实数的性质
实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。
实数集通常用黑正体字母 R 表示。R表示n维实数空间。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。
所有实数的集合则可称为实数系（real number system）或实数连续统。任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系。在保序同构意义下它是惟一的，常用R表示。由于R是定义了算数运算的运算系统，故有实数系这个名称。
实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。
在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。
扩展资料：
实数拓扑性质：
1、令a为一实数。a的邻域是实数集中一个包括一段含有a的线段的子集。
2、R是可分空间。
3、Q在R中处处稠密。
4、R的开集是开区间的联集。
5、R的紧子集是有界闭集。特别是：所有含端点的有限线段都是紧子集。
6、每个R中的有界序列都有收敛子序列。
7、R是连通且单连通的。
8、R中的连通子集是线段、射线与R本身。由此性质可迅速导出中间值定理。
参考资料来源：百度百科——实数
基本运算
实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数（即正数和0）还可以进行开方运算。实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。
四则运算封闭性
实数集R对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。
有序性
实数集是有序的，即任意两个实数a、b必定满足并且只满足下列三个关系之一：a<b，a=b，a>b。
传递性
实数大小具有传递性，即若a>b，且b>c，则有a>c。
阿基米德性质
实数具有阿基米德性质（Archimedean property），即∀a，b ∈R，若a>0，则∃正整数n，na>b。
稠密性
实数集R具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，也有无理数.
数轴
如果在一条直线（通常为水平直线）上确定O作为原点，指定一个方向为正方向（通常把指向右的方向规定为正方向），并规定一个单位长度，则称此直线为数轴。任一实数都对应与数轴上的唯一一个点；反之，数轴上的每一个点也都唯一的表示一个实数。于是，实数集R与数轴上的点有着一一对应的关系。
完备性
作为度量空间或一致空间，实数集合是个完备空间，它有以下性质：
一. 所有实数的柯西序列都有一个实数极限。
有理数集合就不是完备空间。例如，(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理数的柯西序列，但没有有理数极限。实际上，它有个实数极限。
实数是有理数的完备化——这亦是构造实数集合的一种方法。
极限的存在是微积分的基础。实数的完备性等价于欧几里德几何的直线没有“空隙”。
二. “完备的有序域”
实数集合通常被描述为“完备的有序域”，这可以几种解释。
首先，有序域可以是完备格。然而，很容易发现没有有序域会是完备格。这是由于有序域没有最大元素（对任意元素z，z+1将更大）。所以，这里的“完备”不是完备格的意思。
另外，有序域满足戴德金完备性，这在上述公理中已经定义。上述的唯一性也说明了这里的“完备”是指戴德金完备性的意思。这个完备性的意思非常接近采用戴德金分割来构造实数的方法，即从（有理数）有序域出发，通过标准的方法建立戴德金完备性。
这两个完备性的概念都忽略了域的结构。然而，有序群（域是种特殊的群）可以定义一致空间，而一致空间又有完备空间的概念。上述完备性中所述的只是一个特例。（这里采用一致空间中的完备性概念，而不是相关的人们熟知的度量空间的完备性，这是由于度量空间的定义依赖于实数的性质。）当然，R 并不是唯一的一致完备的有序域，但它是唯一的一致完备的阿基米德域。实际上，“完备的阿基米德域”比“完备的有序域”更常见。可以证明，任意一致完备的阿基米德域必然是戴德金完备的（当然反之亦然）。这个完备性的意思非常接近采用柯西序列来构造实数的方法，即从（有理数）阿基米德域出发，通过标准的方法建立一致完备性。
“完备的阿基米德域”最早是由希尔伯特提出来的，他还想表达一些不同于上述的意思。他认为，实数构成了最大的阿基米德域，即所有其他的阿基米德域都是 R 的子域。这样 R 是“完备的”是指，在其中加入任何元素都将使它不再是阿基米德域。这个完备性的意思非常接近用超实数来构造实数的方法，即从某个包含所有（超实数）有序域的纯类出发，从其子域中找出最大的阿基米德域。
高级性质
实数集是不可数的，也就是说，实数的个数严格多于自然数的个数（尽管两者都是无穷大）。这一点，可以通过康托尔对角线方法证明。实际上，实数集的势为 2ω（请参见连续统的势），即自然数集的幂集的势。由于实数集中只有可数集个数的元素可能是代数数，绝大多数实数是超越数。实数集的子集中，不存在其势严格大于自然数集的势且严格小于实数集的势的集合，这就是连续统假设。事实上这假设独立于ZFC集合论，在ZFC集合论内既不能证明它，也不能推出其否定。
所有非负实数的平方根属于R，但这对负数不成立。这表明R 上的序是由其代数结构确定的。而且，所有奇数次多项式至少有一个根属于 R。这两个性质使R成为实封闭域的最主要的实例。证明这一点就是对代数基本定理的证明的前半部分。
实数集拥有一个规范的测度，即勒贝格测度。
实数集的上确界公理用到了实数集的子集，这是一种二阶逻辑的陈述。不可能只采用一阶逻辑来刻画实数集：1. Löwenheim–Skolem theorem定理说明，存在一个实数集的可数稠密子集，它在一阶逻辑中正好满足和实数集自身完全相同的命题；2. 超实数的集合远远大于 R，但也同样满足和 R一样的一阶逻辑命题。满足和 R 一样的一阶逻辑命题的有序域称为 R 的非标准模型。这就是非标准分析的研究内容，在非标准模型中证明一阶逻辑命题（可能比在R中证明要简单一些），从而确定这些命题在R 中也成立。
拓扑性质
实数集构成一个度量空间：x 和 y 间的距离定为绝对值 |x - y|。作为一个全序集，它也具有序拓扑。这里，从度量和序关系得到的拓扑相同。实数集又是 1 维的可缩空间（所以也是连通空间）、局部紧致空间、可分空间、贝利空间。但实数集不是紧致空间。这些可以通过特定的性质来确定，例如，无限连续可分的序拓扑必须和实数集同胚。以下是实数的拓扑性质总览：
i.令a 为一实数。a 的邻域是实数集中一个包括一段含有 a 的线段的子集。
ii.R 是可分空间。
iii.Q 在 R 中处处稠密。
iv.R的开集是开区间的联集。
v.R的紧子集是有界闭集。特别是：所有含端点的有限线段都是紧子集。
vi.每个R中的有界序列都有收敛子序列。
vii.R是连通且单连通的。
viii.R中的连通子集是线段、射线与R本身。由此性质可迅速导出中间值定理。
设两个正整数分别为6m,6n,(m,n互质)
则有6mn=90,mn=15
m=15,n=1,
6m=90,6n=6
m=5,n=3
6m=30,6n=18
满足条件的两个正整数组成的大数在前的数对为:
(90,6);(30,18).有两对
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