总结一下实数的性质

实数的性质~

设两个正整数分别为6m,6n,(m,n互质)
则有6mn=90,mn=15
m=15,n=1,
6m=90,6n=6
m=5,n=3
6m=30,6n=18
满足条件的两个正整数组成的大数在前的数对为:
(90,6);(30,18).有两对

下面证明－1>0矛盾
假设－1>0,那么－1×－1＝1>0(根据两正实数相乘为正实数)
这于性质5矛盾，所以1>0

　　基本运算
　　实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、平方等，对非负数还可以进行开方运算。实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。
　　完备性
　　作为度量空间或一致空间，实数集合是个完备空间，它有以下性质：
　　所有实数的柯西序列都有一个实数极限。
　　有理数集合就不是完备空间。例如，(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理数的柯西序列，但没有有理数极限。实际上，它有个实数极限 √2。实数是有理数的完备化——这亦是构造实数集合的一种方法。
　　极限的存在是微积分的基础。实数的完备性等价于欧几里德几何的直线没有“空隙”。
　　“完备的有序域”
　　实数集合通常被描述为“完备的有序域”，这可以几种解释。
　　首先，有序域可以是完备格。然而，很容易发现没有有序域会是完备格。这是由于有序域没有最大元素（对任意元素 z，z + 1 将更大）。所以，这里的“完备”不是完备格的意思。
　　另外，有序域满足戴德金完备性，这在上述公理中已经定义。上述的唯一性也说明了这里的“完备”是指戴德金完备性的意思。这个完备性的意思非常接近采用戴德金分割来构造实数的方法，即从（有理数）有序域出发，通过标准的方法建立戴德金完备性。
　　这两个完备性的概念都忽略了域的结构。然而，有序群（域是种特殊的群）可以定义一致空间，而一致空间又有完备空间的概念。上述完备性中所述的只是一个特例。（这里采用一致空间中的完备性概念，而不是相关的人们熟知的度量空间的完备性，这是由于度量空间的定义依赖于实数的性质。）当然，R 并不是唯一的一致完备的有序域，但它是唯一的一致完备的阿基米德域。实际上，“完备的阿基米德域”比“完备的有序域”更常见。可以证明，任意一致完备的阿基米德域必然是戴德金完备的（当然反之亦然）。这个完备性的意思非常接近采用柯西序列来构造实数的方法，即从（有理数）阿基米德域出发，通过标准的方法建立一致完备性。
　　“完备的阿基米德域”最早是由希尔伯特提出来的，他还想表达一些不同于上述的意思。他认为，实数构成了最大的阿基米德域，即所有其他的阿基米德域都是 R 的子域。这样 R 是“完备的”是指，在其中加入任何元素都将使它不再是阿基米德域。这个完备性的意思非常接近用超实数来构造实数的方法，即从某个包含所有（超实数）有序域的纯类出发，从其子域中找出最大的阿基米德域。
　　高级性质
　　实数集是不可数的，也就是说，实数的个数严格多于自然数的个数（尽管两者都是无穷大）。这一点，可以通过康托尔对角线方法证明。实际上，实数集的势为 2ω（请参见连续统的势），即自然数集的幂集的势。由于实数集中只有可数集个数的元素可能是代数数，绝大多数实数是超越数。实数集的子集中，不存在其势严格大于自然数集的势且严格小于实数集的势的集合，这就是连续统假设。该假设不能被证明是否正确，这是因为它和集合论的公理不相关。
　　所有非负实数的平方根属于 R，但这对负数不成立。这表明 R 上的序是由其代数结构确定的。而且，所有奇数次多项式至少有一个根属于 R。这两个性质使 R成为实封闭域的最主要的实例。证明这一点就是对代数基本定理的证明的前半部分。
　　实数集拥有一个规范的测度，即勒贝格测度。
　　实数集的上确界公理用到了实数集的子集，这是一种二阶逻辑的陈述。不可能只采用一阶逻辑来刻画实数集：1. Löwenheim-Skolem定理说明，存在一个实数集的可数稠密子集，它在一阶逻辑中正好满足和实数集自身完全相同的命题；2. 超实数的集合远远大于 R，但也同样满足和 R 一样的一阶逻辑命题。满足和 R 一样的一阶逻辑命题的有序域称为 R 的非标准模型。这就是非标准分析的研究内容，在非标准模型中证明一阶逻辑命题（可能比在 R 中证明要简单一些），从而确定这些命题在 R 中也成立。
　　拓扑性质
　　实数集构成一个度量空间：x 和 y 间的距离定为绝对值 |x - y|。作为一个全序集，它也具有序拓扑。这里，从度量和序关系得到的拓扑相同。实数集又是 1 维的可缩空间（所以也是连通空间）、局部紧致空间、可分空间、贝利空间。但实数集不是紧致空间。这些可以通过特定的性质来确定，例如，无限连续可分的序拓扑必须和实数集同胚。以下是实数的拓扑性质总览：
　　令 a 为一实数。a 的邻域是实数集中一个包括一段含有 a 的线段的子集。
　　R 是可分空间。
　　Q 在 R 中处处稠密。
　　R的开集是开区间的联集。
　　R的紧子集是有界闭集。特别是：所有含端点的有限线段都是紧子集。
　　每个R中的有界序列都有收敛子序列。
　　R是连通且单连通的。
　　R中的连通子集是线段、射线与R本身。由此性质可迅速导出中间值定理。

---

京山县17329068846： 初中数学公式定理总结 - ？
吁刘欣舒：[答案] 一、数与代数 1. 数与式 (1) 实数 实数的性质: ①实数a的相反数是—a,实数a的倒数是 (a≠0); ②实数a的绝对值: ③正数大于0,负数小于0,两个负实数,绝对值大的反而小. 二次根式: ①积与商的方根的运算性质: (a≥0,b≥0); (a≥0,b>0); ...

京山县17329068846： 总结一下实数的性质 - ？
吁刘欣舒： 基本运算实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、平方等,对非负数还可以进行开方运算.实数加、减、乘、除(除数不为零)、平方后结果还是实数.任何实数都可以开奇次方,结果仍是实数,只有非负实数,才能开偶次方其结果还是实...

京山县17329068846： 实数集的主要性质? - ？
吁刘欣舒： 1.加减乘除封闭 2.满足结合律、交换律、分配率等规律 3.实数集可以填满整个数轴

京山县17329068846： 实数的总结 - ？
吁刘欣舒： 你好, 实数可以分为有理数和无理数两类,或代数数和超越数两类,或正实数,负实数和零三类.实数集合通常用字母 R 表示.而R^n 表示 n 维实数空间.实数是不可数的.实数是实数理论的核心研究对象. 实数可以用来测量连续的量.理论...

京山县17329068846： 实数的概念和运算是什么? ？
吁刘欣舒： 实数的概念和运算. 1、数的性质及其应用:奇偶分析、整除分析; 2、不定方程:求定值、求最值; 3、绝对值的代数和几何意义; 4、均值定理:两个数、三个数.

京山县17329068846： 讲解一下实数的知识 要易懂 麻烦了 - ？
吁刘欣舒： 包括有理数和无理数.其中无理数就是无限不循环小数,有理数就包括整数和分数.数学上,实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数.本来实数仅称作数,后来引入了虚数概念,原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”.实数可...

京山县17329068846： 八年级数学实数总结?要长的 ! - ？
吁刘欣舒： 1、平方根与算术平方根的区别与联系 平方根与算术平方根的区别:(1)定义不同.如 ,那么 就叫做 的平方根;如 且 ,那么 就叫做 的算术平方根.(2)个数不同.一个正数有两个平方根,它们的绝对值相等,符号相反;一个正数的算术平方...

京山县17329068846： 初中数学代数式公式汇总有吗? - ？
吁刘欣舒： 代数部分 一、数与代数 1. 数与式 (1) 实数 实数的性质: ①实数a的相反数是—a,实数a的倒数是 (a≠0); ②实数a的绝对值:③正数大于0,负数小于0,两个负实数,绝对值大的反而小. (2)整式与分式 ①同底数幂的乘法法则:同底数幂相...

京山县17329068846： 什么是自然数,实数,整数和有理数 - ？
吁刘欣舒： 自然数:即非负整数 实数:包括有理数和无理数 有理数:整数、分数 整数包括:0、正整数和负整数 分数:包括正分数和负分数 无理数:无限不循环小数 自然数用以计量事物的件数或表示事物次序的数.即用数码0,1,2,3,4,……所表示的数....

京山县17329068846： 在数学中什么叫实数? - ？
吁刘欣舒： 1、有理数和无理数统称为实数.2、实数和数轴上的点是一一对应的 在数轴上,右边的点表示的数比左边的点表示的数大.3、在实数范围内,相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.4、实数可以进行加...