如图所示,已知等腰△ABC中,AB=AC,P是底边BC上任意一点，过点P作PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为E,F过点B作BD

在△ABC中，AB=AC，P是BC上任意一点．（1）如图①，若P是BC边上任意一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，BD~

根据三角形定理得：
（1）如图，连接AP，则S△ABC=S△ABP+S△ACP，
所以，
1/2 AC•BD=1/2 AB•PF+1/2AC•PE，
∵AB=AC，
∴BD=PE+PF；
（2）连接AP，则S△ABC=S△ABP-S△ACP，
所以，1/ 2 AB•CD=1/ 2 AB•PF-1/2 AC•PE，
∵AB=AC，
∴CD=PF-PE．

扩展资料：

性质
1 、在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。
2 、在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)。
3、 在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。
推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4、 一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。
5、 在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。
6 、三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
7、 在一个直角三角形中，若一个角等于30度，则30度角所对的直角边是斜边的一半。
8、直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。
*勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c² ，那么这个三角形是直角三角形。
9、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
10、三角形的三条角平分线交于一点，三条高线的所在直线交于一点，三条中线交于一点。
11、三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。
12、 等底同高的三角形面积相等。
1、3 底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比。
14、三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。
15、等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高、底边上的中线在一条直线上（三线合一）。
16、 在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边。
在三角形中 ,其中角α,β,γ分别对着边a,b,c。
17、 在斜△ABC中恒满足： 。
18、△ABC中恒有 。
19、三角形具有稳定性。
参考资料：百度百科——三角形

证明：过P作PG⊥BD于G，∵BD⊥AC，PF⊥AC，∴PG∥DF，GD∥PF（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），∴四边形PGDF是平行四边形（两条对边互相平行的四边形是平行四边形）；又∵∠GDF=90°，∴四边形PGDF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），∴PF=GD（矩形的对边相等）①∵四边形PGDF是矩形∴PG∥DF，即PG∥AC，∴∠BPG=∠C（两条直线平行，同位角相等），又∵AB=AC（已知）∴∠ABC=∠C（等腰三角形的两底角相等），∴∠BPG=∠ABC（等量代换）∵在△BPE与△PBG中，∠PEB＝∠BGP∠BPG＝∠ABCBP＝PB，∴△BPE≌△PBG（AAS）∴PE=BG②①+②：PE+PF=BG+GD即PE+PF=BD．

（没配图，不会，请谅解！！！！！！！）
这是一道常见的几何证明问题，难度不大，但很经典，证明方法也很多。
已知：等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC上任意点D，DE⊥AB，DF⊥AC，BH⊥AC
求证： DE＋DF＝BH
证法一：
连接AD
则△ABC的面积＝AB*DE/2＋AC*DF/2＝(DE＋DF)*AC/2
而△ABC的面积＝BH*AC/2
所以：DE＋DF＝BH
即：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高
证法二：
作DG⊥BH，垂足为G
因为DG⊥BH，DF⊥AC，BH⊥AC
所以四边形DGHF是矩形
所以GH＝DF
因为AB＝AC
所以∠EBD＝∠C
因为GD//AC
所以∠GDB＝∠C
所以∠EBD＝∠GDB
又因为BD＝BD
所以△BDE≌△DBG（ASA）
所以DE＝BG
所以DE＋DF＝BG＋GH＝BH
证法三：
提示：
过B作直线DF的垂线，垂足为M
运用全等三角形同样可证
另外运用面积方法和三角函数也能进行证明
解：
作BH⊥AC（即作等腰三角形一腰上的高）
1）
三者的关系是：DE＋DF＝BH
证法一：
连接AD
则△ABC的面积
＝△ABD的面积＋△ACD的面积
＝AB*DE/2＋AC*DF/2
因为AB＝AC
所以AB*DE/2＋AC*DF/2
＝(DE＋DF)*AC/2
而△ABC的面积＝BH*AC/2
所以：DE＋DF＝BH
（即：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高）
证法二：
作DG⊥BH，垂足为G
因为DG⊥BH，DF⊥AC，BH⊥AC
所以四边形DGHF是矩形
所以GH＝DF
因为AB＝AC
所以∠EBD＝∠C
因为GD//AC
所以∠GDB＝∠C
所以∠EBD＝∠GDB
又因为BD＝BD
所以△BDE≌△DBG（ASA）
所以DE＝BG
所以DE＋DF＝BG＋GH＝BH
证法三：
提示：
过B作直线DF的垂线，垂足为M
运用全等三角形同样可证
2）
如果D在BC或CB的延长线上，
有下列结论：|DE－DF|＝BH
证明方法与上面的类同，下面将D在BC延长线的情形证明一下：
连接AD
则△ABC的面积
＝△ABD的面积－△ACD的面积
＝AB*DE/2－AC*DF/2
因为AB＝AC
所以AB*DE/2－AC*DF/2
＝(DE－DF)*AC/2
而△ABC的面积＝BH*AC/2
所以：DE－DF＝BH
（即：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之差等于腰上的高）
如果D在CB的延长线上，则结论是：DF－DE＝BH
将此结论推广到等边三角形：等边三角形中任意一点到三边的距离的和等于等边三角形的一条高。证明的方法与上面的方法类似。这是两条很有用的性质。

如果点在三角形外部，结论形式有所不同，道理是一样的
如图，已知等边三角形ABC和点P，设点P到三角形ABC三边AB\AC\BC(或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，三角形ABC的高为h。

解答提示：
如图，过P作BC的平行线交AB、AC的延长线于G、H，作HQ⊥AG
先证明PD＋PE＝HQ
（见：）
而HQ＝AN，FP＝MN
所以PD＋PE－PF
＝AN－PF
＝AM＋MN－PF
＝AM
即h1＋h2－h3＝h

另外一个变式问题：
已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、P分别在边AC、AB上，且BD=AD，PE⊥BD，PF⊥AD，垂足分别为点E、F。
（1）当∠A＝30°时，求证：PE+PF＝BC
（2）当∠A≠30°（∠A＜∠ABC）时，试问以上结论是否依然正确？如果正确，请加以证明：如果不正确，请说明理由。

腰长5厘米 底边长6厘米 p是底边任意一点 pd垂直于ab pe垂直于ac 垂足为d e pd+pe=
解：
作底边BC上的高AM，设腰上的高＝h，连接PA
因为AB＝AC＝5，BC＝6
所以BM＝CM＝3
所以根据勾股定理得AM＝4
因为S△ABC＝BC*AM/2＝AB*h/2＝12
所以h＝24/5
因为S△ABC＝S△ABP＋S△ACP
＝AB*PD/2＋AC*PE/2
所以5*PD/2＋5*PE/2＝12
所以PD＋PE＝24/5
如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两天边长AB/BC分别为8和15，求点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和。
解：

设AC、BD交于O，作AE⊥BD，PM⊥AC，PN⊥BD，连接OP
因为AB＝8，BC＝AD＝15
所以根据勾股定理得BD＝17
因为S△ABC＝AB*AD/2＝AE*BD/2
所以可得AE＝120/17
因为四边形ABCD是矩形
所以OA＝OD
因为S△OAD＝S△OPA＋S△OPD
＝OA*PM/2＋OD*PN/2
＝（PM＋PN）*OD/2
S△OAD＝AE*OD/2
所以PM＋PN＝AE＝120/17

结论:底边上任意一点到两腰距离的和等于等腰三角形一腰上的高.

您帮别人解答呢

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哈巴河县18456609399： 如图,已知等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC于点D,点P是BA延长线上一点,点O是线段AD上一点,OP=OC,下面的结论:①∠APO+∠DCO... - ？
察馨龙牡：[选项] A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

哈巴河县18456609399： 如图所示,已知等腰△ABC中AB=AC,AD是△ABC的角平分线,E是AC延长线上一点,且CE=CD,AD=DE.(1)求证 - ？
察馨龙牡： 解答:(1)证明:∵CD=CE,∴∠E=∠CDE,∴∠ACB=2∠E. 又∵AD=DE,∴∠E=∠DAC,∵AD是△ABC的角平分线,∴∠BAC=2∠DAC=2∠E,∴∠ACB=∠BAC,∴BA=BC. 又∵AB=AC,∴AB=BC=AC. ∴△ABC是等边三角形. (2)解:当AD为△ABC的中线或高时,结论依然成立.

哈巴河县18456609399： 如图,已知:等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=108°,点D在BC上,BD=AB,求证BD/BC的值. - ？
察馨龙牡： 解:BD:BC=2:3 AB=AC,∠BAC=108° ∠ABC=∠ACB=36° BD=AB ∠BAD=∠BDA=72° ∠DAC=108° -72° =36° =1/3倍,∠BAC 所以D点是等腰△ABC 边 BC上的三等分点 所以 BD:BC=2:3 希望对你有所帮助~~~

哈巴河县18456609399： 如图,已知在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点D从点A出发,沿射线AB方向以每秒1个单位长的速度移动,同时点E从点C出发,沿射线CA方向以每秒... - ？
察馨龙牡：[答案] (1)当0
哈巴河县18456609399： 已知:如图,等腰三角形ABC中,AB=AC=4,若以AB为直径的⊙O与BC相交于点D,DE∥AB,DE与AC相交于点E,则DE=____________. - ？
察馨龙牡：[答案] 2 连接AD, ∵AB为直径, ∴∠ADB=90°, 又∵AB=AC, ∴D为BC的中点, 又∵DE∥AB, ∴DE为△ABC的中位线, ∴DE=AB=*4=2.

哈巴河县18456609399： 如图,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,腰上高线为BD,你能否说明∠DBC=1/2∠BAC - ？
察馨龙牡： 证明:由于BD腰上高线,故∠C+∠DBC=90^.而∠C+∠ABC+∠A=2∠C+∠A=180^ 故∠C=(180^-∠A)/2=90^-1/2∠A 所以∠DBC=90^-∠C=90^-(90^-1/2∠A)=1/2∠BAC

哈巴河县18456609399： 如图所示,等腰△ABC中,AB=AC,一腰上中线BD将这个三角形的周长分成15和9两部分,求这个三角形的腰长 - ？
察馨龙牡： 设腰长AB=2X, 底BC=Y(1), AD+AB=15, BC+CD=9 即3X=15 X=5 Y+X=9 Y=4 ∴腰长AB=10 (2)BC+CD=15 AB+AD=9 即3X=9 X=3 X+Y=15 Y=12 ∵6+6=12 这种不可能 ∴这个三角形的腰长10

哈巴河县18456609399： 如图所示,在等腰△ABC中,ab=ac,∠BAC=50° - ？
察馨龙牡：[答案] 是求∠ABC和∠ACB吧 三角形内角和180°,所以,∠BAC+∠ABC+∠ACB=180° 因为ab=ac,所以,∠ABC=∠ACB 所以,∠ABC=∠ACB=(180°-50°)X1/2=65°

哈巴河县18456609399： 如图,已知等腰△ABC中,AB=AC,P、Q分别为AC、AB上的点,且AP=PQ=QB=BC,则∠PCQ的度数为() - ？
察馨龙牡：[选项] A. 30 B. 36 C. 45 D. 37.5

哈巴河县18456609399： 如图,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,点D、E分别在边AB、AC上,且AD=AE,连接BE、CD,交于点F.(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系,并说明理... - ？
察馨龙牡：[答案] (1)∠ABE=∠ACD;在△ABE和△ACD中,AB=AC∠A=∠AAE=AD,∴△ABE≌△ACD,∴∠ABE=∠ACD;(2)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,由(1)可知∠ABE=∠ACD,∴∠FBC=∠FCB,∴FB=FC,∵AB=AC,∴点A、F均在线段BC的垂直平分...