外接圆直径为5×2=10cm
如图所示已知等腰直角三角形ABC面积是12平方厘米求阴影
过D作BC的垂线交点为E,DE=1\/2AB=r ,2r*2r\/2=12 r*r=6 右边的阴影面积=1\/4*π*r*r-1\/2*r*r=3\/2π-3 所以全部的阴影为右边阴影的三倍 s=3*(3\/2π-3)=3*(4.71-3)=5.13
如图所示,已知在等腰直角三角形ABC中,角ACB=90°,D示斜边AB上任何一点...
证明:因为∠ACB=90度,所以∠ACE+∠BCF=90度因为AE⊥CD所以∠ACE+∠CAE=90度所以∠CAE=∠BCF又因为AC=BC,∠CEA=∠CFB=90度所以 △ACE≌ △BCF(AAS)所以CE=BF
如图已知△ABC是等腰三角形,AE=CD, AD,BE相交于点P,BQ垂直QD于点Q,猜...
题目中的“等腰三角形”更改为“等边三角形”。结论:PB=2PQ.证明:三角形ABC为等边三角形,则:∠BAE=∠C=60?螦B=AC;又AE=CD,故⊿BAE≌CD(SAS),∠ABE=∠CAD;故:∠BPQ=∠BAP+∠ABE=∠BAP+∠CAD=60度;又BQ垂直于AD,所以,PQ=BP\/2,BP=2PQ.
察馨龙牡:[选项] A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
哈巴河县18456609399: 如图所示,已知等腰△ABC中AB=AC,AD是△ABC的角平分线,E是AC延长线上一点,且CE=CD,AD=DE.(1)求证 - ?
察馨龙牡: 解答:(1)证明:∵CD=CE,∴∠E=∠CDE,∴∠ACB=2∠E. 又∵AD=DE,∴∠E=∠DAC,∵AD是△ABC的角平分线,∴∠BAC=2∠DAC=2∠E,∴∠ACB=∠BAC,∴BA=BC. 又∵AB=AC,∴AB=BC=AC. ∴△ABC是等边三角形. (2)解:当AD为△ABC的中线或高时,结论依然成立.
哈巴河县18456609399: 如图,已知:等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=108°,点D在BC上,BD=AB,求证BD/BC的值. - ?
察馨龙牡: 解:BD:BC=2:3 AB=AC,∠BAC=108° ∠ABC=∠ACB=36° BD=AB ∠BAD=∠BDA=72° ∠DAC=108° -72° =36° =1/3倍,∠BAC 所以D点是等腰△ABC 边 BC上的三等分点 所以 BD:BC=2:3 希望对你有所帮助~~~
哈巴河县18456609399: 如图,已知在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点D从点A出发,沿射线AB方向以每秒1个单位长的速度移动,同时点E从点C出发,沿射线CA方向以每秒... - ?
察馨龙牡:[答案] (1)当0
哈巴河县18456609399: 已知:如图,等腰三角形ABC中,AB=AC=4,若以AB为直径的⊙O与BC相交于点D,DE∥AB,DE与AC相交于点E,则DE=____________. - ?
察馨龙牡:[答案] 2 连接AD, ∵AB为直径, ∴∠ADB=90°, 又∵AB=AC, ∴D为BC的中点, 又∵DE∥AB, ∴DE为△ABC的中位线, ∴DE=AB=*4=2.
哈巴河县18456609399: 如图,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,腰上高线为BD,你能否说明∠DBC=1/2∠BAC - ?
察馨龙牡: 证明:由于BD腰上高线,故∠C+∠DBC=90^.而∠C+∠ABC+∠A=2∠C+∠A=180^ 故∠C=(180^-∠A)/2=90^-1/2∠A 所以∠DBC=90^-∠C=90^-(90^-1/2∠A)=1/2∠BAC
哈巴河县18456609399: 如图所示,等腰△ABC中,AB=AC,一腰上中线BD将这个三角形的周长分成15和9两部分,求这个三角形的腰长 - ?
察馨龙牡: 设腰长AB=2X, 底BC=Y(1), AD+AB=15, BC+CD=9 即3X=15 X=5 Y+X=9 Y=4 ∴腰长AB=10 (2)BC+CD=15 AB+AD=9 即3X=9 X=3 X+Y=15 Y=12 ∵6+6=12 这种不可能 ∴这个三角形的腰长10
哈巴河县18456609399: 如图所示,在等腰△ABC中,ab=ac,∠BAC=50° - ?
察馨龙牡:[答案] 是求∠ABC和∠ACB吧 三角形内角和180°,所以,∠BAC+∠ABC+∠ACB=180° 因为ab=ac,所以,∠ABC=∠ACB 所以,∠ABC=∠ACB=(180°-50°)X1/2=65°
哈巴河县18456609399: 如图,已知等腰△ABC中,AB=AC,P、Q分别为AC、AB上的点,且AP=PQ=QB=BC,则∠PCQ的度数为() - ?
察馨龙牡:[选项] A. 30 B. 36 C. 45 D. 37.5
哈巴河县18456609399: 如图,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,点D、E分别在边AB、AC上,且AD=AE,连接BE、CD,交于点F.(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系,并说明理... - ?
察馨龙牡:[答案] (1)∠ABE=∠ACD;在△ABE和△ACD中,AB=AC∠A=∠AAE=AD,∴△ABE≌△ACD,∴∠ABE=∠ACD;(2)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,由(1)可知∠ABE=∠ACD,∴∠FBC=∠FCB,∴FB=FC,∵AB=AC,∴点A、F均在线段BC的垂直平分...