x的系数不是1，如何用绝对值不等式求最值，

x的系数不是1，如何用绝对值不等式求最值，~

你可以下看看下面问题的解答过程。结论在最后的推广部分：
问题：|x＋1|＋|x＋2|＋|x＋3|＋…＋|x＋n| 的最小值怎么求？
依据：z=|x-a|+|x-b|可以看作数轴上点C(表示数x)到点A(表示数a)和到点B(表示数b)的距离之和AC+BC，可知当点C在线段AB上时，z取得最小值AB，即|a-b|.推导：z=|x+1|+|x+2|+…+|x+n|，表示x到-1，-2，…，-n各点的距离之和.①当n为偶数时，设n=2k.|x+1|+|x+2k|≥2k-1，当且仅当-2k≤x≤-1时取等；|x+2|+|x+(2k-1)|≥(2k-1)-2，当且仅当-(2k-1)≤x≤-2时取等；…|x+k|+|x+(k+1)|≥(k+1)-k，当且仅当-(k+1)≤x≤-k时取等.累加后可得，当-(k+1)≤x≤-k，即-(n/2+1)≤x≤-n/2时，z取最小值，为((k+1)+(k+2)+…+2k)-(1+2+…+k)=k²=n²/4.②当n为奇数时，设n=2k+1.|x+1|+|x+(2k+1)|≥(2k+1)-1，当且仅当-(2k+1)≤x≤-1时取等；|x+2|+|x+2k|≥2k-2，当且仅当-2k≤x≤-2时取等；…|x+k|+|x+(k+2)|≥(k+2)-k，当且仅当-(k+2)≤x≤-k时取等；|x+(k+1)|≥0，当且仅当x=-(k+1)时取等.累加后可得，当x=-(k+1)，即x=-(n+1)/2时，z取最小值，为((k+2)+(k+3)+…+(2k+1))-(1+2+…+k)=k(k+1)=(n²-1)/4.综上，推广：设a1≤a2≤a3≤…≤an，z=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an|.若n为偶数，则x等于最中间两项之间任意值时，z取得最小值；若n为奇数，则x为中位数时，z取得最小值.
此题中，
l2x-4l + l3x+3l +2 lx-1l
=|x+1|+|x+1|+|x+1| +|x-1|+|x-1| +|x-2|+|x-2| （n=7，为奇数，x取1）
≥2+2+2+0+0+1+1
=8. （当且仅当x=1时取等）
参考资料如下：
|x＋1|＋|x＋2|＋|x＋3|＋…＋|x＋n| 的最小值

绝对值的意义就是两点间线段的长，系数不是l，但题目明显可写成系数为1的形式，原式＝2丨x-2丨+3丨x+1丨+2丨x-1丨，先考虑前后两个绝对值和，显然最小值是2（1≤x≤2时），再考虑x点到-1的线段长。明显x在（-1，1）之间时，有最小值，设x到1的距离为a，则原式＝2（2a+1）＋3（2-a）＝8+a，则a＝0即x＝1时，原式有最小值8。

这个题的考点是初中的重要数学思想——分类讨论。

我们用分类讨论的三部曲来解答：

1. 确定分界点。  绝对值符号的分界点就是零，所以令三个绝对值符号都等于零，求出3个分界点为：-1,1，2。

2.  确定区间。由这2个分界点把数轴（x轴）分为4个区间，分别为（-∞，-1）、[-1,1]、（1,2）、[2,+∞）。

3. 当x的取值在这四个区间时，对每个区间进行讨论，最后进行总结。

    当x＜-1时，原式化简为3-7x，此函数为减函数，具有最小值10（取不到）。

    当-1≤x≤1时，原式化简为9-x，此函数为减函数，具有最小值8.

    当1＜x＜2是，原式化简为3x+5，此函数为增函数，有最大值11（取不到）。

    当x≥2时，原式化简为7x-3 ，此函数为增函数，具有最小值11。

综上所述，这个多项式的最小值为8，无最大值。这是一个分段函数，所以最后必须要整体求最小值和最大值。下面是这个函数的图像，看完后，你或许就能豁然开朗了。

你可以下看看下面问题的解答过程。结论在最后的推广部分：

问题：|x＋1|＋|x＋2|＋|x＋3|＋…＋|x＋n| 的最小值怎么求？

依据：z=|x-a|+|x-b|可以看作数轴上点C(表示数x)到点A(表示数a)和到点B(表示数b)的距离之和AC+BC，可知当点C在线段AB上时，z取得最小值AB，即|a-b|.

推导：z=|x+1|+|x+2|+…+|x+n|，表示x到-1，-2，…，-n各点的距离之和.

①当n为偶数时，设n=2k.

|x+1|+|x+2k|≥2k-1，当且仅当-2k≤x≤-1时取等；

|x+2|+|x+(2k-1)|≥(2k-1)-2，

当且仅当-(2k-1)≤x≤-2时取等；

…

|x+k|+|x+(k+1)|≥(k+1)-k，

当且仅当-(k+1)≤x≤-k时取等.

累加后可得，当-(k+1)≤x≤-k，

即-(n/2+1)≤x≤-n/2时，z取最小值，

为((k+1)+(k+2)+…+2k)-(1+2+…+k)=k²=n²/4.

②当n为奇数时，设n=2k+1.

|x+1|+|x+(2k+1)|≥(2k+1)-1，

当且仅当-(2k+1)≤x≤-1时取等；

|x+2|+|x+2k|≥2k-2，

当且仅当-2k≤x≤-2时取等；

…

|x+k|+|x+(k+2)|≥(k+2)-k，

当且仅当-(k+2)≤x≤-k时取等；

|x+(k+1)|≥0，当且仅当x=-(k+1)时取等.

累加后可得，当x=-(k+1)，

即x=-(n+1)/2时，z取最小值，

为((k+2)+(k+3)+…+(2k+1))-(1+2+…+k)=k(k+1)=(n²-1)/4.

综上，
推广：设a1≤a2≤a3≤…≤an，z=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an|.若n为偶数，则x等于最中间两项之间任意值时，z取得最小值；若n为奇数，则x为中位数时，z取得最小值.

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此题中，

l2x-4l + l3x+3l +2 lx-1l

=|x+1|+|x+1|+|x+1|  +|x-1|+|x-1|  +|x-2|+|x-2|            （n=7，为奇数，x取1）

≥2+2+2+0+0+1+1

=8.    （当且仅当x=1时取等）

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参考资料如下：

|x＋1|＋|x＋2|＋|x＋3|＋…＋|x＋n| 的最小值

x的系数不是1，如何用绝对值不等式求最值，
|2x-4|+|3x+3|+2|x-1|
分别令2x-4=0，3x+3=0，x-1=0，求得它的三个拐点：x=2、-1、1
分别按4个区间求：
①x≤-1
|2x-4|+|3x+3|+2|x-1|
=-(2x-4)-(3x+3)-2(x-1)
=-2x+4-3x-3-2x+2
=-7x+3
此区间在x=-1处有极小值10
②-1≤x≤1
|2x-4|+|3x+3|+2|x-1|
=-(2x-4)+(3x+3)-2(x-1)
=-2x+4+3x+3-2x+2
=-x+9
此区间在x=-1处有极大值10，在x=1处有极小值8
③1≤x≤2
|2x-4|+|3x+3|+2|x-1|
=-(2x-4)+(3x+3)+2(x-1)
=-2x+4+3x+3+2x-2
=3x+5
此区间在x=1处有极小值8，在x=2处有极大值11
④x≥2
|2x-4|+|3x+3|+2|x-1|
=(2x-4)+(3x+3)+2(x-1)
=2x-4+3x+3+2x-2
=7x-3
此区间在x=2处有极小值11
综合以上①②③④得到，该不等式在x=1处有最小值8。

对于绝对值不等式，我们可以根据绝对值的定义分别考虑其正负情况，然后再根据这些情况求解不等式的解集。

对于给定的式子：

|2x - 4| + |3x + 3| + |2x - 1|

我们可以先把每个绝对值的正负情况列出来：

当 2x - 4 >= 0 时，|2x - 4| = 2x - 4；当 2x - 4 < 0 时，|2x - 4| = -(2x - 4) = -2x + 4。

当 3x + 3 >= 0 时，|3x + 3| = 3x + 3；当 3x + 3 < 0 时，|3x + 3| = -(3x + 3) = -3x - 3。

当 2x - 1 >= 0 时，|2x - 1| = 2x - 1；当 2x - 1 < 0 时，|2x - 1| = -(2x - 1) = -2x + 1。

因此，原式可以化简为：

(2x - 4) + (-3x - 3) + (2x - 1) = -2

当 2x - 4 < 0，3x + 3 < 0，2x - 1 >= 0 时，原式为：

-(2x - 4) - (3x + 3) + (2x - 1) = 2

当 2x - 4 >= 0，3x + 3 < 0，2x - 1 >= 0 时，原式为：

2x - 4 - (3x + 3) + (2x - 1) = x - 8

当 2x - 4 >= 0，3x + 3 >= 0，2x - 1 >= 0 时，原式为：

2x - 4 + 3x + 3 + 2x - 1 = 7x - 2

当 2x - 4 >= 0，3x + 3 >= 0，2x - 1 < 0 时，原式为：

2x - 4 + 3x + 3 - (2x - 1) = 3x - 2

因此，在不等式的解集范围内，原式的最小值为 -2，最大值为 7x - 2。其中，最大值的取值范围取决于 x 的值。

先分段，分段讨论。

左边两个区间是减区间，

右边两个区间是增区间。

所以最小值在增减交界处取到。详情如图所示:

供参考，请笑纳。

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拉孜县18995414341： x的系数不是1,如何用绝对值不等式求最值, - ？
绪曹十五： +|你可以下看看下面问题的解答过程.结论在最后的推广部分: 问题:|x+1|+|x+2|+|x+3|+…+|x+n| 的最小值怎么求? 依据:z=|x-a|+|x-b|可以看作数轴上点C(表示数x)到点A(表示数a)和到点B(表示数b)的距离之和AC+BC,可知当点C在线...

拉孜县18995414341： 高考数学 当x的系数不同时怎么用绝对三角不等式? 如题 用绝对三角不等式有两种答案 - ？
绪曹十五： 方法一、去绝对值 |x+1|+|2x-1|=3x ,x≥1/2 -x+2 -1≤x -3x , x<-1 这下面你会 方法二、|x+1|+|2x-1|=|x+1|+|x-1/2|+|x-1/2| =|x-(-1)|+|x-1/2|+|x-1/2| 根据数轴上的点之间的距离,结合绝对值几何意义.就行了.方法三、绝对值三角不等式适合系数一样的绝对...

拉孜县18995414341： 绝对值不等式x的系数不为1的几何意义 - ？
绪曹十五： 绝对值的几何意义是点到原点的距离,绝对值不等式x的系数不为1,如绝对值2x,绝对值1/2x,这样的绝对值不等式的系数都不为1.综上,你的问题答案是,数轴上的点x到原点的距离不为一倍.望采纳

拉孜县18995414341： 高中数学绝对值不等式 - ？
绪曹十五： 你好! 用数轴是理解其几何意义 这种题目一般是去绝对值,然后分段讨论 首先,令绝对值内式子等于0,得x= --1 或者x=2 1、当x<-1时原不等式为:--(2x+2)+(1--x)≤5解得:x≥ --2所以:解集为:--2 ≤x <--1 2、当--1≤x≤1时原不等式为:2x+2+(1--x)≤5解得:x≤2所以:解集为 --1≤x≤1 3、当x>1时原不等式为:2x+2+x--1≤5解得:x≤4/3所以:解集为:1<x≤4/3 然后综上下结论就行! 望采纳,谢谢!

拉孜县18995414341： 高中数学含参绝对值不等式 - ？
绪曹十五： 第一问你不等式都没写全,肯定无法做啊!2、不等式两边平方,展开有,1-2xy+x^2y^2>x^2-2xy+y^2 将右边的式子移到左边,所以得到1-2xy+2xy+x^2y^2-x^2-y^2>0 合并同类项,1+x^2(y^2-1)-y^2>0也就是1-y^2-(1-y^2)x^2>0 最后得到(1-x^2)(1-y^2)>0,因为x,y的绝对值小于1,所以平方之后也都小于1,即(1-x^2)>0(1-y^2)>0,两者之积也大于0,所以不等式成立.

拉孜县18995414341： 解绝对值不等式的问题如果X的系数不是正的为什么要化为正的.如,由绝对值不等式化为这一步( - X - 3)(X+6)>0这里要将X化为正的为什么呢 - ？
绪曹十五：[答案] . 这个. 化简之后就能更加准确的计算了,具体地说是为了防止带着符号计算失误,导致错误

拉孜县18995414341： 关于含绝对值的不等式的解法？
绪曹十五： 上面那种做法很好,但不具有普适性,如果|x+1|前的系数不是1就没那么简单了 所以一般可求出零点(当|x+a|=0时,即x=-a时)在分情况讨论 如本题 当x<-1时,-x-1-x+1<M x>-M/2 => M>2 -12 所以使x无解即M<=2

拉孜县18995414341： X的系数不相同的含两个绝对值的不等式如何求解?？
绪曹十五： 去掉绝对值符号.系数化为一

拉孜县18995414341： 含绝对值的不等式和分式的分母有未知数的不等式,有的未知数指数不是1的不等式,这这几道题怎么解? - ？
绪曹十五： 1,先判断分母的正负,如果是正数可以直接乘以分母;如果负数则要乘以分母后再变号 2,然后按照正常解不等式的方法,去括号,移项,合并同类项,系数化为1

拉孜县18995414341： 绝对值不等式怎么解?求绝对值不等式解法 第一步,第二步,第三步,要求步骤清晰.注意事项,还有最后的检验要怎么做?当x取值范围变化时,原不等式的... - ？
绪曹十五：[答案] 去掉绝对值符号就行了,其他符号不变的.|x^2-1|>x^2+2x-1,只要去掉绝对值符号就行,按照x^2-1>=0和x^2-1