在数列{an}中,a0=1,an=p|a(n-1)|-1 （n属于N+，0<p<1) 证明 -1/p<an<0

在数列{an}中,a0=1,an=p|a(n-1)|-1 （n属于N+，0<p<1) 证明 -1/p<an<0~

先用归纳法证明，当n>0的时候，an<0恒成立
首先a1=p-1，有|a1|<1
假设对于n=k 有|ak|<1
那么对于n=k+1 有a(k+1)=p|a(k)|-1
0<p<1，|a(k)|<1，所以0<p|a(k)|<1
所以0<|a(k+1)|<1
上面论证了对于任意n>0，有|an|<1
所以an=p|a(n-1)|-11恒成立的
n=1的时候a1=p-1<0也成立
所以an0恒成立
也就是对于任意n>-1 有a(n+1)>0恒成立
即a(n+1)=p|a(n)|-1<0
推出在n>-1的时候1/p>an>-1/p
又因为an在n>0的时候恒小于0的
所以对于任意n>0有
-1/p<an<0

a(n+1)=(1/2)an(4-an)
2a(n+1)=4an-an^2
=-[an^2-2*2an+4]+4
=-(an-2)^2+4
2[a(n+1)-2]=-(an-2)^2
设bn=an-2,b0=a0-2=-1
2b(n+1)=-(bn)^2
b(n+1)=(-1/2)(bn)^2
=(-1/2){(-1/2)[b(n-1)]^2}^2=(-1/2)^3*[b(n-1)]^4
=(-1/2)^3*{(-1/2)[b(n-2)]^2}^4=(-1/2)^7*[b(n-2)]^8
……
=(-1/2)^[2^(n-1)-1]*(b2)^[2^(n-1)]
=(-1/2)^[2^n-1]*(b1)^[2^n]
=(-1/2)^[2^(n+1)-1]*(b0)^[2^(n+1)]
=(-1/2)^[2^(n+1)-1]*(-1)^[2^(n+1)]
=(-1/2)^[2^(n+1)-1]
bn=(-1/2)^[2^n-1]

an=2+bn=2+(-1/2)^[2^n-1]
a(n+1)=2+(-1/2)^[2^(n+1)-1]＜2
a(n+1)-an=(-1/2)^[2^(n+1)-1]-(-1/2)^[2^n-1]
={(-1/2)^[2^n-1]}{(-1/2)^[2^(n+1)-2^n]-1}
=[(-1/2)^(2^n-1)]{(-1/2)^(2^n)-1}
又因2^n-1为奇数，所以(-1/2)^(2^n-1)＜0；
因0＜(-1/2)^(2^n)＜1为奇数，所以(-1/2)^(2^n)-1＜0
所以[(-1/2)^(2^n-1)]{(-1/2)^(2^n)-1}＞0
所以a(n+1)-an＞0，an＜a(n+1)，

综上所述an＜a(n+1)＜2。

a(n+1)=2a(n)+n^2-3n+2,
若有常数p,q,r使得
a(n+1)+p(n+1)^2+q(n+1)+r=2=2a(n)+2pn^2+2qn+2r,
则
a(n+1)=2a(n)+pn^2+n(q-2p)+(r-p^2-q)=2a(n)+n^2-3n+2,
p=1,q-2p=-3,r-p^2-q=2,
q=2p-3=-1,r=2+p^2+q=2+1-1=2,
a(n+1)+(n+1)^2-(n+1)+2=2,
是首项为a(1)+1^2-1+2=2+2=4,公比为2的等比数列.
a(n)+n^2-n+2=4*2^(n-1)=2^(n+1),
a(n)=2^(n+1)-n^2+n-2,n=1,2,...
2^(n+1)-a(n)=n^2-n+2,
n>2时,
b(n)=1/[n^2-n+2]<1/[n^2-3n+2]=1/[(n-2)(n-1)]=1/(n-2)-1/(n-1),
n=1时,b(1)=1/2<3/2,
n=2时,b(1)+b(2)=1/2+1/4=3/4<3/2,
n=3时,b(1)+b(2)+b(3)=3/4+1/8=7/8<3/2,
n=4时,b(1)+b(2)+...+b(4)=7/8+1/14<1+1/14=15/14<3/2.
n>4时,
b(1)+b(2)+b(3)+b(4)+...+b(n-1)+b(n)<b(1)+b(2)+b(3)+b(4)+[1/3-1/4]+[1/4-1/5]+...+[1/(n-3)-1/(n-2)]+[1/(n-2)-1/(n-1)]=7/8+1/14+1/3-1/(n-1)=7/8+17/42-1/(n-1)<1+21/42=3/2.


我也是初学等差数列，最值问题还没开始教，水平有限

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阳新县13480624485： 数列{an}.a0=1,an=a0+a1+.an - 1(n大于等于1)则an等于多少.an=a0+a1+...+an - 1 an+1=a0+a1...+an 为什么an+1=2a,结果为什么是an=2^n - 1 - ？
姬宣硫酸：[答案] 因为an=a0+a1+.+a(n-1) 所以a(n+1)=a0+a1+.+an 所以a(n+1)-an=an 所以a(n+1)=2an 所以{an}是等比数列 公比q=2 因为首项为a0=1 所以通项公式an=2^n 但是我觉得{an}的首项是从a1开始 ... 如果a1=1 则通项公式an=2^(n-1)

阳新县13480624485： 已知数列an满足a0=1,an=a0+a1+a2+……+an - 1(n≥1),当n≥2时an= - ？
姬宣硫酸：[选项] A. 2^n B. 1/2*n(n+1) C. 2^(n+1) D. (2^n)-1

阳新县13480624485： 已知数列{an}满足a0=1,an=a0+a1+…+an - 1(n≥1),则当n≥1时,an= - ？
姬宣硫酸： a0=1 a1=a0=1 a2=a0+a1=2 a3=a0+a1+a2=4 当n≥1是,an=2^(n-1) 下用归纳法证明 当n=1时,a1=2^0=1成立 假设当nak=a0+a1+a2+…+ak-1=1+2^0+2^1+…+2^(k-2)=1+2^(k-1)-1=2^(k-1) 成立

阳新县13480624485： 数列{an}.a0=1,an=a0+a1+....an - 1(n大于等于1)则an等于多少. an= - ？
姬宣硫酸： 因为an=a0+a1+.....+a(n-1) 所以a(n+1)=a0+a1+....+an 所以a(n+1)-an=an 所以a(n+1)=2an 所以{an}是等比数列 公比q=2 因为首项为a0=1 所以通项公式an=2^n 但是我觉得{an}的首项是从a1开始 ...如果a1=1 则通项公式an=2^(n-1)

阳新县13480624485： 已知数列An满足a0=1 an=a0+a1+……+an - 1 则当n≥1时 an等于？
姬宣硫酸： 解:∵数列{an}满足a0=1,an=a0+a1+…+an-1(n≥1), 则a1=a0=1=2^0, a2=a0+a1=2=2^1, a3=a0+a1+a2=4=2^2, … 由此猜想当n≥1时,an=2^(n-1)

阳新县13480624485： 已知数列{a0}满足a0=1,an=a0+a1+..+an - 1(n≥1),则n≥1时,an等于 - ？
姬宣硫酸：[答案] 由已知得, an=a0+a1+...+an-1,(1)所以 an+1=a0+a1+...+an-1+an.(2) (2)-(1)得an+1-an=an,n≥1 所以,an+1=2an,an+1/an=2,a1=2a0=2即 数列是以2为首项2为公比的等比数列, an=a1q^(n-1)=2^n,n≥1.

阳新县13480624485： 已知数列{an}满足a0=1,an=a0+a1+...+a(n - 1)(n≥1),则当n≥1时,an等于-------？
姬宣硫酸： 分析:要用归纳法求数列的公式,其步骤是:根据已知条件依次写出数列的前几项,分析其规律,然后大胆猜想.∵数列{an}满足a0=1,an=a0+a1+…+an-1n≥1,则可得a1=1,a2=2,…分析后,即可求出通项公式. 解:∵数列{an}满足a0=1,an=a0+a1+…+an-1(n≥1), 则a1=a0=1=20, a2=a0+a1=2=21, a3=a0+a1+a2=4=22, … 由此猜想当n≥1时,an=2n-1 故答案应选:C 点评:归纳推理的一般步骤是:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想).

阳新县13480624485： 在数列{an}中,a0=1,an=p|a(n - 1)| - 1 (n属于N+,0<p<1) 证明 - 1/p<an<0 - ？
姬宣硫酸： 先用归纳法证明,当n>0的时候,an首先a1=p-1,有|a1|假设对于n=k 有|ak|那么对于n=k+1 有a(k+1)=p|a(k)|-10所以0上面论证了对于任意n>0,有|an|所以an=p|a(n-1)|-11恒成立的 n=1的时候a1=p-1所以an0恒成立 也就是对于任意n>-1 有a(n+1)>0恒成立 即a(n+1)=p|a(n)|-1推出在n>-1的时候1/p>an>-1/p 又因为an在n>0的时候恒小于0的 所以对于任意n>0有-1/p

阳新县13480624485： 高手进!!已知数列{an}满足:a0=1,an=a0+a1+a2+……a(n - 1)(n大于等于1),则an = - ---- - ？
姬宣硫酸： an=a0+a1+a2+……a(n-1);a(n+1)=a0+a1+a2+……a(n-1)+an; a(n+1)-an=(a0+a1+a2+……a(n-1)+an)-(a0+a1+a2+……a(n-1)); 所以a(n+1)-an=an ; a(n+1)=2an; 所以an 形成以a0=1,公比q=2的等比数列;所以an = a0*q^n=2^n;

阳新县13480624485： 在数列{an}中,a1=1,an=3 an - 1+2(n≥2n∈N). - ？
姬宣硫酸： 在数列{an}中,a1=1,an=3 an-1+2(n≥2n∈N).1、 求证:数列{an+1}是等比数列;an=3 an-1+2 an+1=3an-1+3 an+1=3[an-1+1] (an+1)/[an-1+1]=3 数列{an+1}是等比数列2、 求数列{an}的通项公式.数列{an+1}是等比数列 首项=a1+1=2 公比=3 an+1=2*3^(n-1) an=2*3^(n-1)-1