高等数学比值审敛法的方法证明

高等数学无穷级数 比较审敛法极限形式和比值审敛法 区别和联系？~

比值法是级数∑Un自身的相邻两项进行比较，极限不是1的话，就可以判断出是收敛还是发散。
比较法是需要找到另一个已知收敛性的级数∑Vn来与自身∑Un比较，所以需要大量的做题和经验才能知道如何选择∑Vn，常用的∑Vn是等比级数和P级数。
比值法更好用，所以在判断正项级数的收敛性时，首先考虑比值法，如果极限是1，再考虑比较法。

（3）使用达朗贝尔比值判别法
q=lim(n->∞) U(n+1)/Un

=lim(n->∞) [(n+1)!*10^(n+1)*(2n)!]/[n!*10^n*(2n+2)!]
=lim(n->∞) [(n+1)*10]/(2n+1)(2n+2)
=lim(n->∞) 5/(2n+1)
=0
<1
所以原级数收敛
（4）q=lim(n->∞) U(n+1)/Un
=lim(n->∞) [5^(n+1)+(n+1)^4](7^n+n^2)/[7^(n+1)+(n+1)^2](5^n+n^4)
=lim(n->∞) [5^(n+1)+(n+1)^4][1+n^2/(7^n)]/[7+(n+1)^2/(7^n)](5^n+n^4)
=(1/7)*lim(n->∞) [5^(n+1)+(n+1)^4]/(5^n+n^4)
=(1/7)*lim(n->∞) [5+(n+1)^4/(5^n)]/[1+n^4/(5^n)]
=5/7
<1
所以原级数收敛

相邻两项的比值：

[（n+1）！/（n+1）^(n+1)]/[n！/n^n]

=（n+1）n^n/（n+1）^(n+1)

=n^n/（n+1）^n

=[n/(n+1)]^n

=[1-1/(n+1)]^(n+1)/[1-1/(n+1)]

=1/[1-1/(n+1)]{[1-1/(n+1)]^-(n+1)}

-->1/e

<1收敛。

函数收敛：

定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。

收敛的定义方式很好的体现了数学分析的精神实质。

如果给定一个定义在区间i上的函数列，u1(x）， u2（x） ，u3（x）......至un（x）....... 则由这函数列构成的表达式u1（x）+u2（x）+u3（x）+......+un（x）+......⑴称为定义在区间i上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数。

利用上极限和下极限的定义和性质
再利用夹逼定理证明

只证明了l是常数的情况
l是无穷大时比较容易证明

从第三行开始都是错误的，极限运算法则使用错误

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菏泽市15913424061： 高数比较审敛法证明敛散性 - ？
子车彪络德： 首先必须是正项级数,然后根据通项优先考虑比值审敛法或根值审敛法,如果你用这两种方法得出极限值为1,无法判定敛散性,这两种方法失效,这时候一般用比较审敛法是有效的.前两种审敛法简单粗暴,但是适用范围有效,一旦极限值为1,就没有用了,比较审敛法适用范围更广,但是蛋疼的在于怎么找一个已知的级数用来有效地判定所求级数的敛散性,感觉还是多做题就好了

菏泽市15913424061： 谢谢.请问缺项的幂级数要用比值审敛法来做 - ？
子车彪络德： 比值审敛法确实是用于正项级数的方法. 用此方法加了绝对值求出来的收敛半径就=原来的幂级数的收敛半径. 缺项的幂级数如果要用比值审敛法来做,必须带着x来做,不能象通常那样只对an做.

菏泽市15913424061： 怎样证明级数 1/(n+2) 的发散性 - ？
子车彪络德：[答案] 利用1/n和1/n+2的比值,当n趋于无穷大时比值是一,所以1/n,和1/n+2是等价无穷小,根据比值审敛法的极限形式,因为1/n发散,所以1/n+2发散

菏泽市15913424061： 比值审敛法中,lim(n - >无穷大)Un+1/Un=p,怎么证明p<1,级数收敛,书上只写了用归纳法,没写详细 - ？
子车彪络德： lim(n->无穷大)U(n+1)/Un=p<1,那么对于1-p>0,取ε<1-p,a=ε+p<1 由极限定义:存在N,当n>N时,|U(n+1)/Un-p|故U(n+1)右端级数收敛,由比较判别法知,原级数收敛

菏泽市15913424061： 证明∑1/n^n敛散性 最好用比值判别法 - ？
子车彪络德：[答案] 比值判不出,可以用柯西积分判敛,也可以1/n^n>1/(n*(n+1)),用单调有界收敛判

菏泽市15913424061： 这个级数收敛怎么证明?比值审敛法是怎么回事? - ？
子车彪络德：用比值审敛法: |a(n+1)/a(n)8^(n+1)]n!}/[(8^n)(n+1)!]| = 8/(n+1) → 0 (n→inf.),即可得....

菏泽市15913424061： 用比值审敛法判别敛散性,要求写出解题过程 - ？
子车彪络德： 令Un=4^n/(5^n-3^n) Un+1=4^(n+1)/[5^(n+1)-3^(n+1)] lim n→∞ |Un+1|/|Un| =lim n→∞ |4^(n+1)/[5^(n+1)-3^(n+1)]/[4^n/(5^n-3^n)]| =lim n→∞ |4(5^n-3^n)/[5^(n+1)-3^(n+1)]| 上下同除5^(n+1) =lim n→∞ |4(1/5-0)/(1-0)| =4/5所以该级数收敛

菏泽市15913424061： 大学高等数学 常数项级数的审敛法 证明题 - ？
子车彪络德：这个是利用了比值法进行判定,常数项级数的比值法是说如果数列收敛,那么数列的极限等于零,且数列在当n大于某一个数值N后,数列单调递减,即后一项比前一项的值的极限是小于1的.反之也是成立的.不懂可以追问.

菏泽市15913424061： 用比值审敛法判定下列级数的敛散性 - ？
子车彪络德： 对∑(2^n)/n! 则an=(2^n)/n! 因为a(n+1)/an=[(2^(n+1))/(n+1)!]/[(2^n)/n!]=2/(n+1) 所以lim[a(n+1)/an]=lim[(2^(n+1))/(n+1)!]/[(2^n)/n!]=lim[2/(n+1)]=0<1 由比值审敛法知∑(2^n)/n!收敛 lim(n/(n+1))^n=lim[1/(1+1/n)^n]=1/e<1

菏泽市15913424061： 比值审敛法∑(1→∞)(2∧n*n!)/n∧n收敛 - ？
子车彪络德：[答案] ρ = lima/a = lim2^(n+1)*(n+1)!*n^n/[2^n*n!*(n+1)^(n+1)] = lim2n^n/[(n+1)^n] = lim2/[(1+1/n)^n] = 2/e 故原级数收敛.