在数列{an}中,a0=1,an=p|a(n-1)|-1 (n属于N+,0<p<1) 证明 -1/p<an<0
先用归纳法证明,当n>0的时候,an<0恒成立
首先a1=p-1,有|a1|<1
假设对于n=k 有|ak|<1
那么对于n=k+1 有a(k+1)=p|a(k)|-1
0<p<1,|a(k)|<1,所以0<p|a(k)|<1
所以0<|a(k+1)|<1
上面论证了对于任意n>0,有|an|<1
所以an=p|a(n-1)|-11恒成立的
n=1的时候a1=p-1<0也成立
所以an0恒成立
也就是对于任意n>-1 有a(n+1)>0恒成立
即a(n+1)=p|a(n)|-1<0
推出在n>-1的时候1/p>an>-1/p
又因为an在n>0的时候恒小于0的
所以对于任意n>0有
-1/p<an<0
a(n+1)=(1/2)an(4-an)
2a(n+1)=4an-an^2
=-[an^2-2*2an+4]+4
=-(an-2)^2+4
2[a(n+1)-2]=-(an-2)^2
设bn=an-2,b0=a0-2=-1
2b(n+1)=-(bn)^2
b(n+1)=(-1/2)(bn)^2
=(-1/2){(-1/2)[b(n-1)]^2}^2=(-1/2)^3*[b(n-1)]^4
=(-1/2)^3*{(-1/2)[b(n-2)]^2}^4=(-1/2)^7*[b(n-2)]^8
……
=(-1/2)^[2^(n-1)-1]*(b2)^[2^(n-1)]
=(-1/2)^[2^n-1]*(b1)^[2^n]
=(-1/2)^[2^(n+1)-1]*(b0)^[2^(n+1)]
=(-1/2)^[2^(n+1)-1]*(-1)^[2^(n+1)]
=(-1/2)^[2^(n+1)-1]
bn=(-1/2)^[2^n-1]
an=2+bn=2+(-1/2)^[2^n-1]
a(n+1)=2+(-1/2)^[2^(n+1)-1]<2
a(n+1)-an=(-1/2)^[2^(n+1)-1]-(-1/2)^[2^n-1]
={(-1/2)^[2^n-1]}{(-1/2)^[2^(n+1)-2^n]-1}
=[(-1/2)^(2^n-1)]{(-1/2)^(2^n)-1}
又因2^n-1为奇数,所以(-1/2)^(2^n-1)<0;
因0<(-1/2)^(2^n)<1为奇数,所以(-1/2)^(2^n)-1<0
所以[(-1/2)^(2^n-1)]{(-1/2)^(2^n)-1}>0
所以a(n+1)-an>0,an<a(n+1),
综上所述an<a(n+1)<2。
若有常数p,q,r使得
a(n+1)+p(n+1)^2+q(n+1)+r=2=2a(n)+2pn^2+2qn+2r,
则
a(n+1)=2a(n)+pn^2+n(q-2p)+(r-p^2-q)=2a(n)+n^2-3n+2,
p=1,q-2p=-3,r-p^2-q=2,
q=2p-3=-1,r=2+p^2+q=2+1-1=2,
a(n+1)+(n+1)^2-(n+1)+2=2,
是首项为a(1)+1^2-1+2=2+2=4,公比为2的等比数列.
a(n)+n^2-n+2=4*2^(n-1)=2^(n+1),
a(n)=2^(n+1)-n^2+n-2,n=1,2,...
2^(n+1)-a(n)=n^2-n+2,
n>2时,
b(n)=1/[n^2-n+2]<1/[n^2-3n+2]=1/[(n-2)(n-1)]=1/(n-2)-1/(n-1),
n=1时,b(1)=1/2<3/2,
n=2时,b(1)+b(2)=1/2+1/4=3/4<3/2,
n=3时,b(1)+b(2)+b(3)=3/4+1/8=7/8<3/2,
n=4时,b(1)+b(2)+...+b(4)=7/8+1/14<1+1/14=15/14<3/2.
n>4时,
b(1)+b(2)+b(3)+b(4)+...+b(n-1)+b(n)<b(1)+b(2)+b(3)+b(4)+[1/3-1/4]+[1/4-1/5]+...+[1/(n-3)-1/(n-2)]+[1/(n-2)-1/(n-1)]=7/8+1/14+1/3-1/(n-1)=7/8+17/42-1/(n-1)<1+21/42=3/2.
我也是初学等差数列,最值问题还没开始教,水平有限
数列{an}中, a1=0 ,a2=6且a(n+2)=5a(n+1)-6an 求{an}的通项公式
数列{an}中,a(n+2)=5a(n+1)-6an 所以,a(n+2)-2a(n+1)=3a(n+1)-6an=3(a(n+1)-2an)设bn=a(n+1)-2an,则b(n+1)=3bn,且b1=a2-2a1=6 所以,bn=2*3^n 得a(n+1)-2an=2*3^n 即a(n+1)-2*3^(n+1)=2(an-2*3^n)设cn=an-2*3^n,则c(n+1)=2cn...
1.数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足a(n+2)-2a(n+1)+an=0?
a(n+2)+an=2a(n+1)所以是等差数列 3d=a4-a1=-6 d=-2 所以an=8+(-2)(n-1)所以an=-2n+10 (2)1=6,an,8,1.数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足a(n+2)-2a(n+1)+an=0 (1),求数列{an}的通项公式.(2),设Sn=|a1|+|a2|+……+|an|,求Sn.2,已知数列{an}的...
已知数列{an}中,an=1+1\/[a+2(n-1)],(n∈N+,a∈R,且a≠0)。
约定:[]内是下标 原题是:已知数列{an}中,a[n]=1+1\/(a+2(n-1)),(n∈n+,a∈r,且a≠0).若对任意的n∈n+,都有a[n]≤a[6]成立,求a的取值范围 。谢谢。a[n]=1+1\/(a+2(n-1))a[n]=1+(1\/2)\/(n-(1-a\/2))根据函数f(x)=1+(1\/2)\/(x-(1-a\/2))的图象可...
已知数列{an}中,a1=14,a2=2,且满足a(n+2)-2a(n+1)+an=0
已知数列{an}中,a₁=14,a₂=2,且满足a‹n+2›-2a‹n+1›+a‹n›=0;设b‹n›=1\/[n(18-a‹n›)],T‹n›=b₁+b₂+…+b‹n›,是否存在最大整数m,对任意n∈N...
已知数列{an}中,a1=1,an+1=(n\/n+1)an,求an的通向公式,用叠加法
已知数列{an}中,a1=1,an+1=(n\/n+1)an,求an的通向公式,用叠加法 法一:构造等比或等差数列。 a(n+1)=nan\/(n+1) (n+1)a(n+1)=nan,1×a1=1. ∴数列{nan}是首项为1,公比为1的等比数列。 或数列{nan}是首项为1,公差为0的等差数列。 nan=1×a1=1,故an=1\/n...
数列{an}中,a1=1,an+1 =2an + n,求an
a(n+1)=2an+n a(n+1)+n=2(an+n)[a(n+1)+n]\/[an+n} =2 (an+n)\/(a1+n) =2^(n-1)an=(a1+n).2^(n-1)-n = (1+n) 2^(n-1) -n
若数列{an}中an+1=2+an,a2
若数列{an}中a(n+1)=2+an,则a(n+1)-an=2 由此可知:{an}是公差d=2的等差数列,因为 a2=-1 又 a2=a1+d 所以 a1+2=-1 a1=-3 所以 a7=a1+6d =-3+6x2 =-3+12 =9。
等比数列{an}中,a1=2,前n项和为Sn,若数列{Sn+1}也是等比数列,求前n项...
依次每k项之和仍成等比数列。3、若“G是a、b的等比中项”则“G2=ab(G≠0)”。4、若{an}是等比数列,公比为q1,{bn}也是等比数列,公比是q2,则{a2n},{a3n}…是等比数列,公比为q1^2,q1^3…{can},c是常数,{an×bn},{an\/bn}是等比数列,公比为q1,q1q2,q1\/q2。
已知数列{an}中,a1=5,an=2a(n-1)+2^n-1 (n∈N*且n≥2) (1)若数列{(a...
an\/2ⁿ -a(n-1)\/2^(n-1)=1\/2,为定值。a1\/2^1=5\/2 数列{an\/2ⁿ}是以5\/2为首项,1\/2为公差的等差数列。(an+λ)\/2ⁿ=an\/2ⁿ +λ\/2ⁿ要{(an+λ)\/2ⁿ}为等差数列,则 [a(n+1)+λ]\/2^(n+1)-(an+λ)\/2ⁿ为定值。[a(...
数列{an}中,a1=1,有an=2an-1 +2^n,求它的前n项和Sn
an\/2^(n)= a(n-1)\/2^(n-1)+1,设bn= an\/2^(n),即bn=b(n-1) +1,因此 bn 是等差数列,公差为1.b1 = a1\/2^1 =1\/2 bn = 1\/2+(n-1)*1=n-1\/2,即an\/2^(n) = n-1\/2 所以a(n)=(n-1\/2)*2^n= n*2^n-2^(n-1).先求数列{n*2^n}的前n项和。设Sn=...
姬宣硫酸:[答案] 因为an=a0+a1+.+a(n-1) 所以a(n+1)=a0+a1+.+an 所以a(n+1)-an=an 所以a(n+1)=2an 所以{an}是等比数列 公比q=2 因为首项为a0=1 所以通项公式an=2^n 但是我觉得{an}的首项是从a1开始 ... 如果a1=1 则通项公式an=2^(n-1)
阳新县13480624485: 已知数列an满足a0=1,an=a0+a1+a2+……+an - 1(n≥1),当n≥2时an= - ?
姬宣硫酸:[选项] A. 2^n B. 1/2*n(n+1) C. 2^(n+1) D. (2^n)-1
阳新县13480624485: 已知数列{an}满足a0=1,an=a0+a1+…+an - 1(n≥1),则当n≥1时,an= - ?
姬宣硫酸: a0=1 a1=a0=1 a2=a0+a1=2 a3=a0+a1+a2=4 当n≥1是,an=2^(n-1) 下用归纳法证明 当n=1时,a1=2^0=1成立 假设当nak=a0+a1+a2+…+ak-1=1+2^0+2^1+…+2^(k-2)=1+2^(k-1)-1=2^(k-1) 成立
阳新县13480624485: 数列{an}.a0=1,an=a0+a1+....an - 1(n大于等于1)则an等于多少. an= - ?
姬宣硫酸: 因为an=a0+a1+.....+a(n-1) 所以a(n+1)=a0+a1+....+an 所以a(n+1)-an=an 所以a(n+1)=2an 所以{an}是等比数列 公比q=2 因为首项为a0=1 所以通项公式an=2^n 但是我觉得{an}的首项是从a1开始 ...如果a1=1 则通项公式an=2^(n-1)
阳新县13480624485: 已知数列An满足a0=1 an=a0+a1+……+an - 1 则当n≥1时 an等于?
姬宣硫酸: 解:∵数列{an}满足a0=1,an=a0+a1+…+an-1(n≥1), 则a1=a0=1=2^0, a2=a0+a1=2=2^1, a3=a0+a1+a2=4=2^2, … 由此猜想当n≥1时,an=2^(n-1)
阳新县13480624485: 已知数列{a0}满足a0=1,an=a0+a1+..+an - 1(n≥1),则n≥1时,an等于 - ?
姬宣硫酸:[答案] 由已知得, an=a0+a1+...+an-1,(1)所以 an+1=a0+a1+...+an-1+an.(2) (2)-(1)得an+1-an=an,n≥1 所以,an+1=2an,an+1/an=2,a1=2a0=2即 数列是以2为首项2为公比的等比数列, an=a1q^(n-1)=2^n,n≥1.
阳新县13480624485: 已知数列{an}满足a0=1,an=a0+a1+...+a(n - 1)(n≥1),则当n≥1时,an等于-------?
姬宣硫酸: 分析:要用归纳法求数列的公式,其步骤是:根据已知条件依次写出数列的前几项,分析其规律,然后大胆猜想.∵数列{an}满足a0=1,an=a0+a1+…+an-1n≥1,则可得a1=1,a2=2,…分析后,即可求出通项公式. 解:∵数列{an}满足a0=1,an=a0+a1+…+an-1(n≥1), 则a1=a0=1=20, a2=a0+a1=2=21, a3=a0+a1+a2=4=22, … 由此猜想当n≥1时,an=2n-1 故答案应选:C 点评:归纳推理的一般步骤是:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想).
阳新县13480624485: 在数列{an}中,a0=1,an=p|a(n - 1)| - 1 (n属于N+,0<p<1) 证明 - 1/p<an<0 - ?
姬宣硫酸: 先用归纳法证明,当n>0的时候,an首先a1=p-1,有|a1|假设对于n=k 有|ak|那么对于n=k+1 有a(k+1)=p|a(k)|-10所以0上面论证了对于任意n>0,有|an|所以an=p|a(n-1)|-11恒成立的 n=1的时候a1=p-1所以an0恒成立 也就是对于任意n>-1 有a(n+1)>0恒成立 即a(n+1)=p|a(n)|-1推出在n>-1的时候1/p>an>-1/p 又因为an在n>0的时候恒小于0的 所以对于任意n>0有-1/p
阳新县13480624485: 高手进!!已知数列{an}满足:a0=1,an=a0+a1+a2+……a(n - 1)(n大于等于1),则an = - ---- - ?
姬宣硫酸: an=a0+a1+a2+……a(n-1);a(n+1)=a0+a1+a2+……a(n-1)+an; a(n+1)-an=(a0+a1+a2+……a(n-1)+an)-(a0+a1+a2+……a(n-1)); 所以a(n+1)-an=an ; a(n+1)=2an; 所以an 形成以a0=1,公比q=2的等比数列;所以an = a0*q^n=2^n;
阳新县13480624485: 在数列{an}中,a1=1,an=3 an - 1+2(n≥2n∈N). - ?
姬宣硫酸: 在数列{an}中,a1=1,an=3 an-1+2(n≥2n∈N).1、 求证:数列{an+1}是等比数列;an=3 an-1+2 an+1=3an-1+3 an+1=3[an-1+1] (an+1)/[an-1+1]=3 数列{an+1}是等比数列2、 求数列{an}的通项公式.数列{an+1}是等比数列 首项=a1+1=2 公比=3 an+1=2*3^(n-1) an=2*3^(n-1)-1