已知点P是曲线C 上的一个动点，则P到直线 ： 的最长距离为 &...

1)
P到定点F(1,0)的距离比它到直线x+2=0的距离小1 ，点在x正半轴 ，直线在x负半轴，
因此，P到定点F(1,0)的距离 = 它到直线x+1=0的距离 ，故P的轨迹是抛物线 ，
易得方程：y^2 = 4x
2)
设A(x1，y1)、B(x2，y2)
当直线斜率存在时，可设为k ，故直线可表示为y = kx + b ，联立抛物线方程可得：
k·y^2 = 4y - 4b 和 (kx + b)^2 = 4x
整理：ky^2 - 4y + 4b = 0 和 k^2·x^2 + (2kb - 4)x + b^2 = 0
根据韦达定理：y1y2 = 4b/k ，x1x2 = b^2/k^2
∵OA⊥OB ，∴k(OA)·k(OB) = -1 = (y1/x1)·(y2/x2) = (y1y2)/(x1x2) = 4k/b
∴b = -4k ，故直线可表示为 y = kx - 4k = k(x - 4) ，当x = 4时 ，y = 0
当直线斜率不存在时，直线为x = m ，此时O、A、B构成等腰直角三角形，由勾股定理解得m = 4
因此 ，点(4 ，0)就是所求的定点
3)
推广结论：对于给定的抛物线y^2 = 2px ，若原点O与抛物线上未知两点M、N斜率之积为非0实数q，则直线MN必过x轴上一定点，且横坐标由p、q确定。
证明如下：
设M(x1，y1)、N(x2，y2)
当直线斜率存在时，可设为K ，故直线可表示为y = Kx +B(注：K不可能为0，否则构不成抛物线) ，代入直线方程：(KX + B)^2 = 2px ，2py = Ky^2 + 2pB
∴K^2·x^2 + (2KB - 2p)x + B^2 = 0 ，Ky^2 - 2py + 2pB = 0
x1x2 = B^2/K^2 ，y1y2 = 2pB/K ，则q = y1y2/x1x2 = 2pK/B ，∴B = 2pK/q
直线变为：y = K[X + (2p/q)] ，则所求定点为：(-2p/q ，0)
当直线斜率不存在时，方法类似，恕不赘述。
证毕。

（1）
动点P到定点F(1,0)的距离比点P到Y轴的距离大1,
将y轴所在直线向左平移1个单位得到直线x=-1，
那么动点P到定点F(1,0)的距离与点P到x=-1的距离相等,
所P点轨迹为以F为焦点，x=-1为准线的抛物线
∴动点P的轨迹C的方程为y²=4x
则 L:y=x-4 代入y²=4x
得：(x-4)²=4x,即x²-12x+16=0
设A(x1,y1),B(x2,y2)
则x1+x2=12,x1x2=16
∴|AB|=√2*√[(x1+x2)²-4x1x2]=√2*√(144-64)=4√10

(2)
设直线m:x=m，
线段AQ的中点为M(2+x1/2,y1/2),
即是以AQ为直径的圆的圆心
直线m到M的距离d=|2-m+x1/2|
|AQ|²=(x1-4)²+y²1=x²1-8x1+16+4x1=x²1-4x1+16
若直线m被以AQ为直经的圆M所截得的弦长恒为定值
即|AQ|²/4-d²=（x²1-4x1+16)/4-(2-m+x1/2)²
=x²1/4-x1+4-(4+m²+x²1/4-4m-mx1+2x1)
=-m²+4m+(m-3)x1为定值(与x1无关）
那么m-3=0,m=3
∴m=3时，|AQ|²/4-d²=3，弦长为2√3
直线m被以AQ为直经的圆M所截得的弦长恒为定值