实数的四种性质？

实数有哪些性质？~

能一一表示在数轴上。
实数分为有理数、无理数
有理数分为整数、分数
整数分为正整数、0、负整数

基本运算实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数（即正数和0）还可以进行开方运算。实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。四则运算封闭性实数集R对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。有序性实数集是有序的，即任意两个实数a、b必定满足并且只满足下列三个关系之一：ab。传递性实数大小具有传递性，即若a>b，且b>c，则有a>c。阿基米德性质实数具有阿基米德性质（Archimedean property），即∀a，b ∈R，若a>0，则∃正整数n，na>b。稠密性实数集R具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，也有无理数.数轴如果在一条直线（通常为水平直线）上确定O作为原点，指定一个方向为正方向（通常把指向右的方向规定为正方向），并规定一个单位长度，则称此直线为数轴。任一实数都对应与数轴上的唯一一个点；反之，数轴上的每一个点也都唯一的表示一个实数。于是，实数集R与数轴上的点有着一一对应的关系。完备性作为度量空间或一致空间，实数集合是个完备空间，它有以下性质：一. 所有实数的柯西序列都有一个实数极限。有理数集合就不是完备空间。例如，(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理数的柯西序列，但没有有理数极限。实际上，它有个实数极限。实数是有理数的完备化——这亦是构造实数集合的一种方法。极限的存在是微积分的基础。实数的完备性等价于欧几里德几何的直线没有“空隙”。二. “完备的有序域”实数集合通常被描述为“完备的有序域”，这可以几种解释。首先，有序域可以是完备格。然而，很容易发现没有有序域会是完备格。这是由于有序域没有最大元素（对任意元素z，z+1将更大）。所以，这里的“完备”不是完备格的意思。另外，有序域满足戴德金完备性，这在上述公理中已经定义。上述的唯一性也说明了这里的“完备”是指戴德金完备性的意思。这个完备性的意思非常接近采用戴德金分割来构造实数的方法，即从（有理数）有序域出发，通过标准的方法建立戴德金完备性。这两个完备性的概念都忽略了域的结构。然而，有序群（域是种特殊的群）可以定义一致空间，而一致空间又有完备空间的概念。上述完备性中所述的只是一个特例。（这里采用一致空间中的完备性概念，而不是相关的人们熟知的度量空间的完备性，这是由于度量空间的定义依赖于实数的性质。）当然，R 并不是唯一的一致完备的有序域，但它是唯一的一致完备的阿基米德域。实际上，“完备的阿基米德域”比“完备的有序域”更常见。可以证明，任意一致完备的阿基米德域必然是戴德金完备的（当然反之亦然）。这个完备性的意思非常接近采用柯西序列来构造实数的方法，即从（有理数）阿基米德域出发，通过标准的方法建立一致完备性。“完备的阿基米德域”最早是由希尔伯特提出来的，他还想表达一些不同于上述的意思。他认为，实数构成了最大的阿基米德域，即所有其他的阿基米德域都是 R 的子域。这样 R 是“完备的”是指，在其中加入任何元素都将使它不再是阿基米德域。这个完备性的意思非常接近用超实数来构造实数的方法，即从某个包含所有（超实数）有序域的纯类出发，从其子域中找出最大的阿基米德域。高级性质实数集是不可数的，也就是说，实数的个数严格多于自然数的个数（尽管两者都是无穷大）。这一点，可以通过康托尔对角线方法证明。实际上，实数集的势为 2ω（请参见连续统的势），即自然数集的幂集的势。由于实数集中只有可数集个数的元素可能是代数数，绝大多数实数是超越数。实数集的子集中，不存在其势严格大于自然数集的势且严格小于实数集的势的集合，这就是连续统假设。事实上这假设独立于ZFC集合论，在ZFC集合论内既不能证明它，也不能推出其否定。所有非负实数的平方根属于R，但这对负数不成立。这表明R 上的序是由其代数结构确定的。而且，所有奇数次多项式至少有一个根属于 R。这两个性质使R成为实封闭域的最主要的实例。证明这一点就是对代数基本定理的证明的前半部分。实数集拥有一个规范的测度，即勒贝格测度。实数集的上确界公理用到了实数集的子集，这是一种二阶逻辑的陈述。不可能只采用一阶逻辑来刻画实数集：1. Löwenheim–Skolem theorem定理说明，存在一个实数集的可数稠密子集，它在一阶逻辑中正好满足和实数集自身完全相同的命题；2. 超实数的集合远远大于 R，但也同样满足和 R一样的一阶逻辑命题。满足和 R 一样的一阶逻辑命题的有序域称为 R 的非标准模型。这就是非标准分析的研究内容，在非标准模型中证明一阶逻辑命题（可能比在R中证明要简单一些），从而确定这些命题在R 中也成立。拓扑性质实数集构成一个度量空间：x 和 y 间的距离定为绝对值 |x - y|。作为一个全序集，它也具有序拓扑。这里，从度量和序关系得到的拓扑相同。实数集又是 1 维的可缩空间（所以也是连通空间）、局部紧致空间、可分空间、贝利空间。但实数集不是紧致空间。这些可以通过特定的性质来确定，例如，无限连续可分的序拓扑必须和实数集同胚。以下是实数的拓扑性质总览：i.令a 为一实数。a 的邻域是实数集中一个包括一段含有 a 的线段的子集。ii.R 是可分空间。iii.Q 在 R 中处处稠密。iv.R的开集是开区间的联集。v.R的紧子集是有界闭集。特别是：所有含端点的有限线段都是紧子集。vi.每个R中的有界序列都有收敛子序列。vii.R是连通且单连通的。viii.R中的连通子集是线段、射线与R本身。由此性质可迅速导出中间值定理。

(1)任何实数 a,都有一个相反数-a；

(2)任何非 0 实数 a,都有倒数1/a；
(3)正实数的绝对值是它本身;负实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0;
(4)正实数都大于0,负实数都小于0;两个正实数,绝对值大的数大 ;两个负实数,绝对值大的反而小。

---

龙里县13982355061： 实数有哪些性质? - ？
佴凌邦止： 能一一表示在数轴上.实数分为有理数、无理数 有理数分为整数、分数 整数分为正整数、0、负整数

龙里县13982355061： 实数的有关性质: 1.a与b互为相反数↔ - ------ - 2.a与b互为倒数↔ab=-------- - 任何 - ？
佴凌邦止： 实数的有关性质:1.a与b互为相反数↔a+b=0,2.a与b互为倒数↔ab=1 任何一个实数a的绝对值是非负数,即|a|≥0 任何一个实数的平方是非负数,即a²大于等于0 任何一个非负数a的算术平方根是非负数,即√a≥0

龙里县13982355061： 实数集的主要性质? - ？
佴凌邦止： 1.加减乘除封闭 2.满足结合律、交换律、分配率等规律 3.实数集可以填满整个数轴

龙里县13982355061： 实数大小的基本性质是什么 - ？
佴凌邦止： 实数大小的三歧性:实数集是有序的,即任意两实数、必然满足下述三个关系之一:,或而且只能是其中的一个关系.

龙里县13982355061： 实数的性质的几何意义 - ？
佴凌邦止： 实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、平方等,对非负数还可以进行开方运算.实数加、减、乘、除(除数不为零)、平方后结果还是实数.任何实数都可以开奇次方,结果仍是实数,只有非负实数,才能开...

龙里县13982355061： 有理数.实数等的性质, 谢谢要全的？
佴凌邦止： 有理数和无理数的性质主要有: 1. 两个有理数的和、差、积、商(除数不为零)仍是有理数; 2. 任何一个非零有理数与一个无理数之积必是无理数; 3. 若a,b是有理数,是无理数,且,则a=0,b=0; 4. 若a,b,c,d都是有理数,是无理数,且,则有a=b,c=d.

龙里县13982355061： 康托集是什么 实数性质还有那些 - ？
佴凌邦止： 康托集是指著名的康托尔完全集,属于高等数学 是这样构成的:给出闭区间[0,1],把它三等分,第一次删去中间的那个子集(1/3,2/3),剩下[0,1/3]和[2/3,1],再把这两个闭区间三等分,第二次删去中间的子集(1/9,2/9)、(7/9,8/9),剩下[0,1/9]...

龙里县13982355061： 初中数学“实数”那章的重要知识点及重点题型 - ？
佴凌邦止：[答案] 典含义读音:shíshù 英语:real number (一)数学名词.有理数和无理数的总称. (二)确实的数字.【例】公司到底还有多少钱?请你告诉我实数! [编辑本段]数学术语 [编辑本段]1、基本概念实数包括有理数和无理数.其中无理数就是无限不循...

龙里县13982355061： 八年级数学实数总结?要长的 ! - ？
佴凌邦止： 1、平方根与算术平方根的区别与联系 平方根与算术平方根的区别:(1)定义不同.如 ,那么 就叫做 的平方根;如 且 ,那么 就叫做 的算术平方根.(2)个数不同.一个正数有两个平方根,它们的绝对值相等,符号相反;一个正数的算术平方...

龙里县13982355061： 实数系几大基本定理都有什么? - ？
佴凌邦止： 实数系的基本定理也称实数系的完备性定理、实数系的连续性定理,这些定理分别是确界存在定理、单调有界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、闭区间套定理和柯西收敛准则,共7个定理,. 一、上(下)确界原理 非空有上(下)...