已知f(x)是定义在R上的奇函数,且函数f(x)在[0,1)上单调递减,并满足f(2-x)=f(x),若
解:由f(2-x)=f(x)知f(x)的图像关于直线x=1对称,下面证明f(x)是一个周期函数,
由f(x)是R上的奇函数知f(2-x)=-f(x-2),f(x-4)=-f(4-x)
在f(2-x)=f(x)中,以x-2代x得f(2-(x-2))=f(x-2)即f(4-x)=f(x-2),
所以f(x)=f(2-x)=-f(4-x)=f(x-4)即f(x+4)=f(x),也就是说f(x)是以4为周期的周期函数。
考虑f(x)的一个周期,例如[-1,3],由f(x)在[0,1)上是减函数知f(x)在(1,2]上是增函数,
f(x)在(-1,0]上是减函数,f(x)在[2,3)上是增函数。
对于奇函数f(x)有f(0)=0,f(2)=f(2-2)=f(0)=0,
故当x∈(0,1)时,f(x)<f(0)=0,当x∈(1,2)时,f(x)<f(2)=0,
当x∈(-1,0)时,f(x)>f(0)=0,当x∈(2,3)时,f(x)>f(2)=0,
方程f(x)=-1在[0,1)(实际就是(0,1))上有实数根,
则这实数根是唯一的,因为f(x)在(0,1)上是单调函数
则由于f(2-x)=f(x),故方程f(x)=-1在(1,2)上有唯一实数根。
在(-1,0)和(2,3)上f(x)>0,则方程f(x)=-1在(-1,0)和(2,3)上没有实数根。
从而方程f(x)=-1在一个周期内有且仅有两个实数根。
当x∈[-1,3],方程f(x)=-1的两实数根之和为x+2-x=2,
当x∈[-1,7],方程f(x)=-1的所有四个实数根之和为x+2-x+4+x+4+2-x=2+8+2=12,
一般地,当x∈[-1,4n-1],n∈N*,方程f(x)=-1的所有实数根之和为=2+8+2+8*2+2+8*3+2+…+8*(n-1)+2=2n+8*(1+2+3+…+n-1)=2n+8*n*(n-1)/2=2n+4n²-4n=4n²-2n.
有不明白的地方可以追问,我可以给你详细说明。
∵函数为奇函数,且f(2-x)=f(x),∴f(2-x)=f(x)=-f(x-2),即f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=f(x),即函数f(x)的周期为4.由f(2-x)=f(x),得到函数的对称轴为x=1,当lgx=1时,解得x=10.作出函数y=f(x)和y=|lgx|的图象如图:则由图象可知,两个函数的图象交点个数为6个.故方程f(x)=|lgx|的实根的个数为6个.故选:B.
f(x)是定义在R上的奇函数,图像关于原点对称,,且函数f(x)在[0,1)上单调递减,则f(x)在[-1,1)上单调递减,
f(2-x)=f(x)则f(x)图像关于直线x=1对称(2-x与x对应的函数值相等,不论x为何值,x+(2-x)=2,
[x+(2-x)]/2=1,
函数f(x)在[-1,1)上单调递减,则函数f(x)在[1,3]上单调递增,
f(x)=-1在[0,1)上有实数根,直线y=-1与f(x)图在[0,1)上有一个交点,在[-11)和[1,3]上各有有一个交点,直线y=-1与f(x)图在[-,3]上共有2个交点,且这两个交点关于直线x=1对称,交点横坐标之和=2,即f(x)=-1在区间[-1,3]上所有实数之根之和=2。
已知函数f(x)是定义在(0,正无穷大)上的,当x>1时,f(x)>0且f(xy)=f(x...
即f(x1)>f(x2)故 f(x)在定义域上是增函数 (3) 当y=1\/x时 f(1)=f(x)+f(1\/x)则f(1\/x)=-f(x)所以f(1\/3)=-f(3)=-1 f(3)=1 f(9)=f(3*3)=f(3)+f(3)=2 f(x)-f[1\/(x-2)]=f(x)+f(x-2)=f[x(x-2)]≥2=f(9)因为f(x)是增函数 所以x&...
已知函数f(x)是定义在[-2,0)∪(0,2上的奇函数
∵f(x)是定义在[-2,0∪(0,2]上的奇函数, ∴作出图象关于原点对称作出其在y轴左侧的图象,如图. 由图可知:f(x)的值域是 (2,3]∪[-3,-2). 故答案为:(2,3]∪[-3,-2).
已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,若对任意x∈(0,+∞),都有...
B 【思路点拨】解答本题的关键是从条件中得出f(x)- 是一个常数,从而令f(x)= +k(k为常数),则f(x)可求.解:由题意知f(x)- 为常数,令f(x)- =k(k为常数),则f(x)= +k,由f(f(x)- )=2得f(k)=2.又f(k)= +k=2,∴k=1,即f(x)= +1,∴f( )=6.
已知f(x)是定义在[-2,2]上的函数,且对任意实数xl、x2(xl不等于x2)恒...
函数f(x)在定义域内满足:[f(x1)-f(x2)]\/(x1-x2)<0 即:若x1>x2,则:f(x1)<f(x2);或:若x1<x2,则:f(x1)>f(x2)则函数f(x)在定义域内是递减函数。由于这个函数的最大值是f(-2),则:f(-2)=1 f[log(2)(x)]<1 f[log(2)(x)]<f(-2)-2<log(2)[x]...
已知f(x)是定义在区间[-1,1]上的奇函数,且f(1)1,若m、n属于[-1,1...
所以f(x)在[-1,1]上的最大值是f(1)=1.若f(x)<=t^2-2at+1对所有x属于[-1,1]恒成立,只需f(1) <=t^2-2at+1,即t^2-2at>=0,设g(a)= t^2-2at,这是关于a的一次函数,它的最小值必定在端点处取到。所以t^2-2at>=0对所有a属于[-1,1]恒成立,只需g(1)>=0,g(...
已知f(x)是定义在R上的函数,且f(x)=f(x+2)恒成立,当x∈(-2,0)时,f...
结果:当x∈(2,3)时,f(x)=(x-4)^2 过程:令A=X-4,当x∈(2,3)则A∈(-2,-1),有f(A)=A^2,又f(x)是定义在R上的函数,且f(x)=f(x+2)恒成立,则f(A)=f(A+2)=f(A+4)=f(X)故,f(X))=f(A)==(x-4)^2 ...
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f(1)=1 又是奇函数 f(0)=0 f(-1)=-1 所以f(x)在[-1,1]必定为增函数 解不等式 -1<=x+1\/2<=1 -1<=1-x<=1 x+1\/2<1-x 解得 0<x<1\/4 你要用“若m、n属于[-1,1],m+n≠0,有[f(m)+f(n)]\/m+n>0”也行 因为是奇函数f(n)=-f(n)[f(m...
已知函数f(x)是定义在R上周期为2的偶函数,在区间[0,1]上f(x)=x,则f...
已知函数f(x)是定义在R上周期为2的偶函数,在区间[0,1]上f(x)=x,则f(x)在R上的函数表达式为 解:设-1≤x≤0,则0≤-x≤1 所以f(x)=f(-x)=-x 设2k≤x≤2k+1(k∈Z)则0≤x-2k≤1 所以f(x-2k)=x-2k因为f(x)周期为2 所以f(x)=f(x-2k)=x-2k 同理2k-1≤x≤2k...
已知fx是定义在[-1,1]上的减函数,且f(x-2)>f(1-x),求x取值范围
已知f(x)是定义在【-1,1】的减函数且f(x-2)<f(x-1)求x的取值范围 答: f(x)定义在[-1,1]上的减函数 因为:f(x-2)<f(x-1) 所以:-1<=x-1<x-2<=1 解不等式组有: x>=0 x-1<x-2不成立 所以:不等式的解集为空集 已知f(x)是定义在[-1,2]上的减...
已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若a,b属于[-1,1],a+...
解(1) f(x)在[-1,1]上是增函数 任取 [-1,1] 上的 x1, x2,且 x1 < x2 则 [f(x1) + f(-x2)]\/(x1 - x2) > 0 即 [f(x1) - f(x2)]\/(x1 - x2) > 0 因为 x1 < x2 所以 f(x1) < f(x2)结论得证 (2) 因为 f(x+1\/2)<f(1\/(x-1))由上题的结论...
郯强巴米: f(x)是定义在R上的奇函数, 且当x大于等于0时,f(x)=x^2, x<0时-x>0,f(x)=-f(-x)=-(-x)^2=-x^2. x∈[t,t+2],x+t∈[2t,2t+2] 以下分几种情况: 1)t>=0时f(x+t)>=2f(x)变为 (x+t)^2>=2x^2, g(x)=x^2-2tx-t^2<=0(t<=x<=t+2)<==> {g(t)=-2t^2<=0, {g(t+2)=4-2t^2<=0...
龙湖区13691245835: 已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=x(1+x),则f(x)的解析式 - ?
郯强巴米: 已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=x(1+x) 当x0 故f(-x)=-x(1+(-x))=-x(1-x)=-f(x) 所以f(x)=x(1-x) 所以f(x)的解析式是f(x)=x(1-x) (x =0 (x=0) =x(1+x) (x>0)
龙湖区13691245835: 已知函数f(x)是定义在r上的奇函数,f(3)=2,且对于一切实数x,都有f(x+4)=f(x), - ?
郯强巴米: 解由f(x+4)=f(x) 知函数的周期为4 则f(13)=f(3*4+1)=f(1) 又有f(x+4)=f(x) 且函数f(x)是定义在r上的奇函数 则f(-x)=-f(x) 则f(x+4)=f(x)=-f(-x) 即f(x+4)=-f(-x) 取x=-1代入上式 即f(-1+4)=-f(-(-1)) 即f(3)=-f(1) 即f(1)=-f(3)=-2 即f(13)=-2.
龙湖区13691245835: 已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=a^x - 1.其中a>0且a≠1. - ?
郯强巴米: 因此,f(x)=-f(-x)=-[a^(-x)-1]=1-a^(-x),所以 f(x)={a^x-1 (x>=0); 1-a^(-x) (x<0) (这是分段函数,分两段).2)因为 a>,-x>,所以 x=-loga(2),因此,不等式 -1<f(x)<4 的解集是 (-loga(2)因为函数是奇函数;0 时;0;1 ,所以 f(x) 在R上为增函数.令 a^x-1=4,则 a^x=5,所以 x=loga(5) ,令 1-a^(-x)=-1,则 a^(-x)=2,所以对任意实数x,f(-x)=-f(x).1)当 x<
龙湖区13691245835: 已知f(x)是定义在R上的奇函数,并且当x>0时,f(x)=x三次方+x+a,求f(x)的解析式已知f(x)是定义在R上的奇函数,并且当x>0时,f(x)=x三次方+x+1,求f(x)的解... - ?
郯强巴米:[答案] 因为是奇函数,所以f(-x)=-f(x) 当x0表达式如题设 当x=0时f(0)=0
龙湖区13691245835: 已知f(x)是定义在R上的奇函数,在(0,正无穷)上是增函数 - ?
郯强巴米: 首先来说,你没有把函数画好 其实我不怎么理解你的意思,画的函数既不是题目中的f(x),也不是f(x+1),最起码f(x),f(x+1)都是递增函数.不会同时过(-1,0)(1,0) 可能你没有理解f(x+1)的意思,f(x)对称,绝不意味着f(x+1)因此也对称 所以f(0)=0,f(-1+1)=0,f(x+1)过(-1,0),不能加上一个f(x)中心对称就得出f(x+1)过(1,0).具体,f(x+1)应该这样画:先画f(x),然后将它向左平移一个单位得到的才是f(x+1): 比如: x=1时,图上y=f(2)等等,自然可以得出x>-1时,f(x+1)>0
龙湖区13691245835: 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=ex(x+1)给出下列命题:①当x>0时,f(x)=ex( - ?
郯强巴米: 设x>0,则-x∴f(x)=e-x(x-1),故①错; ∵f(x)定义在R上的奇函数, ∴f(0)=0,又xx>0时,f(1)=0,故f(x)有3个零点,②错; 当x0,解得-1当x>0时,令f(x)=e-x(-x+1)>0. 解得x>1,综上f(x)>0的解集为(-1,0)∪(1,+∞),③正确; 当x1 e2 , 当x>0时,f′(x)=e-x(-x+2),f(x)在x=2处取最大值为 1 e2 , 由此可知函数f(x)在定义域上的最小值为? 1 e2 ,最大值为 1 e2 ,而 1 e2 ?(? 1 e2 )= 2 e2 ∴对任意的?x1,x2∈R,都有|f(x1)-f(x2)|故答案为:③④.
龙湖区13691245835: 已知函数f(x)是定义在r上的奇函数,当x小于等于0时,f(x)=x^2+2x - ?
郯强巴米: f(x)是定义在r上的奇函数 所以f(-x)=-f(x) 当x小于等于0时,f(x)=x^2+2x 当x>=0时,-x>=0 -f(x)=f(-x)=(-x)^2+2*(-x)=x^2-2x f(x)=-x^2+2x 所以 x^2+2x x<=0 f(x)={-x^2+2x x>0
龙湖区13691245835: 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,在(0,+∞)是增函数,且f(1)=0,则f(x+1)<0的解集 - ?
郯强巴米: f(x)是定义在R上的奇函数,在(0,+∞)是增函数 在(-∞,0)上也是增函数. f(1)=0, f(-1)=-f(1)=0f(x+1)<0 x+1<0时, x+1<-1 x<-2x+1>0时 0<x+1<1 -1<x<0解:x<-2或-1<x<0
龙湖区13691245835: 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+2)= - f(x),当0<x≤1时,f(x)=3^x+2 - ?
郯强巴米: ⑴∵x∈[-1,0) ∴-x∈(0,1] ∵f(x)是定义在R上的奇函数 ∴f(-x)=-f(x) ∴当-1≤x f(x)=-f(-x)=-[3^(-x)+2] ⑵由f(x+2)=-f(x)知,函数f(x)的周期是4 log3(54)-4∈[-1,0) ∵3=log3(27)<log3(54)<log3(81)=4, ∴-1<log3(54)-4<0, ∴f(log3(54))=f(log3(54)-4)=-3.5