请问f(x乘y)=f(x)+f(y)能否证明这是一个对数函数？

满足f(x+y)=f(x)+f(y)的函数具体是什么函数，请给出详细的证明~

这样的函数只有正比例函数，具体形式为：
f(z) = kz k为常数
设：z=x f(x) = kx
z=y f(y) = ky
当 z=x+y 时，
f(x+y) = k(x + y) = kx + ky = f(x) + f(y) （1）
其它函数不具这种性质。
这种正比例函数是特殊的线性函数(y=kx+b，b=0)，满足叠加原理：
即单独输入的结果等于总和输入的结果。这就是（1）式所表达的含义。

（1）先证明x为整数的情况,设x=n（正整数),则f(n)=f^n(1)
令f(1)=a,则f(n)=a^n
令x=0,则f(0)=f(0)^2,故f(0)=0或1
显然f(0)不为0,否则f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0为常数函数
又f(0)=f(n-n)=f(n)f(-n)=1,f(-n)=1/f(n)=a^(-n)
（2）证明有理数情形
设x=m/n(m,n为整数,n非0),则f(m)=f(m/n*n)=f(m/n)^n=a^m
f(m/n)=a^(m/n)
(3)证明实数情形
当y趋于0时,limf(x+y)=limf(x)f(y)=f(x)*limf(y)=f(x)*f(0)=f(x)*1=f(x)
注意f(x)在点x=0处连续lim(x趋于0）f(x)=a^0=1
所以f(x)为R上的连续函数,因此有f(x)=a^x(x属于任何实数）

可以利用导数来证明这个函数是对数函数，

不能，其他的函数也可能有这个性质

可以证明的。
高中阶段，直接用对数函数的一些结论，回避对数函数 ，

不是只有对数函数满足这个性质。不过高中阶段可以套用对数函数来做，心里清楚就好，不能写在答题纸上，解答过程还是得按这个性质推导。

f(x)=f(x/2)*f(x/2)=[f(x/2)]²≥0 ∴lnf(x+y)=lnf(x)+lnf(f) 令g(x)=lnf(x) ∵f(x)连续 ∴g(x)连续 且g(x+y)=g(x)+g(y) 由柯西定理g(x)=xg(1) ∴lnf(x)=xlnf(1) ∴f(x)=e^[x*lnf(1)]=e^[lnf(1)^x]=[f(x)]^x 令f(1)=a>0 则f(x)=a^x ∴f(x)是指数函数

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筠连县13583854258： f(x+y)=f(x)+f(y)类型的题怎么做? - ？
历莲柴银： 这是“函数方程\”类型的题目.一般地,附加一些条件,求函数的解析式,或者确定函数的一些基本性质,如对称性(奇偶性)、增减性(单调性)等.例如,设f(x+y)=f(x)+f(y),如其定义域为R,则可推出:(1)f(0)=0. 因为f(0+0)=f(0)+f(0),即f(0)=2f(0),故f(0)=0;(2)函数f(x)是奇函数.f(x-x)=f(x)+f(-x),因f(x-x)=f(0)=0,所以f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x);(3)f(nx)=nf(x),n为整数;(4)函数f(x)不可能是常数函数.

筠连县13583854258： f(x*y)=f(x)+f(y),f(x/y)=f(x) - f(y)？
历莲柴银： f(x*y)=f(x)=f(y) 错了吧 是不是 f(x*y)=f(x)+f(y) 哦 f(x*y)-f(x)=f(y) 有 f(y) =f(x*y/x) =f(x*y)-f(x) 即f(x/Y)=f(x)-f(y)

筠连县13583854258： f(x)的定义域为r,且为增函数,f(x乘y)=f(x)+(y),求证:f(x/y)=f(x) - f(y) - ？
历莲柴银： f(xy)=f(x)+f(y) 令y=1,得:f(x)=f(x)+f(1),则:f(1)=0;令y=1/x,得:f(1)=f(x)+f(1/x)=0,则:f(1/x)=-f(x) 所以,-f(y)=f(1/y) 则:f(x)-f(y)=f(x)+f(1/y)=f(x/y) 证毕.祝你开心!希望能帮到你,如果不懂,请追问,祝学习进步!O(∩_∩)O

筠连县13583854258： 如果函数F(X)的定义域为(O,正无穷大)且F(X)为增函数,F(X乘Y)=F(X)+F(Y) - ？
历莲柴银： 1.令x,y∈(0,+无穷),由f(xy)=f(x)+f(y)知,f(x)=f(y*x/y)=f(y)+f(x/y),移项就可以得到f(x/y)=f(x)-f(y).命题得证.2.f(3)=1,所以f(9)=f(3)+f(3)=2.所要求的不等式是f(a)>f(a-1)+f(9),也就是f(a)>f(9(a-1)),由于函数f(x)在(0,+无穷)上为增函数.所以只需要a>9(a-1)且a>0且a-1>0即可,解得1这样解答,不知道你满不满意.

筠连县13583854258： f(xy)=f(x)+f(y)的单调性 - ？
历莲柴银： 此题设条件不够,由x=y=0 知f(0)=0,再令x=0 y=任意实数,则都可推去f(y)=0,即f(x)=0,故如果要正常解出,须使x,y不可取0,此时,令x=y=1,得f(1)=0,再令x=y=-1 有f(-1)=0 然后令y=-1,x=x 即有 f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x),为偶函数 说明:此性质函数类似于对数函数,单调性是要根据一定条件才能判断出,奇偶性可给出.

筠连县13583854258： f(xy)=f(x)+f(y) - ？
历莲柴银： f(1/3)=f(1)+f(1/3)=1 f(1)=0 f(1)=f(3)+f(1/3)=0 f(3)=-1 联立f(6)=f(2)+f(3)f(2)=f(1/3)+f(6) 已知f(3)和f(1/3) 就靠定了~

筠连县13583854258： 对于函数f(x),满足f(x+y)=f(x)*f(y),能否证明这是个指数函数? - ？
历莲柴银： 可以用特殊值法来求算,(柯西法也能证明,部分可能看不懂)如下:f1=f0*f1 f0=1 f2=f1*f1 f3=f1*f2=f1*f1*f1 f4=f2*f2=4f1 所以该函数形如fx=A的x次方.f0=1(x的零次方.) f1=a f2=a² f3=a³等等 具体的a需要在题目中体现,如f2=4 a²=4 a=2 ...

筠连县13583854258： 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)则f(x)的奇偶性 - ？
历莲柴银： f(x+y)=f(x)+f(y) (1) 在(1)式中令x=y=0,得 f(0)=f(0)+f(0),所以 f(0)=0 再 令y=-x,得 f(0)=f(x)+f(-x) 所以 f(-x)=-f(x) f(x)是奇函数.

筠连县13583854258： 已知定义域在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,判断函数奇偶性,幷证明之. - ？
历莲柴银： 对f(x+y)=f(x)+f(y),令y=0得 f(x)=f(x)+f(0),所以f(0)=0 对f(x+y)=f(x)+f(y),再令y= -x得 f(0)=f(x)+f(-x),前面已得出f(0)=0,所以 f(x)+f(-x)=0,即 f(x)= -f(-x) 所以f(x)是奇函数

筠连县13583854258： 请证明f(x·y)=f(x)+f(y)是增函数？
历莲柴银： F(X * 1) = F(X) + F(1) 单+ F(Y * 1) = F(Y) + F(1) 单+ 那么F(X) + F(Y) 也单+ 所以F(X*Y) =F(X)+F(Y) 也单+