圆锥曲线切线方程公式

圆锥曲线切线方程公式~

圆锥曲线切线方程公式：x^2/a^2+y^2/b^2=1。曲线，是微分几何学研究的主要对象之一。直观上，曲线可看成空间质点运动的轨迹。微分几何就是利用微积分来研究几何的学科。为了能够应用微积分的知识，我们不能考虑一切曲线，甚至不能考虑连续曲线，因为连续不一定可微。这就要我们考虑可微曲线。
立体几何定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。旋转轴叫做圆锥的轴。垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面。

一、圆
[圆的方程、圆心与半径]

方程x²+ y²= R²

圆心与半径
圆心 G(0,0)
半径 r = R




(x -a)²+(y - b)²= R²
圆心 G(a, b)
半径 r = R




x²+y²+2mx + 2ny + q = 0
m²+ n²> q
圆心 G(-m,-n)
半径







r2-2rr0cos(j-j0)+r02 = R2 (极坐标方程)


圆心 G(r0,j0)
半径 r = R





x2 + y2 = 2Rx
或r= 2Rcosj
(极坐标方程)


圆心 G(R, 0)
半径 r = R
[圆的切线]
圆 x²+ y²= R²上一点M(x0, y0)的切线方程为
x0x + y0y = R²
圆 x2 + y2 + 2mx + 2ny + q = 0 上一点M(x0, y0)的切线方程为
x0x + y0y + m(x + x0) + n(y + y0) + q = 0
[两个圆的交角、圆束与根轴]

方程与图形

公式与说明



两个圆的交角
C1 x²+y²+2m1x +2n1y +q1 = 0
C2 x²+y²+2m2x +2n2y +q2 = 0
两个圆的交角是指它们在交点的两条切线的夹角





式中q表示两个圆C1和C2的交角，因为公式中不包含交点的坐标，所以在两交点的两交角必相等.
两个圆C1和C2正交条件为
2m1m2 + 2n1n2 - q1 - q2 = 0



圆束× 两个圆的根轴
C1+ lC2 = 0 (l为参数)
或 (l+1)(x2+y2) +2(m1+lm2)x
+(n1+ln2)y + (q1 +lq2) = 0
根轴方程为2(m1 - m2)x + 2(n1 - n2)y + (q1 - q2) = 0




对l(l¹-1)的一个确定值，表示一个圆.当l取一切值(l¹-1)时，所表示的圆的全体，称为圆束.l = -1时，为一直线，称为两个圆C1和C2的根轴.根轴与C1和C2的连心线垂直，束中任一圆的圆心在C1和C2的连心线上，且分连心线的比等于l.
(a)如果C1和C2相交于两点M1，M2，则束中一切圆都通过两交点M1，M2，它们的根轴就是它们的公共弦.这时圆束称为共轴圆系(图(a)).
(b)如果C1和C2切于一点M，则束中一切圆都在一点M相切，根轴就是在点M的公切线(图(b)).
(c)如果C1和C2不相交，则束中一切圆都不相交，根轴也与圆束中一切圆都不相交(图(c)).
从点P作两个圆C1和C2的切线，具有相等切线长的点P的轨迹就是根轴.两个同心圆的根轴是从公共圆心到无穷远处的直线.三个圆中每对圆的根轴(共三个)交于一点，它称为根心.若三个圆心共线，则其根心在无穷远处.



[反演] 设C为一定圆，O为圆心，r为半径(图7.1)，对平面上任一点M，有一点M¢与它对应.使得满足下列两个条件：
（i）O, M, M¢共线，
（ii）OM× OM¢= r2，
这种点M¢称为点M关于定圆C的反演点，C称为反演圆，O称为反演中心，r称为反演半径.
由于M和M¢的关系是对称的，所以M也是M¢的反演点.因r2 > 0，所以M和M¢都在O的同侧.M和M¢之间的对应称为关于定圆C的反演.
取O为原点，则一切反演点M(x, y)和M¢(x¢,y¢)的对应方程为



反演具有性质：

1° 不通过反演中心的一条直线变为通过反演中心的一个圆.
2° 通过反演中心的圆变为不通过反演中心的直线.
3° 通过反演中心的一条直线变为它自己.
4° 不通过反演中心的圆变为不通过反演中心的圆.
5° 反演圆变为它自己.
6° 与反演圆正交的圆变为它自己，其逆也真.
7° 如果两条曲线C1，C2交于一点M，则经过反演后的曲线C1¢, C2¢必交于M的反演点M¢.
8° 如果两条曲线C1, C2在一点M相切，则经过反演后的曲线C1¢, C2¢必在M的反演点M¢相切.
9° 两条曲线的交角在反演下是不变的.由此可见，反演是一个保角变换。
焦点弦长公式:r=ep/(1-ecosθ）,e是离心率,p是焦点到准线的距离,θ是与极轴的夹角,是极坐标中的表达式,根据e与1的大小关系分为椭圆,抛物线,双曲线.可以用第二定义证.双曲线焦半径公式:设双曲线为：(x/a)² -(y/b)²=1 焦点为f(c,0) ,准线为：x= ±a²/c 设a(x ,y)是双曲线右支上的任一点 则a到准线的距离为：|x±a²/c|=x±a²/c 由双曲线的第二定义得：fa/|c±a²/c| = e 所以 fa = e*(x ±a²/c)= (c/a) *(x ±a²/c) = ex ± a 椭圆焦半径：f1为左焦点,f2为右焦点.（这个可以从增减性看出来,所以符号不用背啦）|pf1|=a+ex0.|pf2|＝a-ex0． 即当椭圆的焦点在x轴上时,椭圆的左、右焦半径分别是 |pf1|=a+ey0,|pf2|=a－ey0
双曲线各量计算公式






双曲线各量

计 算 公 式



[曲率半径]R



式中r1, r2为焦点半径，p为焦点参数，a为点M(x, y)的焦点半径与切线的夹角，特别，顶点A, B的曲率半径




[弧长]=
式中e为离心率



[面积] S

弓形(AMN)的面积：

OAMI的面积：
这里OI, OJ为渐近线，MI // OJ

圆锥曲线切线方程公式是x^2/a^2+y^2/b^2=1。

圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。

1、椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。即：{p| |pf1|+|pf2|=2a, (2a>|f1f2|)}。

2、双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即{p|||pf1|-|pf2||=2a, (2a<|f1f2|)}。

3、抛物线：到一个定点和一条定直线的距离相等的动点轨迹叫做抛物线。

4、圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。

立体几何定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。旋转轴叫做圆锥的轴。垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面。

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甘南藏族自治州18378834725： 圆锥曲线中曲线上或曲线外的一点切线标准方程是什么 - ？
登往八味： 1)直线 参数方程:x=X+tcosθ y=Y+tsinθ (t为参数) 直角坐标:y=ax+b 2)圆 参数方程:x=X+rcosθ y=Y+rsinθ (θ为参数 ) 直角坐标:x^2+y^2=r^2 (r 为半径) 3)椭圆 参数方程:x=X+acosθ y=Y+bsinθ (θ为参数 ) 直角坐标(中心为原点):x^2/a^2 + ...

甘南藏族自治州18378834725： 过圆锥曲线上任意一点的切线方程是什么? - ？
登往八味： 一般二次曲线Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F=0上一点(x`,y`),过该点的切线方程为Ax`x+Cy`y+D(x`+x)/2+E(y`+y)/2+F=0

甘南藏族自治州18378834725： 圆锥曲线的切线方程怎么求??、 - ？
登往八味： 条件不同,方法也不同,最常见的条件是给一个点(a,b)或给斜率K, 前者可设(y-b)/(x-a)=k, 后者可设y=kx+m,然后代入圆锥曲线方程,整理后得到形如ax^2+bx+c=0的二次方程,然后解判别式b^2--4ac=0方程,求出等于0的k值,或m值.用这样的方法可以求切线方程.因为判别式等于0,说明直线与曲线有且只有一个交点,即切点.

甘南藏族自治州18378834725： 圆锥曲线的切线怎么推导~比如说椭圆好象有个公式XX/4+YY/3=1 的过点(X0,Y0)切线是 XX0/4+YY0/3=1貌似是这样的~ - ？
登往八味：[答案] 是的,你可以逆推,把切线带入 #=0 或把y的放一边 两边求导

甘南藏族自治州18378834725： 圆锥曲线求切线方程算出来好奇怪求帮忙 - ？
登往八味： 切点为(2,-2),可设切线方程为:x-2=m(y+2) 即:x=my+2m+2 代入抛物线得:y²=2my+4m+4 y²-2my-4m-4=0 相切,则:△=0 即:4m²+16m+16=0 m²+4m+4=0 得:m=-2 所以,切线方程为:x-2=-2(y+2) 整理得:x+2y+2=0 祝你开心!希望能帮到你,如果不懂,请追问,祝学习进步!O(∩_∩)O

甘南藏族自治州18378834725： 过圆锥曲线上任意一点的切线方程是什么?答案有3个方程 - ？
登往八味：[答案] 1)直线 参数方程:x=X+tcosθ y=Y+tsinθ (t为参数) 直角坐标:y=ax+b 2)圆 参数方程:x=X+rcosθ y=Y+rsinθ (θ为参数 ) 直角坐标:x^2+y^2=r^2 (r 为半径) 3)椭圆 参数方程:x=X+acosθ y=Y+bsinθ (θ为参...

甘南藏族自治州18378834725： 圆锥曲线的方程? - ？
登往八味： 圆锥曲线包括椭圆,双曲线,抛物线.其统一定义:到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线.当01时为双曲线.1)椭圆 文字语言定义:平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e...

甘南藏族自治州18378834725： 圆锥曲线在极坐标下如何求切线方程 - ？
登往八味： 如果已知圆锥曲线方程为f(rou, theta) = 0,求直角坐标系下切线斜率,那么代入: rou = sqrt (x^2 + y^2),theta = arc tan (y/x),就有 f( sqrt (x^2 + y^2) , arc tan (y/x)) = 0 ,两边同时对x求导,注意这里y已经是x的隐函数了,y^2的导数为2yy'.解出y'即...

甘南藏族自治州18378834725： 如何求圆锥曲线的切线方程 - ？
登往八味： 设圆锥曲线方程为ax^2+bx^2=c,则其在(x0,y0)处切线方程就是 ax*x0+bx*x0=c

甘南藏族自治州18378834725： 圆锥曲线在极坐标下如何求切线方程 - ？
登往八味：[答案] 如果已知圆锥曲线方程为f(rou, theta) = 0,求直角坐标系下切线斜率,那么代入:rou = sqrt (x^2 + y^2),theta = arc tan (y/x),就有f( sqrt (x^2 + y^2) , arc tan (y/x)) = 0 ,两边同时对x求导,注意这里y已经是x的隐...