已知数列an满足a1=1，a（n+1）-2an=2∧（n+1），求an通式

已知数列{An}满足A1=1，n(A(n+1)-2An)=2An,求数列{An}的通项公式.~

求解数列的通项公式，详细过程写在纸上了，有不懂或错误的地方请追问

自己亲手演算的，望楼楼采纳，谢谢咯！

a1=1，a2=3，a(n+2)=3a(n+1)-2an。
法一：待定系数法。
设待定系数s、t，使a（n+2）-sa（n+1）=t（a（n+1）-san）。
整理得a（n+2）=（s+t）a（n+1）-stan。
对比原式，得s+t=3，st=2.
解得s=1，t=2或s=2，t=1.
用后一组解，有a（n+2）-2a（n+1)=a(n+1)-2an,a2-2a1=1.
∴数列{a（n+1）-2an}是首项a2-2a1=1，公比q=1的等比数列。
∴a（n+1）-2an=a2-2a1=1，故a（n+1）=2an+1.
则a（n+1）+1=2（an+1），a1+1=2.
∴数列{an+1}是首项a1+1=2，公比q=2的等比数列。
∴an+1=（a1+1）×qⁿ⁻¹=2ⁿ
∴an=2ⁿ-1.
综上，数列{an}的通项公式为an=2ⁿ-1.

法二：数学归纳法。
a1=1，a2=3.
猜想an=2ⁿ-1.
①当n=1、2时，猜想显然成立。
②假设当n=k、k+1时结论成立，则有ak=2^k-1，a（k+1）=2^（k+1）-1.
③当n=k+2时：
a（k+2）=3a（k+1）-2ak
=3×2^（k+1）-3-2×2^k+2
=2×2^（k+1）-1
=2^（k+2）-1.
显然，n=k+2时结论也成立。
综上，由①、②、③得对任意n∈N*，an=2ⁿ-1.

法三：特征方程法。
a（n+2）=3a（n+1）-2an
其特征方程为x^2=3x-2，解得x1=1，x2=2.
从而an=c₁x1ⁿ+c₂x2ⁿ=c₁+c₂×2ⁿ.
代入a1、a2的值，得c1+2c2=1，c1+4c2=3.
解得c1=-1，c2=1，故an=2ⁿ-1.
综上，数列{an}的通项公式为an=2ⁿ-1.

解答：
a(n+1)=2a(n)/[a(n)+2]
取倒数
1/a(n+1)=[a(n)+2]/[2a(n)]=1/2+1/a(n)
∴ 1/a(n+1)-1/a(n)=1/2
即{1/a(n)}是等差数列，首项为1/a1=1/2,公差为1/2
∴1/a(n)=1/2+(1/2)(n-1)=n/2
∴ an=2/n

由题得a(n) - 2a(n-1) =2^n，两边乘二得2a(n) - 4a(n-1) =2^(n+1)
把所有的都列出来
式子1 ： a(n+1) - 2an =2^(n+1),
式子2 ： 2a(n) - 4a(n-1) =2^(n+1),
式子3 ： 4a(n-1) - 8a(n-2) =2^(n+1),
…… ……
式子n ： 2^(n-1) * a2 - 2^n * a1 = 2^(n+1)
把所有式子相加，得到a(n+1) - 2^n * a1=2^(n+1) * n
最后a(n+1)=2^(n+1)*n + 2^n
从而an易得=2^n*(n-1) + 2^(n-1)

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濉溪县17598712772： 已知数列an满足a1=1 a(n+1)=an/(3an+1) 则an=? - ？
钭习盖菲： a(n+1)=an/(3an+1) 取倒数 1/a(n+1)=(3an+1)/an=3+1/an 所以{1/an}是公差为3的等差数列 1/a1=1 所以1/an=1+3(n-1)=3n-2 所以an=1/(3n-2)

濉溪县17598712772： 已知数列{an}满足a1=1,a(n+1)=3an+1,求数列{an}的通项公式 - ？
钭习盖菲： ^解: a(n+1)=3an+1, a(n+1)+1/2=3(an+1/2) , ∴数列 {an+1/2}是以3为公比的等比数列, an+1/2=(a1+1/2)·3^(n-1) =3/2·3^(n-1)=3^n/2 ∴an=3^n/2 - 1/2

濉溪县17598712772： 已知数列an满足a1=1,a(n+1)=Sn+(n+1)(n属于自然数),证明数列{an+1}是等比数列. - ？
钭习盖菲：[答案] a(n+1)=Sn+n+1 a(n)=Sn-a(n)+n-1+1 化简可得 (a(n+1)+1)/(a(n)+1)=2 所以{an+1}是等比数列

濉溪县17598712772： 已知数列{an}满足:a1=1,a(n+1)=3an/(an+3),an不等于0.(n属于自然数)猜想{an}的通项公式 - ？
钭习盖菲：[答案] a(n+1)=3an/(an+3),倒过来得 1/a(n+1)-1/an=1/3 1/an=1/3 n +2/3 an=3/(n+2)

濉溪县17598712772： 已知数列[an]满足a1=1 a(n+1)=2an+1 求证[an+1]是等比函数 求an的表 - ？
钭习盖菲： 这道题,很典型,是利用待定系数法构造等比数列.a(n+1)+c=2【an+c】(1),这个c就是一个等待确定的常数,对于这类题都这样做.将(1)式展开,让他与原式相等,就可以解出常数c=1,所以原式可以写成a(n+1)+1=2【an+1】(2),所以[an+1]是等比数列,可以求出[an+1]的通向公式,进而求出an

濉溪县17598712772： 已知数列{an}中满足a1=1,a(n+1)=2an+1 (n∈N*),证明n/2 - 1/3<a1/a2+a2/a3+…+an/a(n+1)<n/2 - ？
钭习盖菲： a(n+1)=2an+1即 a(n+1)+1=2(an+1)=2^n(a1+1)=2^(n+1) 所以 a(n+1)=2^(n+1)-1 an=2^n-1a1/a2+a2/a3+…+an/a(n+1) =1/3+3/7+...+(2^n-1)/[2^(n+1)-1] <1/(3-1)+3/(7-1)+...+(2^n-1)/[2^(n+1)-2] =1/2+1/2+...+1/2 =n/2a1/a2+a2/a3+…+an/a(n+1) =1/3+...

濉溪县17598712772： 已知数列{an}满足a1=1,a(n+1)=an/(an+2),(n属于N*),若 - ？
钭习盖菲： a(n+1)=an/(an+2)1/a(n+1)=(an+2)/an=1+ 2/an1/a(n+1) +1=2 +2/an=2(1+1/an) [1/a(n+1) +1]/(1+1/an)=2,为定值1/a1+1=1+1=2,数列{1/an +1}是以2为首项,2为公比的等比数列1/an +1=2ⁿ b(n+1)=(n-x)(1/an+1)=(n-x)2ⁿ n≥2时,b(n+1)...

濉溪县17598712772： 请教一道数学极限题已知数列{an}满足a1=1, a(n+1)/an=n+1(1)数列an的通项公式(3)设Sn=a1/3!+a2/4!+a3/5!+...+an/(n+2)! 求当n趋近于正无穷大时Sn的... - ？
钭习盖菲：[答案] (1)an=n! (2)Sn=1/(2·3)+1/(3·4)+ … +1/(n+1)(n+2)=1/2-1/3 + 1/3-1/4 + …… + 1/(n+1)-1/(n+2)=1/2-1/(n+2) 因此n趋近于正无穷大时Sn的极限为1/2

濉溪县17598712772： 已知数列{An}满足A1=1,A(n+1)=(2An)+1 - ？
钭习盖菲：[答案] a(n+1)=2an+1 a(n+1)+1=2(an+1) [a(n+1)+1]/(an+1)=2 所以{an+1}是以a1+1=2为首相q=2为公比的等比数列 所以an+1=2*2^(n-1) 所以an=2^n-1 a1+a2+...+an =2+2^2+...+2^n-n =2(1-2^n)/(1-2)-n =2(2^n-1)-n

濉溪县17598712772： 已知数列{an}满足a1=1,a(n+1)=(n/n+1)an,则an - ？
钭习盖菲：[答案] a(n+1)=(n/n+1)an (n+1)a(n+1)=nan=1*a1=1=常数 an=1/n 简单明了,说明问题