已知数列an满足a1=1,a(n+1)-2an=2∧(n+1),求an通式
求解数列的通项公式,详细过程写在纸上了,有不懂或错误的地方请追问
自己亲手演算的,望楼楼采纳,谢谢咯!
法一:待定系数法。
设待定系数s、t,使a(n+2)-sa(n+1)=t(a(n+1)-san)。
整理得a(n+2)=(s+t)a(n+1)-stan。
对比原式,得s+t=3,st=2.
解得s=1,t=2或s=2,t=1.
用后一组解,有a(n+2)-2a(n+1)=a(n+1)-2an,a2-2a1=1.
∴数列{a(n+1)-2an}是首项a2-2a1=1,公比q=1的等比数列。
∴a(n+1)-2an=a2-2a1=1,故a(n+1)=2an+1.
则a(n+1)+1=2(an+1),a1+1=2.
∴数列{an+1}是首项a1+1=2,公比q=2的等比数列。
∴an+1=(a1+1)×qⁿ⁻¹=2ⁿ
∴an=2ⁿ-1.
综上,数列{an}的通项公式为an=2ⁿ-1.
法二:数学归纳法。
a1=1,a2=3.
猜想an=2ⁿ-1.
①当n=1、2时,猜想显然成立。
②假设当n=k、k+1时结论成立,则有ak=2^k-1,a(k+1)=2^(k+1)-1.
③当n=k+2时:
a(k+2)=3a(k+1)-2ak
=3×2^(k+1)-3-2×2^k+2
=2×2^(k+1)-1
=2^(k+2)-1.
显然,n=k+2时结论也成立。
综上,由①、②、③得对任意n∈N*,an=2ⁿ-1.
法三:特征方程法。
a(n+2)=3a(n+1)-2an
其特征方程为x^2=3x-2,解得x1=1,x2=2.
从而an=c₁x1ⁿ+c₂x2ⁿ=c₁+c₂×2ⁿ.
代入a1、a2的值,得c1+2c2=1,c1+4c2=3.
解得c1=-1,c2=1,故an=2ⁿ-1.
综上,数列{an}的通项公式为an=2ⁿ-1.
解答:
a(n+1)=2a(n)/[a(n)+2]
取倒数
1/a(n+1)=[a(n)+2]/[2a(n)]=1/2+1/a(n)
∴ 1/a(n+1)-1/a(n)=1/2
即{1/a(n)}是等差数列,首项为1/a1=1/2,公差为1/2
∴1/a(n)=1/2+(1/2)(n-1)=n/2
∴ an=2/n
由题得a(n) - 2a(n-1) =2^n,两边乘二得2a(n) - 4a(n-1) =2^(n+1)
把所有的都列出来
式子1 : a(n+1) - 2an =2^(n+1),
式子2 : 2a(n) - 4a(n-1) =2^(n+1),
式子3 : 4a(n-1) - 8a(n-2) =2^(n+1),
…… ……
式子n : 2^(n-1) * a2 - 2^n * a1 = 2^(n+1)
把所有式子相加,得到a(n+1) - 2^n * a1=2^(n+1) * n
最后a(n+1)=2^(n+1)*n + 2^n
从而an易得=2^n*(n-1) + 2^(n-1)
已知数列{an}满足a1=1\/3,a2=7\/9,an+2=4\/3an+1-1\/3an (1)求{an}的通...
a(n+2)-a(n+1)=(1\/3)[a(n+1)-a(n)],{a(n+1)-a(n)}是首项为a(2)-a(1)=7\/9 - 1\/3 = 4\/9,公比为(1\/3)的等比数列.a(n+1)-a(n) = (4\/9)(1\/3)^(n-1) = 4\/3^(n+1),a(n+1)3^(n+1) = 3a(n)3^(n) + 4,2+a(n+1)3^(n+1) = 3[2 ...
已知数列{an}满足:a1=3\/2,且an=(3n·an-1)\/(2an-1+n-1)(n≥2,n∈N*...
故由数学归纳法知①式对一切n∈N*均成立 ∴(1-1\/3)(1-1\/3^2)...(1-1\/3^n)>=1-(1\/3+1\/3^2+...1\/3^n)=1-(1\/3)[1-(1\/3)^n]\/(1-1\/3)=1-(1\/2)[1-(1\/3)^n]=1\/2+1\/2(1\/3)^n >1\/2 即原式成立,2,已知数列{an}满足:a1=3\/2,且an=(3n·an-1)\/...
已知数列{ an}满足:a1=1,a2=1\/2,且[3+(-1)^n]an+
解:(1)令n=1,则a3=3;令n分别为2,3,4,得a4=1\/4,a5=5,a6=1\/8 当n为奇数时,[3+(-1)^n]a(n+2)-2an+2[(-1)^n-1]=2a(n+2)-2an-4=0 即a(n+2)-an=2 又a1=1,故得an=n 当n为偶数时,得4a(n+2)-2an=0,即a(n+2)=1\/2an,又a2=1\/2,故得an=...
简单高一题:已知数列an满足a1,a2-a1,a3-a2,...an-a(n-1),是首项为1,
an-a(n-1)=1*a^(n-1)a(n-1)-a(n-2)=1*a^(n-2)a2-a1=1*a a1=1 相加 左边正负抵消=an 右边=1+a+a²+……+a^(n-1)=1*(1-a^n)\/(1-a)所以an=(1-a^n)\/(1-a)网络百科教团为你解答,如有不懂可以追问,如果懂了可以采纳,谢谢 ...
已知数列{an}满足:a1=1,an={1+2an2n为偶数...
所以bn+1=a2n+1(4分)又a2n+1=(2a2n2+1)+1=2(a2n-1+1)=2bn 所以bn+1=2bn(6分)又b1=a21-1+1=a1+1=2(7分)所以{bn}是首项为2,公比为2的等比数列,所以bn=2n(8分)(Ⅲ)存在.事实上,对任意的m≥2,k∈N*,在数列{an}中,a2m,a2m+...
已知数列{an}满足a1=3,an=an-1 +1\/n(n-1)(n≥2),那么此数列的通项公式...
根据an=an-1 +1\/n(n-1)可知:a1=3=(4-1)\/1 a2=a1+1\/(2*1)=3+1\/2=7\/2=4-1\/2 a3=7\/2+1\/(3*2)=22\/6=11\/3=4-1\/3 a4=11\/3+(4*3)=45\/12=15\/4=4-1\/4 所以,我们可以先假设an=(4n-1)\/n=4-1\/n,那么an=an-1+1\/n(n-1)=4-1\/(n-1)+1\/n(n-1)=...
已知数列{an}满足,a1=1,a2=2,an+2=(an十an+1)\/2,n∈N,求{an}的通项公...
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已知数列an满足a1=1,an+1乘以an=2的n次方,n属于正整数,sn是数列an的...
解:由an+1*an=2^n①, 可得an+2·an+1=2^(n+1)②, ②\/①,两者相除,可得an+2\/an=2, 观察此式,可以发现,数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列, 奇数项和偶数项分别所形成的等比数列 公比为2 , 又a1=1,an+1*an=2^n,可以求出a2=2, 则数列{an}的通项公式为:an...
已知数列{an}满足:a1=2,an+1=2an\/1+an,求an
解:因为a(n+1)=2a(n)+1 所以a(n+1)+1=2(a(n)+1)又a(1)+1=1+1=2不为0 所以{a(n)+1}是以首相为2且公比为2的等比数列 即a(n)+1=2×2^(n-1)=2^n 所以a(n)=2^n-1
已知数列{an},满足a1=1,对任意n∈N*,有a1+3*a2+5*a3+...+(2n-1)*a...
则a1+3*a2+5*a3+...+(2n-3)*an-1=n-1 (n≥2)两式相减 (2n-1)*an=1 an=1\/(2n-1) (n≥2) n=1时也成立 ∴an=1\/(2n-1)(2) bn=an*an-1=1\/(2n-1)(2n-3)=1\/2[1\/(2n-3)-1\/(2n-1)] (n≥2)sn=1\/2[{(1\/1-1\/3)+(1\/3-1\/5)+(1\/5-1\/...
钭习盖菲: a(n+1)=an/(3an+1) 取倒数 1/a(n+1)=(3an+1)/an=3+1/an 所以{1/an}是公差为3的等差数列 1/a1=1 所以1/an=1+3(n-1)=3n-2 所以an=1/(3n-2)
濉溪县17598712772: 已知数列{an}满足a1=1,a(n+1)=3an+1,求数列{an}的通项公式 - ?
钭习盖菲: ^解: a(n+1)=3an+1, a(n+1)+1/2=3(an+1/2) , ∴数列 {an+1/2}是以3为公比的等比数列, an+1/2=(a1+1/2)·3^(n-1) =3/2·3^(n-1)=3^n/2 ∴an=3^n/2 - 1/2
濉溪县17598712772: 已知数列an满足a1=1,a(n+1)=Sn+(n+1)(n属于自然数),证明数列{an+1}是等比数列. - ?
钭习盖菲:[答案] a(n+1)=Sn+n+1 a(n)=Sn-a(n)+n-1+1 化简可得 (a(n+1)+1)/(a(n)+1)=2 所以{an+1}是等比数列
濉溪县17598712772: 已知数列{an}满足:a1=1,a(n+1)=3an/(an+3),an不等于0.(n属于自然数)猜想{an}的通项公式 - ?
钭习盖菲:[答案] a(n+1)=3an/(an+3),倒过来得 1/a(n+1)-1/an=1/3 1/an=1/3 n +2/3 an=3/(n+2)
濉溪县17598712772: 已知数列[an]满足a1=1 a(n+1)=2an+1 求证[an+1]是等比函数 求an的表 - ?
钭习盖菲: 这道题,很典型,是利用待定系数法构造等比数列.a(n+1)+c=2【an+c】(1),这个c就是一个等待确定的常数,对于这类题都这样做.将(1)式展开,让他与原式相等,就可以解出常数c=1,所以原式可以写成a(n+1)+1=2【an+1】(2),所以[an+1]是等比数列,可以求出[an+1]的通向公式,进而求出an
濉溪县17598712772: 已知数列{an}中满足a1=1,a(n+1)=2an+1 (n∈N*),证明n/2 - 1/3<a1/a2+a2/a3+…+an/a(n+1)<n/2 - ?
钭习盖菲: a(n+1)=2an+1即 a(n+1)+1=2(an+1)=2^n(a1+1)=2^(n+1) 所以 a(n+1)=2^(n+1)-1 an=2^n-1a1/a2+a2/a3+…+an/a(n+1) =1/3+3/7+...+(2^n-1)/[2^(n+1)-1] <1/(3-1)+3/(7-1)+...+(2^n-1)/[2^(n+1)-2] =1/2+1/2+...+1/2 =n/2a1/a2+a2/a3+…+an/a(n+1) =1/3+...
濉溪县17598712772: 已知数列{an}满足a1=1,a(n+1)=an/(an+2),(n属于N*),若 - ?
钭习盖菲: a(n+1)=an/(an+2)1/a(n+1)=(an+2)/an=1+ 2/an1/a(n+1) +1=2 +2/an=2(1+1/an) [1/a(n+1) +1]/(1+1/an)=2,为定值1/a1+1=1+1=2,数列{1/an +1}是以2为首项,2为公比的等比数列1/an +1=2ⁿ b(n+1)=(n-x)(1/an+1)=(n-x)2ⁿ n≥2时,b(n+1)...
濉溪县17598712772: 请教一道数学极限题已知数列{an}满足a1=1, a(n+1)/an=n+1(1)数列an的通项公式(3)设Sn=a1/3!+a2/4!+a3/5!+...+an/(n+2)! 求当n趋近于正无穷大时Sn的... - ?
钭习盖菲:[答案] (1)an=n! (2)Sn=1/(2·3)+1/(3·4)+ … +1/(n+1)(n+2)=1/2-1/3 + 1/3-1/4 + …… + 1/(n+1)-1/(n+2)=1/2-1/(n+2) 因此n趋近于正无穷大时Sn的极限为1/2
濉溪县17598712772: 已知数列{An}满足A1=1,A(n+1)=(2An)+1 - ?
钭习盖菲:[答案] a(n+1)=2an+1 a(n+1)+1=2(an+1) [a(n+1)+1]/(an+1)=2 所以{an+1}是以a1+1=2为首相q=2为公比的等比数列 所以an+1=2*2^(n-1) 所以an=2^n-1 a1+a2+...+an =2+2^2+...+2^n-n =2(1-2^n)/(1-2)-n =2(2^n-1)-n
濉溪县17598712772: 已知数列{an}满足a1=1,a(n+1)=(n/n+1)an,则an - ?
钭习盖菲:[答案] a(n+1)=(n/n+1)an (n+1)a(n+1)=nan=1*a1=1=常数 an=1/n 简单明了,说明问题