圆锥曲线切线方程公式
圆锥曲线切线方程公式:x^2/a^2+y^2/b^2=1。曲线,是微分几何学研究的主要对象之一。直观上,曲线可看成空间质点运动的轨迹。微分几何就是利用微积分来研究几何的学科。为了能够应用微积分的知识,我们不能考虑一切曲线,甚至不能考虑连续曲线,因为连续不一定可微。这就要我们考虑可微曲线。
立体几何定义:以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。旋转轴叫做圆锥的轴。垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面。
一、圆
[圆的方程、圆心与半径]
方程x²+ y²= R²
圆心与半径
圆心 G(0,0)
半径 r = R
(x -a)²+(y - b)²= R²
圆心 G(a, b)
半径 r = R
x²+y²+2mx + 2ny + q = 0
m²+ n²> q
圆心 G(-m,-n)
半径
r2-2rr0cos(j-j0)+r02 = R2 (极坐标方程)
圆心 G(r0,j0)
半径 r = R
x2 + y2 = 2Rx
或r= 2Rcosj
(极坐标方程)
圆心 G(R, 0)
半径 r = R
[圆的切线]
圆 x²+ y²= R²上一点M(x0, y0)的切线方程为
x0x + y0y = R²
圆 x2 + y2 + 2mx + 2ny + q = 0 上一点M(x0, y0)的切线方程为
x0x + y0y + m(x + x0) + n(y + y0) + q = 0
[两个圆的交角、圆束与根轴]
方程与图形
公式与说明
两个圆的交角
C1 x²+y²+2m1x +2n1y +q1 = 0
C2 x²+y²+2m2x +2n2y +q2 = 0
两个圆的交角是指它们在交点的两条切线的夹角
式中q表示两个圆C1和C2的交角,因为公式中不包含交点的坐标,所以在两交点的两交角必相等.
两个圆C1和C2正交条件为
2m1m2 + 2n1n2 - q1 - q2 = 0
圆束× 两个圆的根轴
C1+ lC2 = 0 (l为参数)
或 (l+1)(x2+y2) +2(m1+lm2)x
+(n1+ln2)y + (q1 +lq2) = 0
根轴方程为2(m1 - m2)x + 2(n1 - n2)y + (q1 - q2) = 0
对l(l¹-1)的一个确定值,表示一个圆.当l取一切值(l¹-1)时,所表示的圆的全体,称为圆束.l = -1时,为一直线,称为两个圆C1和C2的根轴.根轴与C1和C2的连心线垂直,束中任一圆的圆心在C1和C2的连心线上,且分连心线的比等于l.
(a)如果C1和C2相交于两点M1,M2,则束中一切圆都通过两交点M1,M2,它们的根轴就是它们的公共弦.这时圆束称为共轴圆系(图(a)).
(b)如果C1和C2切于一点M,则束中一切圆都在一点M相切,根轴就是在点M的公切线(图(b)).
(c)如果C1和C2不相交,则束中一切圆都不相交,根轴也与圆束中一切圆都不相交(图(c)).
从点P作两个圆C1和C2的切线,具有相等切线长的点P的轨迹就是根轴.两个同心圆的根轴是从公共圆心到无穷远处的直线.三个圆中每对圆的根轴(共三个)交于一点,它称为根心.若三个圆心共线,则其根心在无穷远处.
[反演] 设C为一定圆,O为圆心,r为半径(图7.1),对平面上任一点M,有一点M¢与它对应.使得满足下列两个条件:
(i)O, M, M¢共线,
(ii)OM× OM¢= r2,
这种点M¢称为点M关于定圆C的反演点,C称为反演圆,O称为反演中心,r称为反演半径.
由于M和M¢的关系是对称的,所以M也是M¢的反演点.因r2 > 0,所以M和M¢都在O的同侧.M和M¢之间的对应称为关于定圆C的反演.
取O为原点,则一切反演点M(x, y)和M¢(x¢,y¢)的对应方程为
反演具有性质:
1° 不通过反演中心的一条直线变为通过反演中心的一个圆.
2° 通过反演中心的圆变为不通过反演中心的直线.
3° 通过反演中心的一条直线变为它自己.
4° 不通过反演中心的圆变为不通过反演中心的圆.
5° 反演圆变为它自己.
6° 与反演圆正交的圆变为它自己,其逆也真.
7° 如果两条曲线C1,C2交于一点M,则经过反演后的曲线C1¢, C2¢必交于M的反演点M¢.
8° 如果两条曲线C1, C2在一点M相切,则经过反演后的曲线C1¢, C2¢必在M的反演点M¢相切.
9° 两条曲线的交角在反演下是不变的.由此可见,反演是一个保角变换。
焦点弦长公式:r=ep/(1-ecosθ),e是离心率,p是焦点到准线的距离,θ是与极轴的夹角,是极坐标中的表达式,根据e与1的大小关系分为椭圆,抛物线,双曲线.可以用第二定义证.双曲线焦半径公式:设双曲线为:(x/a)² -(y/b)²=1 焦点为f(c,0) ,准线为:x= ±a²/c 设a(x ,y)是双曲线右支上的任一点 则a到准线的距离为:|x±a²/c|=x±a²/c 由双曲线的第二定义得:fa/|c±a²/c| = e 所以 fa = e*(x ±a²/c)= (c/a) *(x ±a²/c) = ex ± a 椭圆焦半径:f1为左焦点,f2为右焦点.(这个可以从增减性看出来,所以符号不用背啦)|pf1|=a+ex0.|pf2|=a-ex0. 即当椭圆的焦点在x轴上时,椭圆的左、右焦半径分别是 |pf1|=a+ey0,|pf2|=a-ey0
双曲线各量计算公式
双曲线各量
计 算 公 式
[曲率半径]R
式中r1, r2为焦点半径,p为焦点参数,a为点M(x, y)的焦点半径与切线的夹角,特别,顶点A, B的曲率半径
[弧长]=
式中e为离心率
[面积] S
弓形(AMN)的面积:
OAMI的面积:
这里OI, OJ为渐近线,MI // OJ
圆锥曲线切线方程公式是x^2/a^2+y^2/b^2=1。
圆锥曲线包括椭圆,双曲线,抛物线。
1、椭圆:到两个定点的距离之和等于定长(定长大于两个定点间的距离)的动点的轨迹叫做椭圆。即:{p| |pf1|+|pf2|=2a, (2a>|f1f2|)}。
2、双曲线:到两个定点的距离的差的绝对值为定值(定值小于两个定点的距离)的动点轨迹叫做双曲线。即{p|||pf1|-|pf2||=2a, (2a<|f1f2|)}。
3、抛物线:到一个定点和一条定直线的距离相等的动点轨迹叫做抛物线。
4、圆锥曲线的统一定义:到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0<1时为椭圆:当e=1时为抛物线;当e>1时为双曲线。
立体几何定义:以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。旋转轴叫做圆锥的轴。垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面。
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抛物线的切线方程的结论是什么?
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抛物线的切线方程二级结论
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甘南藏族自治州18378834725: 圆锥曲线的切线怎么推导~比如说椭圆好象有个公式XX/4+YY/3=1 的过点(X0,Y0)切线是 XX0/4+YY0/3=1貌似是这样的~ - ?
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甘南藏族自治州18378834725: 圆锥曲线求切线方程算出来好奇怪求帮忙 - ?
登往八味: 切点为(2,-2),可设切线方程为:x-2=m(y+2) 即:x=my+2m+2 代入抛物线得:y²=2my+4m+4 y²-2my-4m-4=0 相切,则:△=0 即:4m²+16m+16=0 m²+4m+4=0 得:m=-2 所以,切线方程为:x-2=-2(y+2) 整理得:x+2y+2=0 祝你开心!希望能帮到你,如果不懂,请追问,祝学习进步!O(∩_∩)O
甘南藏族自治州18378834725: 过圆锥曲线上任意一点的切线方程是什么?答案有3个方程 - ?
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