四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD是四棱锥的高。在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径

在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,边长为 a , PD = a , ,且 PD 是四棱锥的高.在这个四棱锥中放~

当这个球是四棱锥的内切球时,球半径最大.?设球心为 O ,半径为 R ,?则 V OPAB + V OABCD + V O A PD + V OPBC + V OPDC = V PABCD ,即 R ( S △ PAB + S ABCD + S △ PAD + S △ PBC + S △ PDC )= PD · .?由条件知 PD = a , AB = a , ,?∴ .∴ .?从而由勾股定理逆定理知 PA ⊥ AB , PC ⊥ BC .?∴ = a 2 , ,? , ， .?∴ .∴ .

以D为原点，DA、DC、DP分别为x、y、z轴建立空间坐标系，并设球M的最大半径为r，考虑到球M与坐标平面PDA、PDC、DABC均相切，故球心M为（r，r，r）.
向量MB=（a-r，a-r，-r）；
平面PBC的一个法向量为n=(0,1,1),
向量MB·法向量n=|法向量n|·r
即 a-r-r=√2r
得 r=(1-√2/2)a

若球与5个面均相切，此时球半径最大，
不知高PD长也是a吗？若是，则解答如下：
设内切球心为O，连结OP、OA、OB、OC、OD，四棱锥分成4个小三棱锥，1个小4棱锥，
设球半径r,
根据三垂线定理，AB⊥PA，BC⊥PC，，侧面是4个直角三角形，
PA=√2a,PC=√2a,
VP-ABCD=a^2*a/3=a^3/3,
VP-ABCD=VO-ABCD+VO-PAB+VO-PBC+VO-PDC+VO-PAD
a^3/3=a^2r/3+(√2a*a*r/2)/3+(√2a*a*r/2)/3+(a*a/2)*r/3+(a*a/2)*r/3,
∴r=(2-√2）a/2.

前提是高PD为a，不然没法做。
答案是R=(2-根号2)a/2,
你画图就知道了，相当于求其中一个侧面（直角三角形）的内切圆半径而已。

二分之一a

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杜集区19719038704： 如图所示,在四棱锥P - ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA垂直于底面 EF垂直于面PCD - ？
倚廖富马：[答案] 因为侧棱PA垂直于底面 所以PA⊥AB 又因为底面ABCD是矩形 所以AB//CD AD⊥CD 所以CD⊥面PAD 所以CD⊥PD 因为CD⊥PD;FG//PD所以CD⊥FG; FG//AD, AD⊥CD所以FG⊥CD; 所以角EGF就是面PCD与面ABCD所成的角. 又因为EF⊥面...

杜集区19719038704： 在四棱锥P - ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,PA垂直于平面ABCD,PA=AB,M,N分别为P - ？
倚廖富马：[答案] (1)作MQ⊥AB于Q,连NQ. PA⊥底面ABCD,PA=AB, ∴MQ∥PA,∠PBA=∠APB=45°, ABCD是正方形, ∴∠BAC=45°, PM=AN, ∴AQ=PMsin45°=ANsin45°=ANcos45°, ∴NQ⊥AB, ∴NQ∥AD, ∴平面MNQ∥平面PAD, ∴MN∥平面PAD. (2)设AQ=...

杜集区19719038704： 如图所示,四棱锥P - ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M、N分别是AB、PC的中点,PA=AD=a.(1)求证:MN∥平面PAD;(2)求证:平面PMC⊥... - ？
倚廖富马：[答案] 证明:(1)设PD的中点为E,连接AE、NE, 由N为PC的中点知EN ∥ . 1 2DC, 又ABCD是矩形,∴DC ∥ .AB,∴EN ∥ . 1 2AB 又M是AB的中点,∴EN ∥ .AM, ∴AMNE是平行四边形 ∴MN∥AE,而AE⊂平面PAD,NM⊄平面PAD ∴MN∥平面...

杜集区19719038704： 在四棱锥P - ABCD中,底面ABCD是直角梯形,PA⊥平面ABCD,AD//BC,角BAD=90,BC=2AD,求证:AB⊥PD - ？
倚廖富马：[答案] PA⊥平面ABCD 所以PA⊥AB 又角BAD=90 所以AB⊥AD 所以AB⊥面PAD 所以AB⊥PD

杜集区19719038704： 如图所示,四棱锥P - ABCD中,底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB=2,E,F,G分别为PC、PD、BC的中点.(Ⅰ)求证:PA⊥EF;(Ⅱ)求证:FG∥平... - ？
倚廖富马：[答案] 证明:(Ⅰ)∵PD⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴CD⊥PD.又ABCD为正方形,∴CD⊥AD.∵PD∩AD=D,∴CD⊥平面PAD.-----------(3分)∵PA⊂平面PAD,∴CD⊥PA.∵EF∥CD,∴PA⊥EF.----------(6分)(Ⅱ)取PA的中...

杜集区19719038704： 在四棱锥P - ABCD中,底面ABCD是正方形,PD垂直平面ABCD,PD=DC,E是PC中点,作EF...在四棱锥P - ABCD中,底面ABCD是正方形,PD垂直平面... - ？
倚廖富马：[答案] 证明:令AB、BD的交点为O,连接EO,在正方形ABCD中,AO=CO,因为E是PC中点,所以EO∥PA,所以PA∥面EDB,因为PD⊥面ABCD,所以PD⊥BC,因为BC⊥CD,所以BC⊥面PDC,所以BC⊥DE,因为PD=DC,E是PC中点,所以DE...

杜集区19719038704： 四棱锥P - ABCD中,底面ABCD是矩形,PA垂直平面ABCD,M、N分别是AB、PC的中点,PA=AD+a.(1)MN平行平面PAD;(2)面PMC垂直面PCD;(3)若AB=2... - ？
倚廖富马：[答案] 1\记AC的中点为E,连接ME和NEM\N\E都是中点,ME平行于BC,平行于AD,平行于平面PADNE平行于PA,平行于平面PAD平面MNE平等于平面PADMN平行平面PAD2\PA=AD=a=BCPM方=PA方+(AB/2)方MC方=BC方+(AB/2)方PM=...

杜集区19719038704： 在四棱锥P - ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA垂直于底面,E、F分别是AB、PC的中点.(1)求EF//平面PAD;(2...在四棱锥P - ABCD中,底面ABCD是... - ？
倚廖富马：[答案] 取PD的中点G,连接FG,AG,则 FG//1/2CD,AE//1/2CD ∴FG//AE且FG=AE ∴四边形AEFG是平行四边形 ∴EF//AG ∴EF//平面PAD (2) ∵底面ABCD是矩形 ∴CD⊥AD ∵侧棱PA垂直于底面 ∴CD⊥面PAD ∴CD⊥PD ∴∠PDA是平面PCD与平面...

杜集区19719038704： 如图所示,四棱锥P - ABCD中,底面ABCD是直角梯形,PA ⊥底面ABCD,四边形ABCD中,AB ⊥AD,BC平行于AD,PA...如图所示,四棱锥P - ABCD中,底... - ？
倚廖富马：[答案] 过C点引AD的垂线交于E点,因为底面ABCID为直角梯形,所以CE=AB=AE=ED=2,应用勾股定理可证得三角形ACD是直角三角形,AC垂直CD,又因为PA垂直于底面ABCD,所以PA垂直于AC, PA与AC交于A,证出(1)

杜集区19719038704： 如图,四棱锥P - ABCD中,PA⊥底面ABCD,PC⊥AD.底面ABCD为梯形,AB∥DC,AB⊥BC,PA=AB=BC,点E在棱PB上,且PE=2EB.(1)求证:平面PAB⊥... - ？
倚廖富马：[答案] (1)∵PA⊥底面ABCD,BC⊆底面ABCD,∴PA⊥BC, 又∵AB⊥BC,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB. ∵BC⊂平面PCB,∴平面PAB⊥平面PCB. (2)∵PA⊥底面ABCD,∴AC为PC在平面ABCD内的射影. 又∵PC⊥AD,∴AC⊥AD. 在梯形ABCD中,由AB⊥...